河南省新乡市第四高级中学2021年高三数学理联考试题含解析

河南省新乡市第四高级中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设命题P：关于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 > 0与a2x2 + b2x + c2 > 0的解集相同;
命题Q：==．则命题Q( )
(A) 是命题P的充分必要条件
(B) 是命题P的充分条件但不是必要条件
(C) 是命题P的必要条件但不是充分条件
(D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件
参考答案：
D
解：若两个不等式的解集都是R，否定A、C，若比值为－1，否定A、B，选D．
2. 2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方
形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为，则（）
A．B． C. D．
参考答案：
A 设直角三角形中较小的直角边长为，则
选A.
3. 设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】简单线性规划的应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；
满足的可行域如图有阴影部分所示，
故p是q的必要不充分条件，
故选：A
【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．
4. 已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩?R B=（）
A．{1，5，7} B．{3，5，7} C．{1，3，9} D．{1，2，3}
参考答案：
A
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】A∩C N B中的元素是属于集合A但不属于集合B的所有的自然数．
【解答】解：∵A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，
∴A∩C N B={1，5，7}．
故选A．
5. 给出下面的3个命题：①函数的最小正周期是②函数在
区间上单调递增；③是函数的图象的一条对称轴。

其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2
D．3
C
参考答案：
C
函数的最小正周期为，①正确。

，在区间上递
增，②正确。

当时，，所以不是对称轴，所以③错误。

所以正确的命题个数为2个，选C.
6. 已知分别是△的三个内角所对的边长，若，，，则（A）1 （B）（C）
（D）
参考答案：A
7. 已知定义在复数集C上的函数满足，则等于
A．
B．0 C．2 D．
参考答案：
C
8. 设满足，若的最小值为-7，则（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
9. 设不等式组表示的平面区域为表示区域D n中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=( )
A. 1012
B. 2012
C. 3021
D. 4001
参考答案：
C
因为，所以令,又为整数，所以.当x=1时，
，有3n个整数点；当x=2时，，有2n个整数点；当x=3时，，有n个整数点.综上，共有6n个整数点，所以.则数列是以为首项，公差为12的等差数列.故
.
10. 设是非零向量，若函数的图像是一条直线，则必有（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若复数满足，则的值为___________.
参考答案：
略
12. 对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表：
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当
时，
的估计值是.
参考答案：
13. 函数单调递减区间为
参考答案：
略
14. 若函数的值域为，则实数a的最小值为▲．
参考答案：
2
略
15. 在中，，，，则= ▲．
参考答案：
7
16. 若2x+4y=4，则x+2y的最大值是．
参考答案：
2
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的运算性质、指数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵2x+4y=4，
∴=2，
化为2x+2y≤4=22，
∴x+2y≤2，当且仅当x=2y=1时取等号．
则x+2y的最大值是2．
故答案为：2．
17. 已知命题：“平面内与是一组不平行向量，且||=||=1，，则任一非零向量
，=λ1+λ2（λ1，λ2∈R），若点P在过点O（不与OA重合）的直线l上，则=k（定
值），反之也成立，我们称直线l为以与为基底的等商线，其中定值k为直线l的等商比．”
为真命题，则下列结论中成立的是（填上所有真命题的序号）．
①当k=1时，直线l经过线段AB中点；
②当k＜﹣1时，直线l与AB的延长线相交；
③当k=﹣1时，直线l与AB平行；
④l1⊥l2时，对应的等商比满足k1?k2=﹣1；
⑤直线l1与l2的夹角记为θ（θ≠）对应的等商比为k1、k2，则tanθ=．
参考答案：
①③④⑤
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由题意可设A（1，0），B（0，1），对于①，可得P的坐标和直线l的方程，由中点坐标公式即可判断；
对于②，当k＜﹣1时，求得直线l的斜率范围，可得直线l与BA的延长线有交点，即可判断；
对于③，当k=﹣1时，求得直线AB的斜率和直线l的斜率，由两直线平行的条件，即可判断；
对于④，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合新定义即可判断；
对于⑤，运用两直线的夹角公式，结合新定义即可判断．
【解答】解：平面内与是一组不平行向量，且||=||=1，，
可设A（1，0），B（0，1），
①当k=1时，有λ1=λ2，=λ1+λ2=（λ1，λ2），
即有P在直线y=x上，直线l经过线段AB中点（，），故①正确；
②当k＜﹣1时，直线l的方程为y=x，可得直线l的斜率为（﹣1，0），
即有直线l与BA的延长线有交点，故②不正确；
③当k=﹣1时，直线l为y=﹣x，k AB==﹣1，直线l与AB平行，故③正确；
④l1⊥l2时，可得直线l1，l2的斜率之积为﹣1，由新定义可得对应的等商比满足k1?k2=﹣1，故④正确；
⑤直线l1与l2的夹角记为θ（θ≠）对应的等商比为k1、k2，
由两直线的夹角公式可得tanθ=||，化简可得tanθ=．故⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）
数列的前项和记为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）等差数列的前项和有最大值，且，又成等比数列，求．
参考答案：
解析：（1）由，可得，
两式相减得，………………………………2分
又∴，………………………………………………4分
故是首项为1，公比为3的等比数列，
∴．……………………………………………………………………6分
（2）设的公差为，
由得，于是，…………………………………8分
故可设，
又，
由题意可得，
解得，
∵等差数列的前项和有最大值，
∴，…………………………………………………………10分
∴．………………………………12分
19. 某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入
资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一
年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．
(Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；
(Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
参考答案：
（Ⅰ）依题意知，数列是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以
，
=
＝
=
(Ⅱ）依题意得，，即，
可化简得，
可设，
又，可设是减函数，是增函数，又
则时不等式成立，即4年
20. 已知函数.
（1）求函数的最大值，并写出相应的x取值集合；
（2）令，且，求的值.
参考答案：
21. （本小题满分10分）已知函数．
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）由得，∴，
即，∴，∴． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,令，
则
∴的最小值为4，故实数的取值范围是．
22. 已知函数．
(I)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
(II)求函数在区间上的值域．
参考答案：
解：…2分
．……4分
（Ⅰ）函数的最小正周期；……6分由，得对称轴方程为，．……8分（Ⅱ）因为，所以，
所以当即时，，……10分
当即时，，
所以的值域是．……13分
略。