2011届五校联合教学调研数学理

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2010年上海五校联合教学调研数学试卷（理科）（3.18）
考生注意：
1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。

2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置准确填写学校、姓名、考号、座位号等信息。

3、考试结束只交答题纸。

一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分） 1、已知集合，集合，则 2、已知是纯虚数，是实数，则 3、若，则
4、在直角坐标系中，圆C 的参数方程是，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为
5、若实数满足，则的最小值是 6 、某篮球队在场篮球比赛中，投进三分球的个数分别为，则右图表示的框图输出的s 的实际意义是 7、把三阶行列式中元素7的代数余子式记为，若关于x 的不等式的解集为，则实数 8、一个圆锥形的空杯子上面放一个球形的冰激凌，圆锥底的直径与球的直径均为10，如果冰激凌融化后全部流在杯子中，并且不会溢出杯子，则杯子高度的最小值为 9、设分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则 10、已知为锐角，且，那么的取值范围是 11、抛一枚均匀硬币次，数列定义如下： ，若n S 是数列的前项和，则3S 的数学期
望是 12、已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，都有，当的时候，， 在区间上的反函数为，则 13、已知过点的直线与抛物线交于不同的两点，计算的值，由此归纳一条与抛物线有关的性质，使得上述计算结果是性质的一个特例： （根据回答的层次给分） 14、已知以为首项的数列满足： ，若，则数列的前2010项之和 二、选择题：（本大题共4题，每题4分，共16分） 15、在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） （A ）-10 （B ）10 （C ）-5 （D ）5
16、已知数列的通项公式为 ，则（ ）
（A ）1 （B ） （C ）1或 （D ）不存在 17、如图，设点是单位圆上的一定点，动点从出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所转过的弧的长为l ，弦的长度为，则函数的图像大致是（ ）
18、已知函数 ，则下列命题中： （1）函数在上为周期函数 （2）函数在区间上单调递增 （3）函数在取到最大值0，且无最小值 （4）若方程有且只有两个不同的实根，则 正确的命题的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
三、解答题：（14+14+14+18+18） 19、（本大题共14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，直四棱柱中，底面为梯形，平行于，，，是中点。

（1）求证：
（2）求二面角的大小。

20、（本大题共14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知关于的方程有两个虚根、，且满足 （1）求方程的两个根以及实数的值 （2）若对于任意，不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围。

21、（本大题共14分，第1小题6分，第2小题8分） 某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP （即人均纯收入）在0.5-8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况的调查中发现：人均GDP 处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向
学校________________姓名______________ 考号________________座位号_________
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两边递减。

（1）下列几个模拟函数中（x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销量，单位；升），用哪个来描述人均A 饮料销量与地区的人均GDP 的关系更合适？说明理由。

（A ） （B ） （C ） （D ）
若人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销量为2升；若人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销量为5升，把你所选的模拟函数求出来。

（2）因为A 饮料在B 国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件的影响，A 饮料在人均GDP 低于3千美元和高于6千美元的地区销量下降5%，其它地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在各个地区中，年人均A 饮料的销量最多为多少？ 22、（本大题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知椭圆C ：的焦点和上顶点分别为、、，我们称为椭圆C 的特征三角形。

如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比。

已知椭圆 以抛物线的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4。

（1）若椭圆与椭圆相似，且相似比为2，求椭圆的方程。

（2）已知点是椭圆上的任一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明点一定落在双曲线上。

（3）已知直线l ：，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为b C ，是否存在正方形，使得在直线l 上，在曲线b C 上，若存在求出函数的解析式及定义域，若不存在，请说明理由。

23、（本大题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知无穷数列中，是以10为首项，以-2为公差的等差数列；是以为首项，以为公比的等比数列，并对任意，均有成立， （1）当时，求 （2）若，试求的值
（3）判断是否存在，使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
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2010年上海五校联合教学调研数学试卷答案（理科）
一、填空题
1、 2、 3、 4、 5、 6、场均三分球个数 7、1 8、20 9、 10、 11、 12、 13、过的直线与抛物线交于不同的两点，则（1分） 过的直线与抛物线交于不同的两点，则（2分） 过的直线与抛物线交于不同的两点，则（4分） 14、 二、选择题： 15、B 16、B 17、C 18、A 三、解答题 19、（1）因为直四棱柱且；则四边形是正方形 ；则平面；则 （4分）
，；则平面；所以 （6分） （2）建立空间直角坐标系 ；； ；；； （8分） 设平面的法向量为，则 ，令，则 （10分）
； （12分）
显然二面角为锐角，所以二面角的大小为 （14分）
20、（1）设，则；1044>⇒<-=∆a a （1分） ；；所以两根分别为 （4分） （6分） （2），所以不等式对任意恒成立 （8分） 当且仅当的时候等号成立，所以在上单调递增 所以 （12分） 所以 （14分） 21、（1）用A 来模拟比较合适 （1分） 因为B,C,D 表示的函数在区间上是单调的 （3分） （5分）
所以函数解析式为 （6分） （2）当时，，在上递增，所以 （8分） 当时，，在上递减，所以 （10分） 当时，，，所以 （12分） 比较大小得：当时， （13分） 答：当人均GDP 在千美元的地区，人均A 饮料的销量最多为 （14
分） 22、（1）椭圆的一个焦点为，，所以椭圆： （2分） 设：，相似比为2，；，所以椭圆： （4分）
（2）点在椭圆上，则
14
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=+n m ，设点 （7分） ， 所以点在双曲线上 （10分） （3）椭圆：，相似比为，则椭圆的方程为： （11分） 由题意：只需上存在两点B 、D 关于直线对称即可 设：，设BD 中点为，， ()
222225051664m b b m m >⇒>-⨯⨯-=∆
（13分） 由韦达定理知：， 在直线上，则，所以 （15分） 此时正方形的边长为2
BD
，所以正方形的面积为 所以 （18分） 23、（1）；所以 （2分） 是以为首项，以为公比的等比数列的第6项，所以 （4分） （2），所以 （5分） 因为，所以，其中 （6分） ， 当时，，成立。

当时，，成立；当时，成立 （9分） 当时，；所以可取9、15、45 （10分） （3）()()68102112112122110646432123128+++⎪
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⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
--+=+++=+m m m m m m a a a S S （12分） （13分）
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设， （14分）
； （15分） ，对称轴，所以在时取最大
（17分） 因为1922>1920，所以不存在这样的
（18分）
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