专题01 数与式的有关计算(解析版)

2020年中考数学大题狂练之中等大题满分夯基练（江苏专用）
专题01 数与式的有关计算
【真题再现】
1．（2019苏州第21题）先化简，再求值：x−3
x+6x+9
÷（1−6x+3），其中，x=√2−3．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解析】原式=
x−3
(x+3)2
÷（
x+3
x+3
−
6
x+3
）
=x−3 (x+3)2÷x−3 x+3
=x−3 (x+3)2年
x+3
x−3
=1x+3，
当x=√2−3时，
原式=
1
√2−3+3
=1
√2
=√22．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．2．（2019年扬州第19题）计算或化简：
（1）√8−（3﹣π）0﹣4cos45°；
（2）a2
a−1+
1
1−a
．
【分析】（1）先化简二次根式、计算零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得； （2）先变形为同分母分式相减，再依据法则计算，继而约分即可得． 【解析】（1）原式＝2√2−1﹣4×√2
2
＝2√2−1﹣2√2 ＝﹣1；
（2）原式=a 2a−1−1a−1 =a 2−1a−1
=
(a+1)(a−1)
a−1
＝a +1．
点睛：本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则． 3．（2019年徐州第19题）计算： （1）π0−√9+（13
）﹣
2﹣|﹣5|；
（2）
x 2−16x+4
÷
2x−84x
．
【分析】（1）先计算零指数幂、算术平方根、负整数指数幂和绝对值，再计算加减可得； （2）先化简各分式，再将除法转化为乘法，继而约分即可得． 【解析】（1）原式＝1﹣3+9﹣5＝2； （2）原式=
(x+4)(x−4)x+4÷2(x−4)
4x
＝（x ﹣4）年2x x−4
＝2x ．
点睛：本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式的乘除运算顺序和运算法则． 4．（2019年镇江第18题）（1）计算：（√2−2）0
+（13
）﹣
1﹣2cos60°；
（2）化简：（1+
1x−1）÷x
x 2−1
． 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算； （2）根据分式的混合运算法则计算． 【解析】（1）（√2−2）0+（13
）﹣
1﹣2cos60°
＝1+3﹣1 ＝3； （2）（1+1x−1）÷x
x 2−1 ＝（x−1x−1
+1x−1
）÷
x
2 =
x x−1年(x+1)(x−1)x
＝x +1．
点睛：本题考查的是分式的混合运算、实数的混合运算，掌握它们的运算法则是解题的关键． 5．（2019年南京第17题）计算（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a +b ）（m +n ）＝am +an +bm +bn ，计算即可． 【解析】（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）， ＝x 3﹣x 2y +xy 2+x 2y ﹣xy 2+y 3， ＝x 3+y 3． 故答案为：x 3+y 3．
点睛：本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 6．（2019年淮安第17题）计算： （1）√4−tan45°﹣（1−√2）0； （2）ab （3a ﹣2b ）+2ab 2．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案； （2）直接利用单项式乘以多项式运算法则进而计算得出答案． 【解析】（1）√4−tan45°﹣（1−√2）0 ＝2﹣1﹣1 ＝0；
（2）ab （3a ﹣2b ）+2ab 2 ＝3a 2b ﹣2ab 2+2ab 2 ＝3a 2b ．
点睛：此题主要考查了单项式乘以多项式和实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7．（2019年南通第20题）先化简，再求值：（m +
4m+4m ）÷m+2
m 2
，其中m =√2−2． 【分析】先化简分式，然后将m 的值代入计算．
【解析】原式=m 2+4m+4m ÷m+2
m 2 =(m+2)2
m 年m 2m+2
＝m 2+2m ， 当m =√2−2时， 原式＝m （m +2） ＝（√2−2）（√2−2+2） ＝2﹣2√2
点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练运用分解因式化简分式是解题的关键． 8．（2019年常州第19题）计算： （1）π0+（12
）﹣
1﹣（√3）2；
（2）（x ﹣1）（x +1）﹣x （x ﹣1）．
【分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可； 【解析】（1）π0+（12
）﹣
1﹣（√3）2＝1+2﹣3＝0；
（2）（x ﹣1）（x +1）﹣x （x ﹣1）＝x 2﹣1﹣x 2+x ＝x ﹣1；
点睛：本题考查实数的运算，整式的运算；熟练掌握零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则是解题的关键．
【专项突破】 【题组一】
1．（2020•如皋市校级模拟）计算或化简：
（1）﹣（﹣2）+（π﹣3.14）0+√273
+（−1
3）﹣
1
（2）（y +2）（y ﹣2）﹣（y ﹣1）（y +5）
【分析】（1）根据相反数的定义，任何非0数的0次幂等于1，立方根的定义以及负整数指数幂化简即可得出结果；
（2）根据平方差公式以及多项式乘多项式的运算法则化简即可． 【解析】（1）原式＝2+1+3﹣3 ＝3；
（2）原式＝y 2﹣4﹣（y 2+5y ﹣y ﹣5）
＝y 2﹣4﹣y 2﹣5y +y +5 ＝1﹣4y ．
2．（2020•镇江模拟）计算：
（1）√12−2sin60°+（12
）﹣
1﹣|1−√3|；
（2）
x−3x−2
÷（x +2−5
x−2）．
【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解析】（1）原式＝2√3−2×√3
2+2−√3+1＝3； （2）原式=
x−3x−2÷(x+2)(x−2)−5x−2=x−3
x−2•x−2(x+3)(x−3)=1x+3
． 3．（2020•南通模拟）（1）先化简，再求值：（2−
x−1x+1）÷x 2+6x+9
x 2−1
，其中x ＝2． （2）计算：|√3−2|+20100﹣（−1
3）﹣
1+3tan30°．
【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题；
（2）根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值可以解答本题．
【解析】（1）（2−x−1x+1）÷x 2+6x+9
2
=2(x+1)−(x−1)x+1⋅(x+1)(x−1)
(x+3)2 =
2x+2−x+11⋅x−1(x+3)2 =x+31⋅x−1
(x+3)2 =x−1
x+3，
当x ＝2时，原式=2−12+3=1
5；
（2）|√3−2|+20100﹣（−1
3）﹣
1+3tan30°
＝2−√3+1﹣（﹣3）+3×√3
3
＝2−√3+1+3+√3 ＝6．
4．（2019•梁溪区校级二模）计算： （1）(−√3)0−(−2)2+|−3|； （2）（a +b ）2﹣a （a ﹣2b ）．
【分析】（1）根据任何非0数的0次幂等于1，幂的乘方的定义以及绝对值的定义化简计算即可； （2）分别根据完全平方公式以及单项式乘多项式的运算法则化简即可． 【解析】（1）原式＝1﹣4+3 ＝0；
（2）原式＝a 2+2ab +b 2﹣a 2+2ab ＝4ab +b 2．
5．（2019•鼓楼区校级一模）计算：
（1）（﹣2）2+（π﹣3.14）0+√273
+（−1
3）﹣
1；
（2）
a 2−1a
÷（a −
2a−1
a
）． 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解析】（1）（﹣2）2+（π﹣3.14）0+√273
+（−1
3）﹣
1
＝4+1+3+（﹣3） ＝5； （2）
a 2−1a
÷（a −
2a−1
a
） =(a+1)(a−1)a ÷a 2−2a+1
a
=
(a+1)(a−1)a ⋅a
(a−1)2 =a+1
a−1．
【题组二】
6．（2020•海门市校级模拟）计算：（π﹣3.14）0﹣2√3cos30°+（12
）﹣
2﹣|﹣3|．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝1﹣2√3×√3
2
+4﹣3
＝1﹣3+4﹣3 ＝﹣1．
7．（2020•海门市校级模拟）先化简，再求值：
x 2
x −1
÷(
−1x+1
−x +1)，其中x =√2
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解析】原式=x 2
x 2−1÷（−x 2x+1
）
=
1
1−x
当x =√2时， =
1
1−2
＝﹣1−√2
8．（2020•建湖县模拟）先化简，再求值：(x +2−
5x−2)÷x−3
3x 2−6x
，其中x 满足x 2+3x ﹣1＝0． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x 2+3x ﹣1＝0即可解答本题． 【解析】(x +2−5
x−2)÷x−3
3x 2−6x
=(
(x+2)(x−2)−5x−2)÷x−3
3x(x−2)
=x 2−9
x−2×3x(x−2)x−3
=
(x+3)(x−3)x−2×3x(x−2)x−3
＝3x 2+9x ， ∵x 2+3x ﹣1＝0， ∴x 2+3x ＝1，
∴原式＝3x 2+9x ＝3（x 2+3x ）＝3×1＝3． 9．（2020•陕西模拟）化简：
a−b a
÷（a −2ab−b
2
a
）． 【分析】首先计算括号里面的运算，然后计算除法即可． 【解析】
a−b a
÷（a −2ab−b
2
a
） =a−b a ÷(a−b)
2
a
=1a−b
10．（2020•滨湖区模拟）化简（1
a−b −
1
a+b
）+
ab2
a2−b2
，当a=√3−1，b=√3+1时，求出这个代数式的值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解析】原式=
a+b−a+b
(a+b)(a−b)•
(a+b)(a−b)
ab
=
2b
(a+b)(a−b)
•
(a+b)(a−b)
ab
=
2
ab
，
故当a=√3+1，b=√3−1时，原式=2
ab
=1．
【题组三】
11．（2019•姑苏区校级二模）计算：（﹣3）2−√16+|﹣2|
【分析】先算平方、绝对值、二次根式化简，再计算加减法即可求解．【解析】（﹣3）2−√16+|﹣2|
＝9﹣4+2
＝7．
12．（2019•工业园区校级二模）先化简，再求值：x
x+3−
x2+4x+4
x+3
÷
x2−4
x−2
，其中x＝﹣3+2√2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解析】原式=
x
x+3
−(x+2)
2
x+3•
x−2
(x+2)(x−2)
=x x+3−x+2
x+3
=−2x+3，
当x＝﹣3+2√2时，
原式=
−3+22+3 =−√22．
13．（2019•海陵区校级三模）（1）计算：|﹣1|−1
2
×√8−(5−π)0+4cos45°
（2）化简：a2
a−1÷(
a2+2a+1
a2−1
−
1
a−1
)
【分析】（1）根据零指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算；
（2）先把括号内的分式约分，再进行括号的分式的减法运算，然后把除法运算转化为乘法运算后约分即可．
【解析】（1）原式＝1−√2−1+4×√2
2
＝1−√2−1+2√2 =√2；
（2）原式=a 2
a−1÷[(a+1)2(a+1)(a−1)−1a−1]
=a 2
a−1÷[a+1a−1−1a−1] =a 2a−1÷a a−1
=
a 2a−1•a−1a
＝a ．
14．（2019•广陵区校级二模）（1）计算：−32+√18−2cos45°−(−1
2
)−3 （2）化简：
m−2m −1
÷(m −1−
3
m+1
)
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂可以解答本题； （2）根据分式的额减法和除法可以解答本题． 【解析】（1）−32+√18−2cos45°−(−1
2)−3 ＝﹣9+3√2−2×
√2
2
−（﹣8）
＝﹣9+3√2−√2+8 ＝﹣1+2√2； （2）
m−2m −1
÷(m −1−
3
m+1
)
=m−2(m+1)(m−1)÷(m−1)(m+1)−3
m+1
=m−2(m+1)(m−1)⋅
m+1
m 2−4
=m−2
m−1⋅1
(m+2)(m−2) =1
(m−1)(m+2)
=
1
m 2+m−2
．
15．（2019•泉山区校级二模）计算： （1）|﹣2|﹣20190+（13
）﹣
1﹣（√2）2
（2）（1+1
m
）÷
m 2−1
m
． 【分析】（1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的性质进行计算，再求出即可； （2）先算括号内的加法，再算除法即可． 【解析】（1）|﹣2|﹣20190+（13
）﹣
1﹣（√2）2
＝2﹣1+3﹣2 ＝2；
（2）（1+1m ）÷m 2−1m
．
=m+1
m •m
(m+1)(m−1) =1
m−1．
16．（2019•姑苏区校级二模）计算：2cos60°+(1
2)−2−(π−3)0
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【解析】原式＝2×1
2+4﹣1 ＝4．
【题组四】
17．（2019•宿豫区模拟）计算：﹣12020−√(√3−2)2+（12
）﹣
2﹣2sin60°．
【分析】本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解析】原式＝﹣1﹣（2−√3）+4−√3 ＝﹣1﹣2+√3+4−√3 ＝1
18．（2019•宿豫区模拟）先化简，再求值：（x ﹣1−3x+1）÷x 2−2x x+1，其中x 的值从不等式组{2−x ≤32x −4＜1的整
数解中选取．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的整数解确定出x 的值，代入计算即可求出值． 【解析】原式=
x 2−1−3x+1•x+1
x(x−2)=(x+2)(x−2)x+1•x+1x(x−2)=x+2x
，
解不等式2﹣x≤3，得x≥﹣1，
解不等式2x﹣4＜1，得x＜5 2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜5
2，它的整数数解为﹣1，0，1，2，
∵x≠﹣1，0，2，
∴x＝1，
当x＝1时，原式＝3．
19．（2019•惠山区二模）计算：
（1）（√2−1）0﹣（﹣2）2+|﹣6|
（2）（a﹣b）2﹣b（a+b）
【分析】（1）先算零指数幂、平方、绝对值，再计算加减法即可求解；
（2）先算完全平方公式，单项式乘多项式，再合并同类项即可求解．【解析】（1）（√2−1）0﹣（﹣2）2+|﹣6|
＝1﹣4+6
＝3；
（2）（a﹣b）2﹣b（a+b）
＝a2﹣2ab+b2﹣ab﹣b2
＝a2﹣3ab．
20．（2019•长春模拟）先化简，再求值：（1
x+1−1）÷x
x2−1
，其中x＝2
【分析】先将分式化简，再选择适当的x值代入求值即可．
【解析】原式=−x
x+1•
(x+1)(x−1)
x
＝﹣x+1
当x＝2时
原式＝﹣2+1＝﹣1．
21．（2019•天宁区校级二模）计算（√3−2）0+（−1
2）
﹣2+4cos30°﹣|√3−√18|
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝1+4+4×√3
2
−（3√2−√3）
＝1+4+2√3−3√2+√3
＝5+3√3−3√2．
22．（2020•云南模拟）先化简，再求值：
（a−2
a2+2a −
a−1
a2+4a+4
）÷
a−4
a+2，其中a满足a
2+2a﹣24＝0．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a是方程a2+2a﹣24＝0的根求出a的值，把a的值代入进行计算即可．
【解析】
原式=
a−2
a(a+2)
×a+2
a−4
−a−1
(a+2)2
×a+2
a−4，
=a−2 a(a−4)−a−1
(a+2)(a−2)，
=1
a(a+2)，
∵a满足a2+2a﹣24＝0，∴a＝4（舍）或a＝﹣6，
当a＝﹣6时代入求值，原式=1 24．。