课时作业25：1.1.3 导数的几何意义

1.1.3 导数的几何意义
1.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )
A ．f ′(x A )>f ′(x
B )
B ．f ′(x A )<f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
答案 B
解析 由导数的几何意义，知f ′(x A )，f ′(x B )分别是曲线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．
2．下列各点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0)
B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116
D.⎝⎛⎭⎫12，14 答案 D
解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，
则y ′|0x x ＝＝lim Δx →0
(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＝tan π4＝1， 所以x 0＝12，y 0＝14
. 3.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )
A ．－4
B ．3
C ．－2
D ．1
答案 D
解析 由图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴f (2)＋f ′(2)＝1，故选D.
4.若函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 B
解析 根据导数的几何意义，可知导函数f ′(x )在区间(－∞，0)内为负值，在区间(0，＋∞)内为正值，在x ＝0处为0，故f ′(x )的图象与x 轴有且只有1个交点．
5．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )
A ．4x －y －4＝0
B ．x ＋4y －5＝0
C ．4x －y ＋3＝0
D ．x ＋4y ＋3＝0 答案 A
解析 设切点为(x 0，y 0)，
因为f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2
Δx ＝lim Δx →0
(2x ＋Δx )＝2x . 由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，
所以x 0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，
即4x －y －4＝0，故选A.
6．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a
＝________. 答案 2
解析 由题意知a ＋b ＝3，
又y ′|x ＝1＝lim Δx →0
a (1＋Δx )2＋
b －(a ＋b )Δx ＝2a ＝2， ∴a ＝1，b ＝2，故b a
＝2. 7．曲线y ＝1－1x
在点(1,0)处的切线的倾斜角等于______． 答案 π4
解析 因为y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx －0Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx
＝1， 所以曲线在该点处的切线的斜率等于1，故倾斜角等于π4
. 8．曲线y ＝x 2＋1x
在点(1,2)处的切线方程为__________． 答案 x －y ＋1＝0
解析 ∵y ＝x 2＋1x
， ∴y ′＝lim Δx →0
(x ＋Δx )2＋1x ＋Δx －x 2－1x Δx ＝2x －1x 2， 当x ＝1时，y ′＝2－1＝1，
∴所求切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.
9．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求直线l 2的方程．
解 因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx
＝lim Δx →0
(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx ＝2x ＋1， 所以y ′|x ＝1＝3，
所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3，
设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2相切的切点为P (x 0，x 20＋x 0
－2)， 则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．
因为l 1⊥l 2，所以3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23
， 所以直线l 2的方程为3x ＋9y ＋22＝0.
10．已知曲线y ＝x －1x
(x >0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13
，求实数x 0的值． 解 ∵y ′＝lim Δx →0 ⎣⎡⎦⎤x ＋Δx －1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x －1x Δx
＝lim Δx →0 ⎣⎡⎦⎤(x ＋Δx －x )＋⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋Δx Δx
＝lim Δx →0
Δx ＋Δx x (x ＋Δx )Δx
＝lim Δx →0 ⎣⎡⎦⎤1＋1x (x ＋Δx )
＝1＋1
x 2，
∴切线的斜率为1＋1
x 20，
则切线的方程为y －x 0＋1
x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1
x 20(x －x 0)．
令x ＝0得y ＝－2
x 0，令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20
， ∴S △OAB ＝12×2x 0×2x 01＋x 20＝1
3
， 解得x 0＝5(负根舍去)．
11．已知抛物线y ＝x 2在点P 处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，则P 点坐标为(
) A ．(2,4) B ．(－2,4)
C ．(－1,1)
D ．(1,1)
答案 A
解析 y ′＝lim Δx →0 (
x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .
设抛物线在点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，
则y ′|0x x ＝＝2x 0＝4，解得x 0＝2，
所以y 0＝x 20＝4，
即P (2,4)，经检验，符合题意．
12．已知函数f (x )＝x 3，过点P ⎝⎛⎭⎫2
3，0作曲线f (x )的切线，则其切线方程为( )
A ．y ＝2
B ．x ＝2
3
C ．3x －y －2＝0或y ＝0
D ．12x －9y －8＝0
答案 C
解析 设切点为Q (x 0，x 30)，得切线的斜率为
k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30
Δx ＝3x 20，
切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.
因为切线过点P ⎝⎛⎭⎫2
3，0，
所以2x 20－2x 30＝0，
解得x 0＝0或x 0＝1，
从而切线方程为y ＝0或3x －y －2＝0.
13．若点P 是抛物线y ＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________，此时P 点坐标为________．
答案 728 ⎝⎛⎭⎫12，14 解析 由题意可得，当点P 到直线y ＝x －2的距离最小时，点P 为抛物线y ＝x 2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y ＝x －2，设y ＝f (x )＝x 2，由导数的几何意义知y ′＝f ′(x )＝
lim Δx →0
f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝2x ＝1，解得x ＝12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，14，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝72
8.
14．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在x ＝1处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 答案 1
解析 ∵f ′(x )
＝lim Δx →0
a (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )＋1－ax 3－x －1Δx ＝lim Δx →0
a (Δx )3＋3ax 2Δx ＋3ax (Δx )2＋Δx Δx ＝lim Δx →0
[a (Δx )2＋3ax 2＋3ax Δx ＋1] ＝3ax 2＋1，
∴f ′(1)＝3a ＋1，
又f (1)＝a ＋2，
∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)， 又此切线过点(2,7)，
∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.
15．已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x
，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为__________________．
答案 x －2y ＋1＝0
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝1x 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1， ∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f (x )＝x ，得f ′(x )＝lim Δx →0 1＋Δx －1Δx
＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12
， ∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12
(x －1)， 即x －2y ＋1＝0.
16．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．
解 设切点为P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)
＝lim Δx →0
(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)Δx ＝lim Δx →0
[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2＋2ax 0＋a Δx －9] ＝3x 20＋2ax 0－9，
∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 2
3. ∵斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－a 2
3
＝－12. 解得a ＝±3.
又a <0，
∴a ＝－3.。