平面向量知识点

题型一 平面向量的相关概念
【基础知识框架】
4.零向量：大小为__________，方向__________的向量.
5.单位向量：大小为__________，方向__________的向量.
6.平行向量（共线向量）：方向__________或__________的两个向量，基线包括__________或__________两种情况.
7.相等向量：大小__________，方向__________的两个向量.
8.相反向量：大小__________，方向__________的两个向量.
【例题分析】
1．（23-24高一下·上海·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；
B ．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；
C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；
D ．有相同起点的两个非零向量不平行．
3．（2024高一·江苏·专题练习）下列结论正确的个数是（ ）
①温度含零上和零下，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④若a b >，则a b >．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
题型二 平面向量的线性运算
【基础知识框架】
1. 向量的加法：首尾相连，由头指尾，即___________A BC B +=；
2. 向量的减法：起点相同，由后指前，即___________A AC B −=；
3. 向量的数乘
一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做___________，记作___________．它的长度和方向规定如下： (1)λλ=a a ；
(2)0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 与a 的方向相反；0λ=时，0λ=a ．
【例题分析】
例1．（2023春·广东梅州·高一校联考期中）在平行四边形ABCD 中，AC BC −=（ ） A ．DA B ．BD C ．BA D ．DC 例4．（2023春·广东佛山·高一佛山市顺德区容山中学校考阶段练习·多选）下列能化简为PQ 的是（ ）
A ．QC QP CQ −+
B ．()AB PA BQ ++
C ．()()
AB PC BA QC ++− D ．PA AB BQ +− 题型三 平面向量的基本定理 【基础知识框架】
1. 平面向量基本定理：如果12e e 、是平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有_____对实数12λλ、,使得_____________a =；
2. 平面向量的共线定理：向量b 与非零向量a 共线，则有且只有一个实数λ，使___________．
3. 三点共线：若点A B C 、、三点共线，点O 不在A B C 、、所在直线上，则存在唯一的λ与μ，使得OB OA OC λμ=+,且___λμ+=.
【例题分析】考向一 平面向量的基本定理 例2．（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D 、E 分别AC 、BC 的中点，设AB a =，AC b =，F 是DE 的中点，则AF =（ ）
A ．1122a b +
B ．1122a b −+
C ．1142a b +
D ．1142
a b −+ 例4．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）如图，在ABC 中，1,2AN AC P =
是BN 的中点，若AP mAB nAC =+，则m n +=（ ）
A ．12
B ．1
C ．32
D ．34
考向二 三点共线问题
例12．（2023·河南·统考二模）已知21,e e 不共线，向量1232a e e =−，126b ke e =+，且//a b ，则k = ． 例14．已知向量21,e e 不共线，若122e e +与122e me −+共线，则实数m 的值为 .
题型四 平面向量的数量积
【基础知识框架】
1._________________a b →→
⋅=；
2.若a b ⊥，则_________________a b →→⋅=；
3._________________a a ⋅=，即2_________________a =
4.a 在b 上的投影为_____________；a 在b 上的投影向量为_____________
【例题分析】
例1．（2022·广东惠州·统考二模）在ABC 中，=60B ∠︒，6AB =，5BC =，则AB BC ⋅=（ ） A ．153− B ．30− C ．15− D ．15 例2．已知向量a ，b 满足1a =，2=b ，且a 与b 的夹角为60︒，则a b +=（ ）
A ．7
B ．3
C ．5
D ．22 例3．（2022·广东·统考一模）若向量a ，b 满足||2a =，||2b =，2a b ⋅=，则||a b −=（ ）
A ．2
B ．2
C ．23
D ．4
例10．（2022·广东江门·统考模拟预测）已知||1a =，||2b =，,120a b 〈〉=︒，则|23|a b −=（ ）
A ．27
B ．26
C ．213
D ．4 例12．（2023·广东深圳·统考一模）已知a ，b 为单位向量，且357a b −=，则a 与a b −的夹角为（
）
A ．π
3 B ．2π3 C ．π
6 D ．5π
6 例14．平面向量||2,||2,()a b a b a ==−⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．5π
12 B ．π3 C ．π4 D ．π
6
例16．已知6a =，3b =，12a b ⋅=，则向量a 在向量b 方向上的投影是 ． 例17．已知2,10a b ==，a 与b 的夹角为120，则向量b 在向量a 方向上的投影是 ．
题型五 平面向量的正交分解与坐标运算
【基础知识框架】
1.设11(,)=x y a ，22(,)=x y b ，则
(1)±a b =_________________；(2)λa =__________________；
(3)⋅a b =_________________；(4)__________________________∥λ⇔=⇔a b a b ；
(5)_______________________________⊥⇔⋅=⇔a b a b ；
(6)=⋅=|a |a a _____________________________.
2.在平面直角坐标系中，已知点11()A x y ,，22()B x y ,，______________→=AB ，
则A ，B 两点间的距离||d AB →==______________________________．
3.夹角问题：
⋅a b =_________________，cos ,_________________________________∴==<>a b
【例题分析】
例1已知平面向量()2,3a x =+−，()6,24b x x =++，则“2x =−”是“a b ⊥”的_______________________条件. 例3．已知向量()3,4a =，()4,b m =，且a b a b +=−，则b =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 例4．已知x 为实数，向量(1,2)a =−，(,1)b x =−，2c a b =+，若b c ⊥，则(x = )
A ．1或3
B ．3−或1−
C ．3−戓1
D ．1−或3
例7．（2023·广东广州·统考二模）已知向量11(,)a x y ，22(,)b x y ，则“
1212x x y y =”是“//a b ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
例8．（2012·广东揭阳·统考三模）已知向量()()1,,1,a n b n ==−，若2a b −与b 垂直，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．4
例9．已知向量()4,a x =，(),1b x =，若a
b ，则x 的值为（ ） A ．2或2− B ．2或4 C ．4或4− D ．2−或4−
例13．已知(1,2)a =，(1,3)b =−，则a b −在a b +方向上的投影向量的坐标为（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,0)−
C ．(0,1)−
D ．(1,0)。