河北省唐山一中高三数学冲刺热身卷(二)文【会员独享】

河北唐山一中2011年高考冲刺热身卷（二）数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.若集合M ={y |y =x
3}，集合}{lg(1)S x y x ==-,则下列各式正确的是 （ ） A.M
S M = B.M S S =
C.M S =
D.M S =Φ
2.若数列{}n a 满足1102n n a a a +=+=，，则2011a 的值为 ( ) A.2 B.1 C.0 D.2-
3.设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则目标函数z =2x +3y 的最小值为 （ ）
A.6
B.7
C.8
D.23 4.
实数0.3
a b c ===
，的大小关系正确的是 ( )
A.a c b <<
B.a b c <<
C.b a c <<
D.b c a <<
5.已知函数23-+=x x y 的图象与x 轴的一个交点为A ，函数图象在点A 处的切线与两条坐
标轴围成的面积为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
6.用0,1，2,3,4,5组成没有重复数字的三位数，这个三位数能被5整除的概率为 （ ） A. 31 B. 52 C.259 D.25
11
7.如图是函数y =)0(),sin(3>+ωφωx 的图象的一部分，A 是图象与x 轴的一个交点，B 、C 分别是图象上的一个最高点和一个最低点，且AB ⊥AC ，则ω的值为 ( )
A.2 B .π C.
21 D.2
π 8.如图，椭圆的顶点是双曲线的焦点，椭圆的焦点是双曲线的顶点.若双曲线的两条渐近线互相垂直，则椭圆的离心率为 （ ） A ．
21 B .2
2
C .
23 D .2
5 9. 函数y =
c
x ax ++5
的反函数的图象关于点（–2，3）对称，则f (x )的单调性为 （ ） A.在（-∞，-2）和（-2，+∞）上递增 B.在（-∞，-3）和（-3，+∞）上递增 C.在（-∞，-3）和（-3，+∞）上递减 D.与a 、c 的值有关，不能确定
10.对任意x 1，x 2∈R ，当x 1≠x 2时，函数()f x 都满足不等式()[]1212()()0x x f x f x --<，若函数(1)f x +为奇函数，则不等式(1)0f x -<的解集为 ( ) A.()0-∞， B.()0+∞， C.()1+∞， D.()1-∞，
11.已知向量a 、b 满足b ·(a -b )=0，且|a |=2|b |，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ ）
A .3π
B .3π
2 C .
2π D .6
π 12.已知P 、A 、B 、C 是球面上四点，90,ACB ∠=︒2PA PB PC AB ====,则A 、B 两点间的球面距离是 （ ）
A .
3π16 B . 3
π
32 C . 9π34 D .9
π
316
第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设函数⎩⎨⎧≤>=)
0(3)
0(log )(2x x x x f x ，若关于x 的方程f （x ）=a 有且只有
一个实数根，则实数a 的取值范围是____________.
14.我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的 一组圆 叫做“串圆”.在右图所示的“串圆”中， ⊙1C 和⊙3C 的方程分别为221x y +=和
()()
22
34x y -+-1=，则⊙2C 的方程为____________.
15.在2)n
x
的二项展开式中，常数项为60，则n
等于__________.
16.已知三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，下列结论正确的 有__________________.(写出所有正确结论的编号) ①PA BC PB AC PC AB ⊥⊥⊥，，；
②顶点P 在底面上的射影是△ABC 的垂心； ③△ABC 可能是钝角三角形； ④此三棱锥的体积为PC PB PA V ⨯⨯=
3
1
. 三．解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明 过程、或演算步骤） 17.（本小题满分10分）
已知函数2()[2sin()sin ]cos ,3
f x x x x x x R π
=+
+∈
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若存在05[0,]12
x π
∈，使不等式0()f x m <成立，求实数m 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回．．．
地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率为0.84．
（Ⅰ）求事件“从该批产品中任取1件产品，取到的是二等品”的概率p ； （Ⅱ）若从20件该产品中任意抽取3件，求事件B ：“取出的3件产品中至少有一件二等品”的概率．
19. (本小题满分12分)
已知正项数列{}n a 中，11a =,
点*
1)()n a n N +∈在函数21y x =+的图象上，数列
{}n b 的前n 项和2n n S b =-.
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设1
21log 1
++-=
n n n b a c ，求}{n c 的前n 项和n T .
20．（本小题满分12分）
在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是棱AA 1上一点，平面BC 1D ⊥平面BB 1C 1C ，AB =AA 1=2. （Ⅰ）求点A 到平面BC 1D 的距离；
（Ⅱ）求直线A 1B 与平面BC 1D 所成的角的正弦值.
21.(本小题满分12分)
22题图
设函数12
131)(2
3++-=bx x ax x f 在点A （1，f (1)）处的切线平行于x 轴. (Ⅰ)当1
2
a <
时，讨论函数()f x 的单调性； (Ⅱ)证明：当a =-3时，对任意12[1 2]x x ∈，，
，都有()()129
2
f x f x -≤.
22. (本小题满分12分)
设直线l 与抛物线y 2=2px （p >0）交于A 、B 两点，已知当直线l 经过抛物线的焦点且与x 轴垂直时，△OAB 的面积为2
1
（O 为坐标原点）． （Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当直线l 经过点P （a ，0）（a >0）且与x 轴不垂直时，
若在x 轴上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，求a 的取值范围．
高三冲刺数学2（文）评分标准
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1-5 ACDCB 6-10 CDBBA 11-12 DC
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.),1(]0-+∞∞ ，（ 14. ()2
2
39224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭ 15.6 16.①②. 三．解答题
17. 解：（Ⅰ
）2()[2(sin cos
cos sin )sin ]cos 33
f x x x x x x π
π
=++-
222sin cos x x x x =
sin 2x x =
2sin(2)3x π
=+…………………………………………4分 ∴ 函数f (x )的最小正周期22
T π
π== ……………………………………5分 （Ⅱ）当5[0,]12x π∈时，72[,]336x πππ+∈ ∴ 当7236x ππ+=，即512
x π
=时，f (x )取最小值－1
故使题设成立的充要条件是5()12
f m π
<，即m 的取值范围是(－1,＋∞)……10分
18. 解（1）A 的对立事件是：“取到的两件产品都是次品” 依题意 P (A )=1-p 2=0.84,
解得p =0.4； ………………6分
（2）20件该产品中，二等品有20×0.4=8件，
P (B )=1-57
46
320312=C C . ………………12分
19.解：（Ⅰ）
点*
1)()n a n N +∈在函数21y x =+图象上，
11n n a a +∴=+
∴数列{}n a 是公差为1的等差数列.
11,1(1)n a a n n =∴=+-= …………………… 2分 1122n n n n S b S b ++=-∴=-
两式相减得：11,n n n b b b ++=-+即11
2
n n b b += 由112S b =-即112b b =-，得11b =.
∴数列{}n b 是首项为1，公比为1
2
的等比数列，
11
().2
n n b -∴= ………………………………………………………6分
（Ⅱ）2121111
log log ()2
(1)1
n
n n b n C n n n n +==-∴=
=-++ ……………8分
12111111111...(1)()()...()122334111
n n n
T C C C n n n n +∴=+++=-+-+-++-=-=
+++
……………………………………………………………12分
20.解1：（Ⅰ）作DF ⊥BC 1于F ，
∵平面BC 1D ⊥平面BB 1C 1C ，
∴DF ⊥平面BB 1C 1C ，……………………2分 取BC 中点E ，连接AE ，EF ， 则AE ⊥平面BB 1C 1C ，
∴AE ∥DF ，AE ∥平面BC 1D ，
于是A 、E 到平面BC 1D 的距离相等，…4分 作EG ⊥BC 1于G ，则EG ⊥平面BC 1D ，
又EG =
41B 1C =2
2， 因此，A 到平面BC 1D 的距离为
2
2
；……………………6分 (Ⅱ) ∵AA 1∥平面BB 1C 1C ，
∴AD ∥EF ，得EF ∥CC 1，F 是BC 1的中点.………………8分
于是AD =EF =
2
1
CC 1=1，D 是AA 1中点， 所以A 1和A 到平面BC 1D 的距离相等. 设A 1到平面BC 1D 的距离为d ，则d =
2
2
，…………………10分 设A 1B 与平面BC 1D 所成的角为θ，则sin θ=
4
12222
1==B A d . ……………………12分 解2：（Ⅰ）以AC 中点O 为原点，建立空间直角坐
标系如图. ……………………1分
设AD =h ,则A （0,-1,0），B （3，0,0），
C （0,1,0），A 1（0，-1,2），C 1（0,1,2），
D （0，-1，h ）. ……………………2分
)2,2,0(),2,1,3(11h DC BC -=-=,
设平面BC 1D 的法向量为n =（x ，y ，z ），
则⎩
⎨⎧=-+=++0)2(2023-z h y z y x ，
令z =2，则y =h -2，x =
3
2+h .
n =（
3
2+h ，h -2，2）……………………3分
取BC 中点E （
02
1
23，，）
， 0,2
3
,23(
=）是平面BB 1C 1C 的一个法向量. ∵平面BC 1D ⊥平面BB 1C 1C ， ∴=
∙n 3
2+h ×
2
3
+(h -2)×23=0，得h =1.………………5分
n =（3，-1，2），AD =(0,0,1). A 到平面BC 1D 的距离为d =
22
2
22||||=
=∙n n .…………6分 (Ⅱ) )2,1,3(1-=A ,
设A 1B 与平面BC 1D 所成的角为θ，则 sin 4
1
2
2222|
|||11=
⨯=
n B A . …………………12分 21.解：(Ⅰ)3211
()132
f x ax x bx =-++，2'()f x ax x b =-+，
∴'(1)10f a b =-+=，∴1b a =- ……………………………………1分
2'()1(1)[(1)]f x ax x a x ax a =-+-=---.
(1)当0a =时，'()1f x x =-，()f x 的递增区间为( 1)-∞，
， 递减区间为(1 )+∞，
； ………………………2分
(2)当0a ≠时，)('x f =0的两个根为x 1=1和x 2=11
-a
， 若102a <<
，则1
11a
->， 由'()0f x >得11x a >-或1x <,由'()0f x <得1
11x a
<<-；
∴()f x 的递增区间为( 1)-∞，和11 a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，，
递减区间为11 1a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，. …………………4分
若0a <，则1
11a -<，
由'()0f x >得111x a -<<,由'()0f x <得1x >或1
1x a
<-，
∴()f x 的递增区间为11 1a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，，
递减区间为1 1a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭，和(1)+∞，
. ……………………6分 (Ⅱ)当3a =-时，321
()412
f x x x x =--++
由(Ⅰ)知，函数()f x 在 [1 2]x ∈，
为减函数， ∴[]1 2x ∈，，()()max 7
12
f x f ==
，()()min 21f x f ==-， ∴对任意12[1 2]x x ∈，，
，()()()()12max min 92
f x f x f x f x -≤-=， 即 ()()129
2
f x f x -≤
． ……………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由条件可得p AB 2||=，O 点到AB 距离为
2
p
， …………………1分 ∴2212221
p p p S AOB =⨯⨯=
∆， ……………………………………3分 0,2
1
>=∆p S AOB
得： 1=p ， ∴ 抛物线的方程为x y 22=． …………………4分 （Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B ，AB 的中点为),(00y x M ，
又设)0,(t C ，直线l 的方程为a my x +=（0≠m ）．
由⎩⎨⎧=+=x
y a m y x 22，得0222=--a m y y ． ∴)2(42a m +=∆，m y y 221=+，a y y 221-=．………………………7分 所以m y y y =+=
2
2
10，从而a m x +=20．
∵ABC ∆为正三角形，∴AB MC ⊥，||2
3
||AB MC =． 由AB MC ⊥，得11
00-=⋅-m
t x y ，所以12++=a m t ．………………9分 由||23||AB MC =
，得2212212020)()(2
3)(y y x x y t x -+-⋅=+-， 即)2(4)1(2
3
)(22222a m m m t a m +⋅+=+-+， 又∵12-=-+t a m ，
∴)2)(1(312
2
2
a m m m ++=+，从而2
612
m a -=．…………………… 11分
∵0≠m ，∴02>m ，∴6
1
0<
<a ． ∴a 的取值范围)6
1
,0(． ………………………………………12分。