数列的概念练习题(有答案) 百度文库

一、数列的概念选择题
1．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列
{}n a 为周期数列，周期为T ．
已知数列{}n a 满足()111,1
0,{1
,01n n n n n
a a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（ ） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B
．若m =
，则数列{}n a 是周期为3的数列；
C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；
D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列．
2．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）
A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.
B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.
C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.
D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥.
3．在数列{}n a 中，11a =，11n n
a a n +=++，设数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．()3,+∞
B ．[
)3,+∞
C ．()2,+∞
D ．[)2,+∞
4．数列{}n a 的通项公式是2
76n a n n =-+，4a =（ ）
A ．2
B ．6-
C ．2-
D ．1
5．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ）
A ．20201010⨯
B ．20191010⨯
C ．20202020⨯
D ．20192019⨯
6．已知数列{}n a 的前n 项和为(
)*
22n
n S n =+∈N ，则3
a
=( )
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
7．数列{}n a 满足11
1n n
a a +=-，12a =，则2a 的值为（ ） A ．1
B ．-1
C ．
13
D ．13
-
8．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新
数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072
B ．2073
C ．2074
D ．2075
9．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1
B ．3
C ．2
D ．3-
10．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ）
A ．21n a n =-
B ．()1(21)n
n a n =--
C ．()
1
1(21)n n a n +=--
D ．()
1
1(21)n n a n +=-+
11．数列{}n a 中，()1121n
n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32
B ．36
C ．38
D ．40
12．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，
1
1
12()n
n
n S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）
A ．210
B ．211
C ．224
D ．225
13．设数列{},{}n n a b 满足*172
700,,105
n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（ ） A ．43a a >
B ．43<b b
C ．33>a b
D ．44<a b
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1
n S n N n =∈，，则2a =（ ） A ．12
-
B ．16
-
C ．
16
D ．
12
15．已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的
取值范围是（ ） A ．
10
1,3
B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．(-1，1)
D ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
16．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S
n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且
S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（ ） A ．45
B ．46
C ．47
D ．48
17．设数列{}n a 的通项公式为2
n n a n
+=，要使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
18．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），(
)*
3n n N
≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，
若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
19．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则20
1
k
k a
=∑的值不可能是（ ） A ．2
B ．4
C ．10
D ．14
20．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511
B ．513
C ．1025
D ．1024
二、多选题
21．设数列{}n a 满足11
02
a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．
21
12
a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<
D ．
20203
14
a << 22．已知数列{}n a 满足0n a >，
121
n n n a n
a a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）
A ．11a =
B ．121a a =
C ．201920202019S a =
D ．201920202019S a >
23．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 24．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．681a a >
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为6T
25．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4
n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ）
A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n
= B ．数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =+
C ．数列{}n a 为递增数列
D ．数列1
{
}n
S 为递增数列 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
27．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >
D ．110S >
28．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有
m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）
A ．11285a a a a +=+
B ．56110a a a a <
C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103
a = D ．数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为递减的等差数列 29．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的
是（ ） A ．110S =
B ．10n n S S -=（110n ≤≤）
C ．当110S >时，5n S S ≥
D ．当110S <时，5n S S ≥
30．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且32019
11
111
a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <
31．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅<
B ．22
415
4
a a +≥
C ．15
11
1a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅
32．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2
5,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）
A ．{}n a 为等差数列
B ．0n a >
C ．n S 最小值为214
-
D ．{}n a 为单调递增数列
33．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-
B ．23n a n =+
C ．2
23n S n n =-
D ．2
4n S n n =+
34．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列
35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <
D ．613S S =
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一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【解析】
试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m =
<≤时，由34a =得54
m =； 2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 .
B:
234111,11,1,m a a a =>∴==
==> 所以3T =，正
确．
C ：命题较难证明，先考察命题
D ．
D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误． 考点：命题的真假判断与应用．
【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理
解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的．
2．A
解析：A 【分析】
运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】
数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，
121n n n n a a a a +++∴≥--，
设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，
∴数列{}n d 是递减数列.
对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，
所以1220182018d d d ++
+=，又1232018d d d d ≥≥≥
≥，
所以1122018201820182018d d d d d ≥++
+≥，
故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，
02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++
≤++++=
即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；
结合A ，故B 不正确；
对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；
对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】
本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.
3．D
解析：D 【分析】
利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围.
11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，
由累加法可得
()()()()12132111232
n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++
+=
，
()122211
n a n n n n ∴
==-++，2222
2222222311n S n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+
+-=-< ⎪ ⎪ ⎪
++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
， 由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
4．B
解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】
令4n =，2
447466a =-⨯+=-
故选：B. 【点睛】
数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.
5．B
解析：B 【分析】
由题意可得211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=，再将这2019个式子相加得到结论. 【详解】
由题意可知211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=， 这2019个式子相加可得()
20201201912019123 (2019201910102)
a a +-=++++==⨯.
故选：B. 【点睛】
本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.
6．D
解析：D
根据332a S S =-，代入即可得结果. 【详解】
()()3233222224a S S =-=+-+=.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了由数列的前n 项和求数列中的项，属于基础题.
7．B
解析：B 【分析】
根据数列的递推公式，代入计算可得选项. 【详解】 因为11
1n n a a +=-，12a =，所以21111112
a a =
==---， 故选：B. 【点睛】
本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.
8．C
解析：C 【分析】
由于数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】
∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，
因为331217282025132197=<<=，所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉
12个立方数，
又66320254<<，所以在从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列2
2
2
21,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有
20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项，
所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】
本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要
弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.
9．C
解析：C 【分析】
根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得
2019a 的值.
【详解】
数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】
本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.
10．C
解析：C 【分析】
分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】
数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112n
n a n =--． 故选C ． 【点睛】
本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．
11．B
解析：B 【分析】
根据所给数列表达式，递推后可得()
1
21121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以
()
1n
-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入
即可求解. 【详解】
由已知()1121n
n n a a n ++-=-，① 得()
1
21121n n n a a n ++++-=+，②
由()1n ⨯-+①②得()()()212121n
n n a a n n ++=-⋅-++，
取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1
1
12()n
n
n S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，
得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，
所以11515()15(291)15
22522
a a S ++=
==， 故选：D ． 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．
13．C
解析：C 【分析】 由题意有13
28010
n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小. 【详解】 由题意知：13
28010
n n a a +=
+，6400=a ，
∴345400a a a ===，而700n n a b +=， ∴34300b b ==， 故选：C 【点睛】
本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.
14．A
解析：A 【分析】
令1n =得11a =，令2n =得2121
2
S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =
，所以111
11
a S ===， 因为21212S a a =+=，所以211
122
a =-=-. 故选：A
15．A
解析：A 【分析】
由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
，讨论n 为奇数和偶数时，再利用
数列单调性即可求出. 【详解】
数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，
即()1
22112+1222n
n n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
恒成立，
即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
， 当n 为奇数时，则()6212n
n λ>-+⋅恒成立，
()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，
66λ∴>-，解得1λ>-；
当n 为偶数时，则()6212n
n λ<+⋅恒成立，
()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，
620λ∴<，解得103
λ<
，
综上，1013
λ-<<. 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出
16212n
n λ⎛⎫
-<+ ⎪⎝⎭
恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 16．C
解析：C 【分析】
利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解 【详解】
当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C
17．C
解析：C 【分析】
先求出数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，令0n D >解不等式，结合*n N ∈，即可求解. 【详解】
记数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，则
()()12
11245
1232312
n n n n n n n D a a a a n n -++++=⋅⋅=⨯⨯⨯
⨯⨯=- 依题意有
()()12362
n n ++>
整理得()()2
3707100n n n n +-=-+> 解得：7n >，
因为*n N ∈，所以min 8n =， 故选：C
18．A
解析：A 【分析】
根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】
由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，
1，2，3，1，0，……
则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3， 故选：A
19．B
解析：B 【分析】
先由题中条件，得到2
12
21i i i a a a +-=+，由累加法得到20
2211
221k k a a ==-∑
，根据00a =，
()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.
【详解】
由11i i a a +=+得()2
221121i i i i a a a a +=+=++，
则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，
……，
2202022121a a a -=+，
以上各式相加可得：()21120
2
21
0221
2 (20202)
k
k a a a a a a
=-
=+++++=∑，
所以20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，
又00a =，所以2
12
0211a a a =++=，则20
2211
221
k k a a ==-∑
，
因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或
2，
所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或
4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，
以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或
21±，
因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，
所以22112
2a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，
170，210；
则
20
1
k
k a
=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，
即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B.
关键点点睛：
求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，将问题
转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.
20．B
解析：B 【分析】
根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】
因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，
所以
11
21
n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，
所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以9
1021513a =+=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足
()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方
法进行求解.
二、多选题 21．ABD 【分析】
构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，
所以当时，，
即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ，
解析：ABD
构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】
由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102
a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122x
f x x x
-'=-
=--， 所以当01x <<时，0f x ，
即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
为单调递增函数， 即()()102f f x f ⎛⎫<<
⎪⎝⎭
，
即()131
ln 2ln ln 1222
f x <<<+<+=， 所以()1
12
f x << ， 即
1
1(2)2
n a n <<≥， 所以
2112a <<，20201
12
a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，
1
12
n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 231
32131113ln(2)ln ln 222234
a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333
144
a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.
22．BC 【分析】
根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错. 【详解】 由可知，即，
当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则
解析：BC 【分析】
根据递推公式，得到11n n n
n n a a a +-=-，令1n =，得到121
a a =，可判断A 错，B 正确；
根据求和公式，得到1
n n n
S a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】
由121n n n a n a a n +=+-可知2111
n n n n n
a n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则12
1
a a =
，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321
111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++
+=-+-+
+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：
由递推公式求通项公式的常用方法：
（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如
()1
n n
a f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通
项时，常需要构造成等比数列求解；
（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2
,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.
23．ABD 【分析】
根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】
依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，，
可得，故不
解析：ABD 【分析】
根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，
342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正
确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
累加可知D 正确. 【详解】
依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，
312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以
712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；
由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，
可得
13572019a a a a a ++++
+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，
故C 不正确；
2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2
33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，
，2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，
所以
2222
2
12342019
a a a a a ++++
+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，
所以
222
122019
20202019
a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.
24．AD 【分析】
分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾.
②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得，则的最大值为. B ，C ，错误. 故选：AD. 【点睛】
解析：AD 【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】
①671,1a a >>, 与题设
671
01
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.
③671,1,a a <<与题设
671
01
a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .
∴B ，C ，错误.
故选：AD. 【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1
*
1n n a a q
n N -=∈.
25．AD 【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】
因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；
解析：AD 【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】
11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+=
1
1104n n n S S S -≠∴
-= 因此数列1{
}n S 为以1
1
4S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n
=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时1111
44(1)4(1)
n n n a S S n n n n -=-=
-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧
=⎪⎪
=⎨⎪-≥-⎪⎩
，即B ，C 不正确；
故选：AD 【点睛】
本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
26．AC 【分析】
先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案. 【详解】
解：设等差数列的公差为， 则，解得. 所以，，，
所以当且仅当或时，取得最大值. 故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列的
解析：AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC
【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；
（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；
27．ABD 【分析】
转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为，所以，即，
因为数列递减，所以，则，，故A 正确； 所以最大，故B 正确； 所以，故C 错误
解析：ABD 【分析】
转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】
因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，
因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137
131302
a a S a
+⨯==<，故C 错误； 所以()111116
111102
a a S a
+⨯=
=>，故D 正确.
故选：ABD.
28．AC 【分析】
令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】
令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确；
由，所以，故B 错误；
解析：AC
【分析】
令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可
判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；
122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，根据02>d ，可判定D 错误.
【详解】 令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；
由()()222
25611011119209200a a a a a a d d a a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B
错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333
a =+⨯=，故C 正确； 由()111222n
n n na d S d d n a n n -+⎛⎫=
=+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误.
故选：AC .
【点睛】
解决数列的单调性问题的三种方法；
1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；
2、作商比较法：根据1(0n n n
a a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.
29．BC
【分析】
设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断.
【详解】
设公差d 不为零,
因为，
所以，
即，
解得，
，故A 错误；
，故B 正确；
若，解得，，故C 正确；D 错误；
故选：BC
解析：BC
【分析】
设公差d 不为零,由
38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】
设公差d 不为零, 因为38a a =， 所以1127a d a d +=+，
即1127a d a d +=--， 解得19
2
a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭
，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222
n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+
=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭
，解得0d >，()()22510525222
n d d d n n S n S =
-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 30．AC
【分析】
将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项
【详解】
由，可得，令，
，
所以是奇函数，且在上单调递减，所以，
所以当数列为等差数列时，；
解析：AC
【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212
a a e e -+-≤++，构造函数
()1112
x f x e =
-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项
【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112
x f x e =-+， ()()1111101111
x
x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++， 所以()1112
x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********
a a S +=≥； 当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()
2021202110110T a =>.
故选：AC
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 31．ABC
【分析】
由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．
【详解】
由题知，只需，
，A 正确；
，B 正确；
，C 正确；
，所以，D 错误.
【点睛】
本题考查等差数列的性
解析：ABC
【分析】
由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．
【详解】
由题知，只需1220010
a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；
()()2222415223644
a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 2
1511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．
32．AD
【分析】
利用求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对进行配方可对C 进行判断
【详解】
解：当时，，
当时，，
当时，满足上式，
所以，
由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列，
因
解析：AD
【分析】
利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断
【详解】
解：当1n =时，11154a S ==-=-，
当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，
当1n =时，14a =-满足上式，
所以26n a n =-，
由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列，
因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于225
255()24
n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，
【点睛】
此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题
33．AC
【分析】
由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式
【详解】
由题可知，，即，所以等差数列的公差，
所以，.
故选：AC.
【点睛】
本题考查等差数列，考查运算求解能力.
解析：AC
【分析】
由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式
【详解】
由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232
n n n S n n --=
=-. 故选：AC.
【点睛】
本题考查等差数列，考查运算求解能力. 34．ABC
【分析】
由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当时，．
当时，．
当时，上式＝．
所以若是等差数列，则
所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列． 解析：ABC
【分析】
由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．
当1n =时，11a S a b c ==++．
当2n ≥时，()()2
21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．
所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩
时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．
故选：A B C
【点睛】
本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．
35．AD
【分析】
由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误.
【详解】
解：，，故正确A.
由，当时，，有最小值，故B 错误.
，所以，故C 错误.
，
，故D 正确.
解析：AD
【分析】
由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.
【详解】
解：1385a a S +=，111110875108,90,02
d a a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.
9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.
61656+5415392
d S a d d d ⨯==-+=-， 131131213+
11778392d S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确.
【点睛】
考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。