北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期期中考试数学试题(解析)

2024北京北师大二附中高三（上）期中
数学
本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一、单选题（本大题共10小题，共40分）
1. 设集合
{
}22
M x x =<，{}13N x x =-≤≤，则M N ⋃=（ ）
A. {1x x -≤<
B. {}12
x x -≤<
C. }
3x <≤ D. {
}
23
x x -<≤【答案】C 【解析】
【分析】解不等式求集合M ，进而根据并集运算求解.【详解】因22x <
，解得x <<
，即{|M x x =<<，
且{}
13N x x =-≤≤
，所以{
}3M N x
x =<≤∣ ．
故选：C ．2. 曲线3
113
y x =+在点()3,8--处的切线斜率为（ ）A. 9 B. 5
C. 8
- D. 10
【答案】A 【解析】
【分析】求导，根据导数几何意义可得解.【详解】由已知3
113
y x =
+，则2y x '=，当3x =-时，()2
39y '=-=，即切线斜率9k =，故选：A.
3. 在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是()()2,1,1,3--，则2
1
z z 的模是（ ）
A 5
B.
C. 2
D.
【答案】D
为的.
【解析】
【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解.【详解】由题意知，12i z =-，213i z =-，所以
()()()()2113i 2i 13i 55i 1i 2i 2i 2i 5
z z -+--====---+
所以
21
z z ==，故选：D.4. 已知直线6
x π
=是函数()sin (08)6f x x πωω⎛⎫
=+
<< ⎪⎝
⎭
图像的一条对称轴，则ω的值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
【答案】C 【解析】
【分析】根据正弦函数图象的对称性可得,Z 6
6
2
k k π
π
π
ωπ⋅+
=+
∈，由此可得答案.
【详解】依题意得()sin()16
66
f ππ
π
ω=⋅
+=±，所以,Z 6
6
2
k k π
π
π
ωπ⋅
+
=+
∈，
即62,Z k k ω=+∈，又08ω<<，所以2ω=.故选：C.
5. 若0.5.4
3200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（ ）
A. a b c <<
B. b c a <<
C. c b a <<
D. c a b
<<【答案】D 【解析】
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.【详解】322
log 40.45
==
=c ，因为0.4x y =在R 上为减函数，所以10.50.40.40.40.4=<=<c a ，
因为0.4y x =在()0,x ∈+∞上为增函数，所以0.40.40.50.4>=b ，所以a b <，所以c a b <<，故选：D.
6. 在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点．则EB =
（ ）
A. 3144
AB AC
-
B. 3344
AB AC -
C. 3144
AB AC +
D. 3344
AB AC +
【答案】A 【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】因为ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，
所以()
1113122244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯
++=-
，故选：A ．
7. 在长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面11AB D 平行的概率为A.
3
14
B.
514
C.
328
D.
528
【答案】C 【解析】
【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
【详解】八个顶点任两点连线共有2
8C 28=条，其中直线与平面11AB D 平行的有BD ，1BC ，DC 1共有3条，
所以该直线与平面11AB D 平行的概率为328
P =.故选：C .
8. 已知,a b 都大于零且不等于1，则“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】log 1a
b >等价于1b a >>或01b a <<<，(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或01
01a b <<⎧⎨<<⎩
，然后可判断出答案.
【详解】由log 1a b >可得log log a a b a >，所以可得1a b a >⎧⎨>⎩或01
a b a <<⎧⎨<⎩，即1b a >>或01
b a <<<(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或01
01
a b <<⎧⎨
<<⎩所以“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的充分不必要条件故选;：A
9. 已知函数()22,,x x x m
f x x x m
⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）
A. 1m ≥
B. 3m ≥
C. 13m ≤≤
D. 1m ≤或3
m ≥【答案】B 【解析】
【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.
【详解】因为()2
2211y x x x =-=--在[)1,+∞上单调递增，y x =在R 上单调递增，
又()22,,x x x m
f x x x m ⎧-≥=⎨<⎩
在R 上单调递增，
所以2
1
2m m m m ≥⎧⎨
≤-⎩
，解得3m ≥，即实数m 的取值范围是3m ≥.故选：B
10. 核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加
的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中p 为扩增效率，n X 为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为（ ）（参考数据：0.210 1.585≈，0.2100.631-≈）A. 36.9% B. 41.5%
C. 58.5%
D. 63.4%
【答案】C 【解析】
【分析】由题意，0100n X X =代入解方程即可.
【详解】由题意可知，()00lg10010lg 1lg X p X =++，即002lg 10lg(1)lg X p X +=++，所以0.2110 1.585p +=≈，解得0.585p =.故选：C
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11. 函数y =
______.
【答案】()0,2【解析】
【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得2
40
x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<，故定义域为()0,2.故答案为：()
0,212. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为13,1,18n S a S ==，则6S =______.【答案】81【解析】
【分析】运用等差数列的性质公式计算即可.
【详解】根据题意，知道131,18a S ==，则231417a a a a +==+，则416a =，若公差为d ，所以41315a a d -==，则5d =.
故1234561,6,11,16,,21,26.a a a a a a ======则6161116212681S =+++++=.故答案为：81
13. 在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()2
26b a c =+-，23
B π
=，则ABC V 的面积是______________.
【解析】【分析】
利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积.
【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，
()2
222626b a c a c ac =+-=++- ，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得
6ac =，
因此，ABC V
的面积是11sin 622ABC S ac B =
=⨯=
△
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
14. 已知函数()()
22log 2,014,03x x x a x f x x ⎧++≥⎪
=⎨⎛⎫
-<⎪ ⎪
⎝⎭⎩
的值域是R ，则实数a 的最大值是______．【答案】8
【解析】
【分析】根据条件可得()f x 在[)0+∞，
上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a 的范围．
【详解】当0x <时，1()43)(,3x
f x ⎛⎫
=- ∈-∞⎪⎝⎭．
因为()f x 的值域为R ，则当0x ≥时，min ()3f x ≤．当0x ≥时，222(1)1y x x a x a =++=++-，
故()f x 在[)0+∞，
上单调递增，min ()=(0)3f x f ∴≤，即2log 3a ≤，
解得08a <≤，即a 的最大值为8．故答案为：8．
15. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面面积等于；②截面是一个五边形；
③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】②③【解析】
【分析】根据给定条件，作出平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，再逐一判断各个命题作答.
【详解】在四棱锥P ABCD -中，PA =AB =4，取CD 中点，连接FG ，GH ，BD ，AC ，如图，
因底面ABCD 为正方形，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，则////EH BD FG ，
////EF PC GH ，EFGH 是平行四边形，
令FG AC J ⋂=，有14CJ AC =
，在PA 上取点I ，使1
4
PI PA =，连接,,EI HI JI ，则////JI PC EF ，
点J ∈平面EFH ，有JI ⊂平面EFH ，点I ∈平面EFH ，,EI HI ⊂平面EFH ，因此五边形EFGHI 是平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，②正确；
因EF ⊂平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，而//EF PC ，则//PC 平面EFH ，直线PC 与截面所在平面
EFH 无公共点，③正确；
PA ⊥底面ABCD ，FG ⊂平面ABCD ，有PA FG ⊥，而BD AC ⊥，//BD FG ，则AC FG ⊥，又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，因此FG ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，
于是得FG PC ⊥，有FG EF ⊥，而12FG BD =
=，12EF PC ===，
矩形EFGH 面积等于EF FG ⋅=，3
4
JI PC ==，而JI EH ⊥，则IEH 边EH 上的高等于
JI EF -=1
2
IEH S EH =
= ，所以截面五边形EFGHI 面积为，①不正确.故答案为：②③
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，
或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
三、解答题（共6题，共85分）
16. 已知函数()()2
2sin cos 2cos f x x x x =+-，（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；
（2）当π0,
2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的最大值和最小值【答案】（1）最小正周期π，单调递减区间3π7ππ,π88k k ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z ；
（2，最小值-1．【解析】
【分析】（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先根据π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，确定正弦函数自变量取值范围，再根据正弦函数性质求最值.【小问1详解】
()()()2
22πsin cos 2cos 12sin cos 2cos 1sin 21cos 224f x x x x x x x x x x ⎛
⎫=+-=+-=+-+=- ⎪
⎝
⎭,
∴最小正周期2ππ2T =
=，由ππ3π22π,2π422x k k ⎡⎤
-∈++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z 得单调递减区间为
3π7ππ,π88x k k ⎡⎤
∈++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z ；
【小问2详解】
由π0,
2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
得ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x -=时，()f x ππ244x -=-时，()f x 的最小值为-1.
17. 在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①22cos a b c B -=，②1
sin cos 62
C C π⎛⎫
+
=+ ⎪⎝
⎭，③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ ，m n ⊥
.
（1）求角C ；
（2）若c =
，求ABC V 周长的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
3
π
（2
）【解析】
【分析】（1）选①由正弦定理结合和角公式得出角C ；选②由和角公式结合辅助角公式得出角C ；由数量积公式结合余弦定理得出角C ；
（2）由余弦定理结合基本不等式得出ABC V 周长的取值范围.【小问1详解】选①
由正弦定理及22cos a b c B -=，2sin sin 2sin cos A B C B -=，又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，2sin cos sin B C B
∴=sin 0B ≠ ，1
cos 2C ∴=
，又(0,)C π∈，3
C π∴=.选②由1sin cos 62C C π⎛
⎫
+
=+ ⎪
⎝
⎭
11cos cos 22
C C C +=+，
11cos 22
C C -=，1
sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭.(0,)C π∈ ，5,666C π
ππ
⎛⎫
∴-
∈- ⎪
⎝⎭
，66C ππ∴-=，3C π∴=选③
(,)
m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ .m n ⊥
.()()()0a c a c b a b ∴-⋅++-⋅=.化简得2
2
2
a b c ab +-=，2221
cos 22
a b c C ab +-==.
又(0,)C π∈ ，3
C π
∴=.
【小问2详解】
由余弦定理得2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，
又2
a b
+³Q 2
()4
a b ab +∴≤当且仅当a b =时等号成立.
223
3()3()4
ab a b a b ∴=+-≤
+
，0a b ∴<+≤
，当且仅当a b ==..。