“三个基本事实”快乐导学
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知识结构与拓展
高一数学 2023 年 4 月
■ 王佩其
“
三个 基 本 事 实 ”刻 画 了 平 面 的 性 质,是
论证立体 几 何 位 置 关 系 的 基 石,是 立 体 几 何
学习不可忽视的重要内容。
一、
把握“
三个基本事实”
的表述与作用
所以 CA ,
N 。因为 CA ∩CE =C,
CE 确定一
个平面α。
又因为 AB ∩α=P ,
所 以 P ∈ 平 面 α,所 以 P
交线上,
也可选择其中 两 点 确 定 一 条 直 线,
然
因 为平面 ABC∩α=l,
所以 P ∈l。同理
点问题,
可先将其中一条直线看作某两个平
故 P,
Q,
R 三点在同一条直线上。
于两点,
再证点重合,
从而得三线共点。
是平面 ABC 与平面α 的公共点。
例2
(
如图 3,已 知 △ABC 的 三 个 顶
1)
点都 不 在 平 面 α 内,它 的 三 边 AB ,
BC,
AC
延长后分别交 平 面α 于 点 P ,
Q,
R ,求 证:
P,
Q,
R 三点在同一条直线上。
图1
(
如图 2,
已知 A ,
2)
B,
C,
D 是空间的四
个点,
且点 A ,
点D 不
B,
C 在 同 一 直 线l 上,
FG 三 条 直 线 相 交
GD
(
证明:
设 CE ∩BD = M ,
1)
CA ∩BD =
于同一点。
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
21
数学文化与赏析
高一数学 2023 年 4 月
■ 石汉荣
刘大鸣(特级教师)
以 立 体 几 何 的 定 义、公 理 和 定 理 为 出 发
点,
认识和 理 解 空 间 中 线 面 垂 直 的 有 关 性 质
与判定定理,
运用公理、
定理和已获得的结论
证明一些 有 关 空 间 图 形 的 垂 直 关 系,凸 显 逻
辑推理、
直观想象、
数学运算的核心素养。
一、
与线、
面垂直相关命题的判断
例1
下列命题中错误的是(
)
。
如果平 面 α⊥ 平 面 β,那 么 平 面 α 内
判断点在直线上的依据。
二、
证明点、
线共面
例1
(
如图 1,
已 知 A,
1)
B,
C,
D,
E是
空间的 五 个 点,且 线 段 CE 、
AC 和 BD 两 两
相交,
求证:
A,
B,
C,
D,
E 这五个点在同一平
面内。
点、
线确定另一个 平 面 β,再 证 平 面 α 与β 重
。
合,
即为“
同一法”
三、
证明点共线、
线共点问题
则由面
素养:
与线、
面垂直的 相 关 命 题 的 真 假 判
即可。线 线、线 面、面 面 垂 直 的 五 个 常 用 结
论:
若一条直线垂直于一 个 平 面,
则这条直线
垂直于这 个 平 面 内 的 任 意 直 线;若 两 条 平 行
线中的一 条 垂 直 于 一 个 平 面,则 另 一 条 也 垂
直于这个 平 面;垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 个 平
B.
如果平面α⊥ 平面γ,
平面β⊥ 平面γ,
C.
那么l⊥ 平面 γ
α∩β=l,
如果平面α⊥ 平面β,
那么平面α 内所
D.
有直线都垂直于平面β
对 于 A,设 平 面 α∩β=a,
设b⊂α,且 b∥a,显 然 直 线 b⊄
根据线面平行的判定定理得 b∥
A 正 确。
β,
β,
对于 B,
如 果 α 内 存 在 直 线 与β 垂 直,
EH ,
FG 共 面,且 EH 与 FG 不 平 行。 不 妨
设 EH ∩ FG = P ,则 P ∈ EH ,
EH ⊂ 平 面
所以 P ∈ 平面 ABD 。
ABD ,
同理,
P ∈ 平面 BCD 。
图4
(
证明:
已知 AB 的 延 长 线 交 平 面α 于
1)
点 P,
根据基本事实 3,
平面 ABC 与平面α 必
可得 Q ∈l,
R ∈l。
AE CF
AH CG
(
因为
2)
=
=1,
=
=2,所
EB FB
HD GD
22
后证明其 他 点 也 在 这 条 直 线 上;证 明 三 线 共
面的交线,
证明该交线与另两条直线分别交
作者单位:
江苏省太仓市明德高级中学
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
C正
确。对于 D,
平 面 α⊥β,设 平 面 α∩β=a,在
平面 α 内 与 a 平 行 的 直 线 都 不 与 平 面β 垂
一定存在直线平行于平面β
直,
D 错误。应选 D。
面α 内一定不存在直线垂直于平面β
断问题,
正确的需说明原 因,
不成立举出反例
如果平 面 α 不 垂 直 于 平 面β,那 么 平
证明点、
线共面问题的两种常
一个公共 点,那 么 它 们 有 且 只 有 一 条 过 该 点
用方法:
先 由 部 分 点、线 确 定 一 个 面,再 证 其
的公共直线。作用:
判断 两 平 面 相 交 的 依 据;
;
余的点、
线 都 在 这 个 平 面 内,即 为 “纳 入 法 ”
先由其中一部 分 点、
线 确 定 一 个 平 面 α,其 余
相交于一条直线,
设为直线l。
因为 P ∈ 直线 AB ,
所以 P ∈ 平面 ABC。
又因为平 面 ABD ∩ 平 面 BCD =BD ,所
以 P ∈BD ,
所以 EH ,
BD ,
FG 三条直线相 交
于同一点 P 。
方法点拨:
证明多 点 共 线 问 题,可 证 明 点
分别在两 个 平 面 内,再 证 明 点 在 两 个 平 面 的
A.
面垂直的判定定 理 知 平 面 α⊥β,
这与已知矛
盾,
B 正 确。 对 于 C,设 平 面 α∩γ=a,平 面
在平面 γ 内作 直 线 m ⊥a,
n⊥b,由
β∩γ=b,
,
面面垂直的性质定理 得 m ⊥α n⊥β,由 直 线
可 得 m ⊥l,
l⊂α,
l⊂β,
n⊥l,由 α∩β=l,可
得 m,
n 为 相 交 直 线,所 以 l⊥ 平 面 γ,
面平行;
一条直线垂直于两平行平面中的一
个,
则这条直线与另一个 平 面 也 垂 直;
两个相
交平面同 时 垂 直 于 第 三 个 平 面,它 们 的 交 线
以 EF ∥AC,HG ∥AC 且 EF ≠ HG ,所 以
在直线l 上。 求 证:直 线 AD ,
BD ,
CD 在 同
一平面内。
图3
(
如图 4,
在 空 间 四 边 形 ABCD 中,
2)
E,
F 分 别 是 AB 和 CB 上 的 点,
G ,H 分 别 是
AE CF
AH
CD 和 AD 上 的 点,且
=
=1,
=
EB FB
HD
图2
CG
=2。 求 证:
EH ,
BD ,
因为 M ∈CE ,
所以 M ∈α。同理 N ∈α。
所以直 线 MN 即 直 线 BD ⊂α,所 以 B ∈α,
基本事 实 1:过 不 在 一 条 直 线 上 的 三 个
D ∈α。故 A ,
B,
C,
D,
E 这五个点在同一平
面;
二是证 明 点、线 共 面 问 题;三 是 判 断 两 个
(
因为 点 A ,
(
责任编辑
郭正华)
2)
B,
C 在 同 一 直 线l 上,点
点,
有 且 只 有 一 个 平 面。 作 用:一 是 确 定 平
平面重合的依据。
基本事 实 2:如 果 一 条 直 线 上 的 两 个 点
在一个平面内,
那么这条 直 线 在 这 个 平 面 内。
作用:
既可判断直线和点 是 否 在 平 面 内,
又能
说明平面是无限延展的。
面内。
D 不 在 直 线l 上,所 以 点 A ,
B,
D 确定唯一
平面α,
所以l⊂α。因为 C∈l,
所以 C∈α。
因 为 A,
B,
C,D ∈α,所 以 AD ⊂α,
故直线 AD ,
BD ⊂α,
CD ⊂α,
BD ,
CD 在同一
不 重 合 的 平 面 有
方法点拨:
高一数学 2023 年 4 月
■ 王佩其
“
三个 基 本 事 实 ”刻 画 了 平 面 的 性 质,是
论证立体 几 何 位 置 关 系 的 基 石,是 立 体 几 何
学习不可忽视的重要内容。
一、
把握“
三个基本事实”
的表述与作用
所以 CA ,
N 。因为 CA ∩CE =C,
CE 确定一
个平面α。
又因为 AB ∩α=P ,
所 以 P ∈ 平 面 α,所 以 P
交线上,
也可选择其中 两 点 确 定 一 条 直 线,
然
因 为平面 ABC∩α=l,
所以 P ∈l。同理
点问题,
可先将其中一条直线看作某两个平
故 P,
Q,
R 三点在同一条直线上。
于两点,
再证点重合,
从而得三线共点。
是平面 ABC 与平面α 的公共点。
例2
(
如图 3,已 知 △ABC 的 三 个 顶
1)
点都 不 在 平 面 α 内,它 的 三 边 AB ,
BC,
AC
延长后分别交 平 面α 于 点 P ,
Q,
R ,求 证:
P,
Q,
R 三点在同一条直线上。
图1
(
如图 2,
已知 A ,
2)
B,
C,
D 是空间的四
个点,
且点 A ,
点D 不
B,
C 在 同 一 直 线l 上,
FG 三 条 直 线 相 交
GD
(
证明:
设 CE ∩BD = M ,
1)
CA ∩BD =
于同一点。
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21
数学文化与赏析
高一数学 2023 年 4 月
■ 石汉荣
刘大鸣(特级教师)
以 立 体 几 何 的 定 义、公 理 和 定 理 为 出 发
点,
认识和 理 解 空 间 中 线 面 垂 直 的 有 关 性 质
与判定定理,
运用公理、
定理和已获得的结论
证明一些 有 关 空 间 图 形 的 垂 直 关 系,凸 显 逻
辑推理、
直观想象、
数学运算的核心素养。
一、
与线、
面垂直相关命题的判断
例1
下列命题中错误的是(
)
。
如果平 面 α⊥ 平 面 β,那 么 平 面 α 内
判断点在直线上的依据。
二、
证明点、
线共面
例1
(
如图 1,
已 知 A,
1)
B,
C,
D,
E是
空间的 五 个 点,且 线 段 CE 、
AC 和 BD 两 两
相交,
求证:
A,
B,
C,
D,
E 这五个点在同一平
面内。
点、
线确定另一个 平 面 β,再 证 平 面 α 与β 重
。
合,
即为“
同一法”
三、
证明点共线、
线共点问题
则由面
素养:
与线、
面垂直的 相 关 命 题 的 真 假 判
即可。线 线、线 面、面 面 垂 直 的 五 个 常 用 结
论:
若一条直线垂直于一 个 平 面,
则这条直线
垂直于这 个 平 面 内 的 任 意 直 线;若 两 条 平 行
线中的一 条 垂 直 于 一 个 平 面,则 另 一 条 也 垂
直于这个 平 面;垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 个 平
B.
如果平面α⊥ 平面γ,
平面β⊥ 平面γ,
C.
那么l⊥ 平面 γ
α∩β=l,
如果平面α⊥ 平面β,
那么平面α 内所
D.
有直线都垂直于平面β
对 于 A,设 平 面 α∩β=a,
设b⊂α,且 b∥a,显 然 直 线 b⊄
根据线面平行的判定定理得 b∥
A 正 确。
β,
β,
对于 B,
如 果 α 内 存 在 直 线 与β 垂 直,
EH ,
FG 共 面,且 EH 与 FG 不 平 行。 不 妨
设 EH ∩ FG = P ,则 P ∈ EH ,
EH ⊂ 平 面
所以 P ∈ 平面 ABD 。
ABD ,
同理,
P ∈ 平面 BCD 。
图4
(
证明:
已知 AB 的 延 长 线 交 平 面α 于
1)
点 P,
根据基本事实 3,
平面 ABC 与平面α 必
可得 Q ∈l,
R ∈l。
AE CF
AH CG
(
因为
2)
=
=1,
=
=2,所
EB FB
HD GD
22
后证明其 他 点 也 在 这 条 直 线 上;证 明 三 线 共
面的交线,
证明该交线与另两条直线分别交
作者单位:
江苏省太仓市明德高级中学
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C正
确。对于 D,
平 面 α⊥β,设 平 面 α∩β=a,在
平面 α 内 与 a 平 行 的 直 线 都 不 与 平 面β 垂
一定存在直线平行于平面β
直,
D 错误。应选 D。
面α 内一定不存在直线垂直于平面β
断问题,
正确的需说明原 因,
不成立举出反例
如果平 面 α 不 垂 直 于 平 面β,那 么 平
证明点、
线共面问题的两种常
一个公共 点,那 么 它 们 有 且 只 有 一 条 过 该 点
用方法:
先 由 部 分 点、线 确 定 一 个 面,再 证 其
的公共直线。作用:
判断 两 平 面 相 交 的 依 据;
;
余的点、
线 都 在 这 个 平 面 内,即 为 “纳 入 法 ”
先由其中一部 分 点、
线 确 定 一 个 平 面 α,其 余
相交于一条直线,
设为直线l。
因为 P ∈ 直线 AB ,
所以 P ∈ 平面 ABC。
又因为平 面 ABD ∩ 平 面 BCD =BD ,所
以 P ∈BD ,
所以 EH ,
BD ,
FG 三条直线相 交
于同一点 P 。
方法点拨:
证明多 点 共 线 问 题,可 证 明 点
分别在两 个 平 面 内,再 证 明 点 在 两 个 平 面 的
A.
面垂直的判定定 理 知 平 面 α⊥β,
这与已知矛
盾,
B 正 确。 对 于 C,设 平 面 α∩γ=a,平 面
在平面 γ 内作 直 线 m ⊥a,
n⊥b,由
β∩γ=b,
,
面面垂直的性质定理 得 m ⊥α n⊥β,由 直 线
可 得 m ⊥l,
l⊂α,
l⊂β,
n⊥l,由 α∩β=l,可
得 m,
n 为 相 交 直 线,所 以 l⊥ 平 面 γ,
面平行;
一条直线垂直于两平行平面中的一
个,
则这条直线与另一个 平 面 也 垂 直;
两个相
交平面同 时 垂 直 于 第 三 个 平 面,它 们 的 交 线
以 EF ∥AC,HG ∥AC 且 EF ≠ HG ,所 以
在直线l 上。 求 证:直 线 AD ,
BD ,
CD 在 同
一平面内。
图3
(
如图 4,
在 空 间 四 边 形 ABCD 中,
2)
E,
F 分 别 是 AB 和 CB 上 的 点,
G ,H 分 别 是
AE CF
AH
CD 和 AD 上 的 点,且
=
=1,
=
EB FB
HD
图2
CG
=2。 求 证:
EH ,
BD ,
因为 M ∈CE ,
所以 M ∈α。同理 N ∈α。
所以直 线 MN 即 直 线 BD ⊂α,所 以 B ∈α,
基本事 实 1:过 不 在 一 条 直 线 上 的 三 个
D ∈α。故 A ,
B,
C,
D,
E 这五个点在同一平
面;
二是证 明 点、线 共 面 问 题;三 是 判 断 两 个
(
因为 点 A ,
(
责任编辑
郭正华)
2)
B,
C 在 同 一 直 线l 上,点
点,
有 且 只 有 一 个 平 面。 作 用:一 是 确 定 平
平面重合的依据。
基本事 实 2:如 果 一 条 直 线 上 的 两 个 点
在一个平面内,
那么这条 直 线 在 这 个 平 面 内。
作用:
既可判断直线和点 是 否 在 平 面 内,
又能
说明平面是无限延展的。
面内。
D 不 在 直 线l 上,所 以 点 A ,
B,
D 确定唯一
平面α,
所以l⊂α。因为 C∈l,
所以 C∈α。
因 为 A,
B,
C,D ∈α,所 以 AD ⊂α,
故直线 AD ,
BD ⊂α,
CD ⊂α,
BD ,
CD 在同一
不 重 合 的 平 面 有
方法点拨: