高中数学北师大选修1-1课件：第4章 §2 2.1 实际问题中导数的意义

W(3) W(1) 165 23 71 (J / s).
31
2
即机车在t=1s和t=2s时，每秒做的功分别为35J，69 J.
【拓展提升】 1.f'(x0)在物理学中的六种意义 f'(x0)指函数f(x)在x0处对自变量x的变化率.例如： (1)角速度：角度对时间的变化率. (2)电流：电量对时间的变化率. (3)瞬时功率：功对时间的变化率. (4)瞬时电动势：磁通量对时间的变化率. (5)瞬时速度：路程对时间的变化率. (6)加速度：速度对时间的变化率.
【拓展提升】导数的实际意义 由导数的定义我们知道，函数y=f(x)在点x0处的导数，就是y=f(x)在点x0处 的瞬时变化率.在理解其实际意义时要注意函数y=f(x)所表示的对象是什么， 常见的有：功关于时间的导数是功率，路程关于时间的导数是速度，而速 度关于时间的导数是加速度.我们不只要理解y的实际意义，同时也要理解x 的实际意义，这样才能正确理解f'(x)的实际意义.
§2 导数在实际问题中的应用
2.1 实际问题中导数的意义
类型 在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单
位：s)存在关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10，则起跳后1s的瞬时速度为
.
2.某机车托运货物时对货物所做的功W(单位：J)是时间t(单 位：s)的函数，设这个函数可以表示为：W=W(t)=2t3+8t2+13t. (1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释 它的实际意义. (2)求在t=1s和t=2s时，该机车每秒做的功.
2.净化费用的瞬时变化率就是净化费用关于净化纯度的函数 的导数.
5284 5284' (100 x) 5284 (100 x)' (所c1'()以因x)，为纯c('1净(9000度)=为x9)0' %时=5，2费.84用，的瞬(时10变0 化x率)2是52.84元/吨.
0 (100 x) 5284 (1) 5284
2.求t=t0时瞬时速度的两个步骤 第一步 求s'(t)； 第二步 求s'(t0)，即t=t0的瞬时速度.
【变式训练】一辆汽车按规律s(t)=3t2+1(s的单位是m，t的 单位是s)作直线运动，则这辆汽车在t=3s时的瞬时速度为
. 【解析】s'(t)=6t， ∴s'(3)=6×3=18(m/s). 答案：18m/s
(100 x)2
(100 x)2 .
5284 (100-90)2
(费2)用因的为瞬c′时(98变)=化率是1=321135元2218/，4吨所. 以，纯净度为98%时， 函数f(x)在某点处导数的(1大00小表98示)2函数在此点附近变化的快
慢.由上述计算可知，c'(98)=25c'(90).它表示纯净度为98% 左右时净化费用的瞬时变化率大约是纯净度为90%左右时净 化费用的瞬时变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需 要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.
【解析】汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 全程运输成本为
s，
其定义域为(0，c].
v
答案：y=s( +bv) (y0， acg]s bv2 gs s( a bv),
v
vv
a v
【误区警示】
【防范措施】 在实际问题中正确应用导数 (1)近几年的高考都有涉及对应用题的考查.面对实际问题，同学们往往容易 犯忽略定义域的错误，从而造成求解结果错误. (2)遇到应用题首先要仔细审题，并且多读几遍，理顺逻辑关系，建立函数 模型，最后利用所学知识解决问题.
2.(1)当t从1s变到3s时，功W从W(1)=23J变到W(3)=165J，此时
功W关于时间t的平均变化率为
它表示从t=1s到t=3s这段时间，这台机车平均每秒做功71J.
(2)W'(t)=6t2+16t+13， ∴W'(1)=6+16+13=35(J/s)， W'(2)=24+32+13=69(J/s)，
类型 二 导数在日常生活中的应用 【典型例题】 1.从时间t=0开始的ts内，通过某导体的电量(单位：C)可由 公式q=2t2+3t表示，则第5s时的电流强度为 ( )
A.27 C/s B.20 C/s C.25 C/s D.23 C/s
2.日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的 提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为 x%时所需费用(单位：元)为c(x)= (80<x<100). 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率并解释 其实际意义. (1)90%. (2)98%.
【变式训练】某物体的运动路程是s(t)=4t-0.3t2，
则从t=2到t=4的平均速度为
.
【解析】
答案：2.2
v s(4) s(2) 4 4 0.3 42 (4 2 0.3 22) 2.2.
42
42
【易错误区】忽略实际问题中的定义域致误
【典例】甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙 地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元， 若把全程运输成本定为y元，则函数表达式为____________， 其定义域为_____________.
【解题探究】 1.物体在某一时刻的瞬时速度与函数的导数有什么关系? 2.机车每秒做的功就是什么?怎么求? 探究提示： 1.导数的物理意义就是物体在某一时刻的瞬时速度. 2.机车每秒做的功就是功率，即瞬时做功，直接求功的导数即可.
【解析】 1.∵h'(t)=-9.8t+6.5， ∴h'(1)=-9.8+6.5=-3.3， 故t=1时的瞬时速度是-3.3m/s. 答案：-3.3m/s
5 284
100 x
【解题探究】1.电流强度与导数有什么关系? 2.题2中c'(x)等于什么? 探究提示： 1.电量在某时刻的瞬时变化率就是电流强度. 2.c'(x)=
5 284 (100 x)2 .
【解析】 1.选D.通过某导体的电量q在第5s时的瞬时变化率就是第5s时 的电流强度. ∵q'=4t+3，∴t=5时，电流强度为4×5+3=23(C/s).