内蒙古固阳县第一中学2019届高考数学模拟试题201908260288.doc

内蒙古固阳县第一中学2019届高考数学模拟试题
第I 卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，集合{+2)(1)0}B x x x =-<（，则A B =I ( ) A.{}1,0- B.{}0,1 C. {}1,0,1- D.{}0,1,2
2.已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2
i =a b +( ) A.34i - B.54i - C.3+4i D.5+4i 3.如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是( ) A.22a b < B.
11a b < C.22l g l g o a o b < D.11
()()22
a b > 4.已知随机变量ξ服从正态分布2
(0,)N σ
-22=P ξ≤≤（）（ ）
5.执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2数a 的可能取值的集合是( )
A.{}1,2,3,4,5,6
B.{}1,2,3,4,5
C.{2,3,
6.如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）
A.1
B.2
C.π
2
D.π
7.某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥 所有棱的长度的集合，则（ ） A .2A Î，且4A Î B.2A Î，且4A Î C.2A Î，且25A Î D.2A Î，且17A Î
8.已知{}n a 为等比数列，若452,5a a ==，则
128lg lg lg a a a +++L =( )
A.6
B.5 C ．4 D.3
9.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
A.13
(2,2),44k k k Z -
+∈ B.13
(,),44k k k Z -+∈
C.13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈
D.13
(,),44
k k k Z ππ-+∈
10.已知R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，(2)0f = ，则(1)0f x ->的解集为 ( )
A.(2,2)-
B.(1,3)-
C.(,2)(2,)-∞-⋃+∞
D.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ 11.设F 为抛物线2
:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则
AB =( )
A.
30
3
B.73
C.6
D.12 12.已知函数3
2
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是( )
A.(),2-∞-
B.(),1-∞-
C.()2,+∞
D.()1,+∞
俯视图
侧(左)视图
4
1
4
1 1 1
第II 卷（非选择题 共64分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

）
13.已知向量,a b r r 满足||4b =r ，a r 在b r 方向上的投影是1
2
，则a b ⋅r r ．
14.10
2a x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为180，则a = ．
15.若实数,x y 满足约束条件220,
240,2,
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则x y 的取值范围是_______.
16. 已知F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点，
P 是C 左支上一点，()
0,66A ，则APF ∆周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5个题，共48分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分 ） 已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且
3cos cos 2B C +=23sin sin 2cos B C A +．
（1）求角A 的大小；
（2）若△ABC 的面积53S =，5b =，求a 的值．
18.（本题满分10分 ） 如图，在三棱锥ABC P -中，
PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， M 为AH 的中点，2PA AC ==，1BC =.
（1）求证：⊥AH 平面PBC ； （2）求PM 与平面AHB 成角的正弦值；
19.（本题满分10分 ）前不久，安徽省社科院发布了2015年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”。

随后，安徽师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度。

现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
A
B
C
P
H
M
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”。

求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
20.（本题满分10分 ）已知直线1:+=x y l ，2
3
:2
2=
+y x O 圆,直线l 被圆截得的弦长与椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的短轴长相等,椭圆的离心率23=e
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点M (0，1
3
-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一
个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡上填涂题号对应标记。

22.（本题满分8分 ） 选修4—4：极坐标及参数方程选讲
在直角坐标系x y O 中，直线l
的参数方程为132x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C
的极坐标方程为ρθ=． （1）写出圆C 的直角坐标方程；
（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 23.（本题满分8分 ）选修4—5：不等式选讲
已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a . （1）求a 的值；
（2）若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .
高三模拟考试数学试题答案
一、选择题：（每小题3分，共36分）
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13.2 14.2±
15.13,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
16.32
三、解答题：
17.（本小题满分10分）
解：（1）由23cos cos 23sin sin 2cos B C B C A +=+ 得2
3cos()22cos B C A ++=，即22cos 3cos 20A A +-= 得1
cos 2
A =
或cos 2A =-（舍） 因为0A π<<，所以3
A π
=
（2）由1sin 24
S bc A bc =
==20bc = 因为5b =，所以4c =
22222cos 1
2516254212
a b c bc A a a =+-∴=+-⨯⨯⨯=∴=Q 18.（本小题满分10分）
（1）证明：因为PA ⊥ 底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，
所以PA ⊥ BC ， 又因为AC BC ⊥ ，PA AC A ⋂= ，
所以 BC ⊥平面PAC ， 又因为AH ⊂ 平面PAC ，
所以BC ⊥AH . 因为PA AC = ，H 是PC 中点， 所以 AH PC ⊥，
又因为PC BC C ⋂= ，
所以 AH ⊥平面PBC . （2）解：在平面ABC 中，过点A 作，BC AD //
因为 ⊥BC 平面PAC ， 所以 ⊥AD 平面PAC ，
由 PA ⊥底面ABC ，得PA ，AC ，AD 两两垂直，
所以以A 为原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，
(0,0,2)P ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)H ，11(0,,)22
M .
设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ，
因为 (0,1,1)AH =u u u r
，(1,2,0)AB =u u u r ，
由 0,0,
AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r
n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩ 令1=z
，得(2,1,1)=-n .
设PM 与平面AHB 成角为θ， 因为 )2
3,21,0(-=PM
，
所以 1320(1)1()22sin cos ,562
PM PM PM θ⨯+-⨯+⨯-⋅=<>==⋅⋅u u u u r u u u u r u u u u r n n n
， 即 215
sin 15
θ=
. 19.（本小题满分10分）
解：（1）众数：8.6；中位数：8.75；
（2）设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则
；
A
B
C
P
H
M
N
z x y
D
（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．
；
； ；
．
则ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3
P
所以Eξ=
．
另解：ξ的可能取值为0，1，2，3． 则ξ～B （3，），．所以Eξ=．
20. （本小题满分10分）
(1)则由题设可求的1=b ，
又2
e =
2=a 所以椭圆C 的方程是2
212
x y +=．
(2)解法一：假设存在点T （u, v ）． 若直线l 的斜率存在，设其方程为1
3
y kx =-，
将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．
设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 122122
12,189
16.189k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--u u r u u r 及112211
,,33
y kx y kx =-=-
所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--u u r u u r
g
2221212121
(1)()()339
v k x x u k kv x x u v =+-+++++++
222222(666)4(3325)62
u v k ku u v v k +--+++-=+
当且仅当0=⋅TB TA 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，
所以222266604033250u v u u v v ⎧+-=⎪
=⎨⎪++-=⎩
解得0, 1.u v ==
此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）．
当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）． 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件． 解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y += 若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=
由22221,
116().39x y x y ⎧+=⎪
⎨++=⎪
⎩
解得01x y =⎧⎨
=⎩． 由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）． 事实上点T （0，1）就是所求的点． 证明如下：
当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；
当直线l 的斜率存在，设直线方程为1
3
y kx =-，
代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,189
16.
189k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-u u r u u r
，
21212121212416
()1(1)()39
TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++u u r u u r g
22221616163216
0.
189k k k k ---++==+
所以TA TB ⊥u u r u u r
，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件．
22.（本小题满分8分）
解：（1）由ρθ=得2
sin ρθ=
从而有22x y +=，所以22
(3x y +=
（2）设1(3,)22P t +
，又C ，则PC ==故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的直角坐标为（3,0） 24. （本小题满分8分）
（1）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=,当且仅当12x -≤≤时,等号成立,所以
()f x 的最小值等于3,即3a =.
（2）由（I ）知3p q r ++=,又因为,,p q r 是正数,所以
22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=,
即2
2
2
3p q r ++≥.。