专题做功和能量的转化

专题做功和能量的转化
知识点回顾
力和运动的相互关系是贯穿高中的一条主线，它要求用物体受力与运动方式总是相互联系的观点处理物理问题。

能量则是贯穿高中的另一条主线，因为透过物体形形色色的运动方式，每一种运动形式的本质都是其对应的能量转化，而在转化过程中一定符合能量守恒。

因此从能量的观点，利用功能关系或能量转化与守恒的方法处理问题问题，也能使物理问题变得方便、简洁。

知识点讲解
题型一：处理变加速运动
高中物理常见的功与能量的转化
公式物理意义
W合=ΔE k合外力做的功等于物体动能该变量
W除G=ΔE机除重力以外的外力做功等于物体机械能的该变量
W f=ΔE内滑动摩擦力在相对位移中做的功等于系统内能的该变量
W G=ΔE P重力对物体所做的功等于物体重力势能改版的负值
W电=ΔE电电场力对电荷做的功等于电荷电势能改变的负值
W电流=ΔE焦纯电阻电路中电流做的功等于电路产生的焦耳热
W安=ΔE焦感应电流所受到的安培力做的功等于电路中产生的焦耳热
由于利用功能关系处理问题时，不一定要考虑物体运动的具体细节，只要搞清物体运动过程中参与做功的力、各力做功的位移及做功的正负，另外搞清有多少类型的能量发生了转化，因此，利用能量关系在处理诸如变加速运动、曲线运动等物理问题时，优势更显突出。

【例1】如图所示，在竖直平面内有一个半径为R 且光滑的四分之一圆弧轨道AB ，轨道下端B 与水平面BCD 相切，BC 部分光滑且长度大于R ，C 点右边粗糙程度均匀且足够长。

现用手捏住一根长也为R 、质量为m 的柔软匀质细绳的上端，使绳子的下端与A 点等高，然后由静止释放绳子，让绳子沿轨道下滑。

重力加速度为g 。

求： （1）绳子前端到达C 点时的速度大小；
（2）若绳子与粗糙平面间的动摩擦因数为μ（μ<1），绳子前段在过C 点后，滑行一段距离后停下，求这段距离。

【难度】★★★
【答案】（1）3gR （2）
322R R
μ
+
【解析】绳子由释放到前段C 点过程中，由机械能守恒得：22
1)5.0(c mv R R mg =+ 解得：gR v c 3=
（2）绳子前段在过C 点后，滑行一段距离停下来，设这段距离为s ，因可能s ≤R ，也可能s >R ，故要对上述可能的两种情况进行分类讨论。

①设绳子停下时，s ≤R
绳子前端滑过C 点后，其受到的摩擦力均匀增大，其平均值为12s
mg R
μ，由动能定理得，2
11022
c
s mg s mv R μ-⋅=-，把gR v c 3=代入上式解得：3s R μ=。

因为μ<1，得3s R >，与条件s ≤R 矛盾，故设绳子停下时s ≤R 不成立，即绳子停下时只能满足
s >R
②设绳子停下时，s >R
所以绳子前端滑过C 点后，其摩擦力先均匀增大，其平均值为1
2mg μ，前端滑行R 后摩擦力不变，
其值为μmg ，由动能定理得：2
11()022
c mg R mg s R mv μμ-⋅--=-，把gR v c 3=代入上式解得：
322R R s μ=+
点评：变加速运动——利用动能定理求解
1、质量为m =2.0kg 的物体从原点出发沿x 轴运动，当x ＝0时物体的速度为4.0m/s 。

作用在物体上的合力F 随位移的变化情况如图所示。

则在第1个1m 的位移内合力对物体做的功W ＝_____J ；在x ＝0至x ＝5.0m 位移内，物体具有的最大动能是_____J 。

【难度】★★ 【答案】2；18
2、如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连。

弹簧处于自然长度时物块位于O 点（图中未标出）。

物块的质量为m ，AB ＝a ，物块与桌面间的动摩擦因数为μ。

现用水平向右的力将物块从O 点拉至A 点，拉力做的功为W 。

撤去拉力后物块由静止向左运动，经O 点到达B 点时速度为零。

重力加速度为g 。

则上述过程中（）（多选）
A ．物块在A 点时，弹簧的弹性势能等于W －1
2μmga
B ．物块在B 点时，弹簧的弹性势能小于W －3
2μmga
C ．经O 点时，物块的动能小于W －μmga
D ．物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B 点时弹簧的弹性势能 【难度】★★★ 【答案】BC
课堂练习
x /m
F x /N
1
2
3
4
5
4
－4
O
3、如图所示，固定于同一条竖直线上的A 、B 是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为＋Q 和－Q ，A 、B 相距为2d 。

MN 是竖直放置的光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p ，质量为m 、电荷量为+q （可视为点电荷，不影响电场的分布）。

现将小球p 从与点电荷A 等高的C 处由静止开始释放，小球p 向下运动到距C 点距离为d 的O 点时，速度为v 。

已知MN 与AB 之间的距离为d ，静电力常量为k ，重力加速度为g 。

求： （1）C 、O 间的电势差U CO ； （2）O 点处的电场强度E 的大小； （3）小球p 经过O 点时的加速度；
（4）小球p 经过与点电荷B 等高的D 点时的速度。

【难度】★★
【答案】（1）222mv mgd q -（2）222kQ d （3）222kQq g md +（4）2v 【解析】（1）小球p 由C 运动到O 时，由动能定理得：
21
02
CO mgd qU mv +=-
222CO mv mgd
U q
-=
（2）小球p 经过O 点时受力如图： 由库仑定律得： 122
(2)F F k
d ==
它们的合力为：122
2cos45cos452kQq
F F F d
=︒+︒=
O 点处的电场强度2F kQ E q =
= （3）由牛顿第二定律得： mg qE ma +=
解得：2kQq a g =+
（4）小球p 由O 运动到D 的过程，由动能定理得：
22
1122
OD D mgd qU mv mv +=-由电场特点可知：CO OD U U =
联立解得：2D v v =
【例1】游乐场中有一种叫“空中飞椅”的设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋，若将人和座椅看成质点，简化为如图7所示的模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，已知绳长为l，质点的质量为m，转盘静止时悬绳与转轴间的距离为d。

让转盘由静止逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力及绳重，绳子不可伸长，则质点从静止到做匀速圆周运动的过程中，绳子对质点做的功为（）
A ．1
(sin)tan(1cos ) 2
mg d l mgl
θθθ++-
B．1
tan(1cos) 2
mgd mgl
θθ
+-
C．1
(sin)tan 2
mg d lθθ
+
D．1
tan 2
mgdθ
【难度】★★
【答案】A
【例2】如下图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度相等的匀强磁场，方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度为L。

一个质量为m、边长也为L的正方形金属框以速度v进入磁场时，恰好做匀速直线运动。

若ab边到达gg′与ff′中间位置时，线框又恰好做匀速直线运动，且设金属框电阻为R。

则：
（1）当ab边刚越过ff′时，线框的加速度值为多大?
（2）求金属框从开始进入磁场到ab边到达gg′与ff′中点的
过程中产生的热量是多少？
【难度】★★★
【答案】（1）3sin
gθ（2）
2 3sin15
232 mgL mv
θ
+
【解析】（1）当ab边刚进入磁场时，分析线框的受力情况，线框受到G、N、F A的作用，根据题意，
线框以速度v刚进入上边磁场时恰好做匀速直线运动，线框受力平衡，即
22
sin
B L v mg BIL
R
θ==，
22sin
mgR v
B L θ
=；
题型二：多种能量参与转化
当线框刚越过ff ′时的速度跟线框刚进入磁场时的速度大小相等，但因线框处在两个磁场中，线框有两个电动势，此时线框两条边受安培力，根据牛顿第二定律得：sin 2mg BIL ma θ-=，
224sin B L v mg ma R θ-=，代入22sin mgR
v B L
θ=，得3sin a g θ=-
（2）当线框ab 边到达gg ′与ff ′中间位置时，线框又恰好做匀速直线运动，设此时线框的速度为v ′，
此时线框的ab 边和cd 边均受到安培力的作用，且回路中的电动势为2E BLv ''=，根据平衡条件可
得：224sin 2B L v mg BIL R
θ'==；
该过程中产生的热量，根据动能定律可得：22311
sin 222
A F mg L W mv mv θ'⋅+=-，
2
3sin 15232
A
F mgL mv W θ=--
所以产生的热量2
3sin 15232
A F mgL mv Q W θ=-=+
1、如图所示，绝缘弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧与斜面平行，带电小球Q （可视为质点）固定在光滑绝缘斜面上的M 点，且在通过弹簧中心的直线ab 上。

现把与Q 大小相同，电性相同的小球
P ，从直线ab 上的N 点由静止释放，在小球P 与弹簧接触到速度变为零的过程中，以下说法正确的
是（）（多选）
A ．小球P 、小球Q 、弹簧、还有地球组成系统的机械能不守恒
B ．小球P 和弹簧的机械能守恒，且P 速度最大时所受弹力与库仑力的合力最大
C ．小球P 的动能、与地球间重力势能、与小球Q 间电势能和弹簧弹性势能的总和不变
D ．小球P 的速度先增大后减小 【答案】ACD
课堂练习
2、如图所示，将边长为a 、质量为m 、电阻为R 的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b 、磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里。

线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进人磁场。

整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f 且线框不发生转动。

求： （1）线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度v 2； （2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v 1； （3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q
【答案】（1）
22()mg f R
B a -（2
（3）2
44
3()()()()2m mg f mg f R mg b a f b a B a +--+-+
【解析】（1）由于线框匀速进入磁场，则合力为零。

有
22B a v
mg f R
=+ 解得：22
()mg f R
v B a -=
（2）设线框离开磁场能上升的最大高度为h ，则从刚离开磁场到刚落回磁场的过程中 211
()2mg f h mv +=
2
2
1()2
mg f h mv -=
解得：12v =
=
（3）在线框向上刚进入磁场到刚离开磁场的过程中，根据能量守恒定律可得 221111
(2)()()22
m v mv mg b a Q f b a =+++++ 解得：244
3()()()()2m mg f mg f R Q mg b a f b a B a +-=-+-+
a
3、如图所示，竖直平面内有足够长的光滑的两条竖直平行金属导轨，上端接有一个定值电阻R 0，两导轨间的距离L =2m ，在虚线的区域内有与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度B =0.2T ，虚线间的高度h =1m 。

完全相同的金属棒ab 、cd 与导轨垂直放置，质量均为m ＝0.1kg ，两棒间用l =2m 长的绝缘轻杆连接。

棒与导轨间接触良好，两棒电阻皆为r =0.3Ω，导轨电阻不计，已知R 0=2r 。

现用一竖直方向的外力从图示位置作用在ab 棒上，使两棒以v =5m/s 的速度向下匀速穿过磁场区域（不计空气和摩擦阻力，重力加速度g 取10 m/s 2
）。

求：
（1）从cd 棒进磁场到ab 棒离开磁场的过程中通过ab 棒的电流大小和方向； （2）从cd 棒刚进磁场到ab 棒刚离开磁场的过程中拉力做的功；
（3）若cd 棒以上述速度刚进入磁场时，将外力撤去，经一段时间cd 棒匀速出磁场，求在此过程中电阻R 0上产生的热量。

【难度】★★★
【答案】（1）4A （2）-2.8J （3）0.08J
【解析】（1）cd 在磁场中时，ab 棒的电流方向为b 到a
E =BLv =0.2×2×5=2V
0020.52ab cd ab R R rr
R R r R R r r =+=+=Ω++总
0020.328
A 0.90.53
ab ab R E I R R R ⨯=
⋅=⨯=+总
当ab 在磁场中时，ab 棒的电流方向为a 到b ，2
4A 0.5
ab E I R =
==总 （2）当cd 、ab 分别在磁场中时，回路产生的热量222121
2222 3.2J 0.55
E E h Q Q t R R v ====⨯⨯=总，
即克服安培力做的功。

根据动能定理得：
2)0F W mg l h W ++-=克安（，
2)20.110(12) 3.2 2.8J F W mg l h W =-++=-⨯⨯⨯++=-克安（
（3）当撤去外力后cd 棒匀速出磁场，此时对两棒，根据平衡条件2mg =F cd 安，
222
2B L v mg R =总
解得22222
220.1100.5 6.25m/s 0.22mgR v B L ⨯⨯⨯===⨯总 由动能定理，得：2
221122222
mgh W mv mv +=-安
2
2222111122220.110120.1 6.2520.150.6J 2222W mgh mv mv =-+-=-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-安
0.6J Q =总所以R 0上产生的热量为20123
()0.08J 395
Q I R t Q ==⋅=总总
【例1】如图，绝缘的水平面上，相隔2L 的AB 两点固定有两个电量均为Q 的正点电荷，a ，O ，
b 是AB 连线上的三点，且O 为中点，2
L
Oa Ob ==。

一质量为m 、电量为+q 的点电荷以初速度v 0从a 点出发沿AB 连线向B 运动，在运动过程中电荷受到大小恒定的阻力作用，当它第一次运动到O 点时速度为2v 0，继续运动到b 点时速度刚好为零，然后返回，最后恰停在O 点．已知静电力恒量为k 。

求： （1）a 点的场强大小 （2）阻力的大小 （3）aO 两点间的电势差 （4）电荷在电场中运动的总路程
【难度】★★★
【答案】（1）2
329kQ L （2）202mv L （3）2
074mv q （4）92L
【解析】（1）由库仑定律得223()()22
a Q Q
E k
k L L =- 即2
329a kQ
E L =
（2）从a 到b 点过程中，根据对称性，U a =U b ，根据动能定理得 2
0102
fL mv -=-解得202mv f L = （3）从a 到O 点过程中，根据动能定理
22
0011(2)222
ao L qU f m v mv -=-解得2
074ao mv U q = （4）最后停在O 点，对整个过程使用动能定理 20102ao qU fs mv -=-解得9
2
s L =
点评：连续往返做功的运动处理——利用能的转化与守恒规律处理，重力、电场力做功取决于位移，摩擦力做功取决于路程。

题型三：连续往返运动
A
B
a O b
1、如图所示，在竖直平面有一个形状为抛物线的光滑轨道，其下半部分处在一个垂直纸面向里的非匀强磁场中，磁场的上边界是y =a 的直线（图中虚线所示）。

一个小金属环从轨道上y =b （b >a ）处以速度v 沿轨道下滑，则首次到达y =a 进入磁场瞬间，小金属环中感应电流的方向为________（顺时针、逆时针）；小金属环在曲面上运动的整个过程中损失的机械能总量ΔE =________。

（假设轨道足够长，且空气阻力不计） 【难度】★★
【答案】逆时针；21
2
mgb mv +
【变式训练】
如果是匀强磁场，整个过程中损失的机械能总量ΔE =________ 【答案】21
()2
mg b a mv -+
2、如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置图，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中水平直轨AB 与倾斜直轨CD 两者的长L 均为6m ，圆弧形轨道AQC 和BPD 均光滑，AQC 的半径
r =1m ，AB 、CD 与两圆弧形轨道相切，O 2D 、O 1C 与竖直方向的夹角θ均为37°。

现有一质量m =1kg
的小球穿在滑轨上，以30J 的初动能E k0从B 点开始水平向右运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因素μ均为
16
，设小球经过轨道连接处无能量损失。

（g =10m/s 2
，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求： （1）小球第一次回到B 点时的速度大小 （2）小球第二次到达C 点时的动能。

（3）小球在CD 段上运动的总路程。

【难度】★★★
【答案】（1）3.4m/s （2）E KC =16J （3）51m
课堂练习
a
b y x B
v
v 0
3、如图，箱子A 连同固定在箱子底部的竖直杆的总质量为M =10kg 。

箱子内部高度H =3.75m ，杆长h =2.5m ，另有一质量为m =2kg 的小铁环B 套在杆上，从杆的底部以v 0=10m/s 的初速度开始向上运动，铁环B 刚好能到达箱顶，不计空气阻力，g 取10m/s 2。

求： （1）在铁环沿着杆向上滑的过程中，所受到的摩擦力大小为多少？
（2）在给定的坐标中，画出铁环从箱底开始上升到第一次返回到箱底的过程中箱子对地面的压力随时间变化的图象（写出简要推算步骤）
（3）若铁环与箱底每次碰撞都没有能量损失，求小环从开始运动到最终停止在箱底，所走过的总路程是多少？
【难度】★★★
【答案】（1）10N （2）见解析（3）12.5m
（2）第一次到达杆顶用时t 1，速度为v 1，第一次离开杆顶到返回杆顶用时t 2， 第一次滑到杆底速度为v 2，在杆上滑下用时t 3
15/v m s = 1011210.333
h h t s s v v v ===≈+
1221v
t s g
==
由动能定理：2
212
mgH fh mv -
=，2/v s =
312
2210.41h h t s v v v ==≈+
作图：1
03
s ：N 1=Mg -f =90N 14
33
s s ：N 2=Mg =100N ()41
23
3
s s +：N 3=Mg +
f =110N
90 100 110
90 100 110
1、A 、B 、C 三个物体质量相等，A 物体竖直上抛，B 物体沿光滑斜面上滑，C 物体以与水平成θ角做斜上抛运动。

若三个物体初速度大小相等，且开始都处于同一水平面上，斜面足够长，则（）
A ．物体A 上升得最高
B ．物体A 、B 上升得一样高，物体
C 上升得最低 C ．物体B 、C 上升得一样高
D ．三个物体上升得一样高 【难度】★★ 【答案】B
2、质量相等的均质柔软细绳A 、B 平放于水平地面，绳A 较长。

分别捏住两绳中点缓慢提起，直到全部离开地面，两绳中点被提升的高度分别为h A 、h B ，上述过程中克服重力做功分别为W A 、W B 。

若（）
A ．h A =h
B ，则一定有W A =W B B ．h A >h B ，则可能有W A <W B
C ．h A <h B ，则可能有W A =W B
D ．h A >h B ，则一定有W A >W B 【难度】★★ 【答案】B
3、如图所示，一个质量为m 的圆环套在一根固定的水平长直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ。

现给环一个向右的初速度v 0，同时对环施加一个竖直向上的作用力F ，并使F 的大小随v 的大小变化，两者关系F=kv ，其中k 为常数，则环在运动过程中克服摩擦所做的功大小可能为（）（多选）
A ．201
2
mv
B ．0
C ．32202122m g mv k +
D ．322
02
122m g mv k -
【难度】★★
【答案】ABD
4、如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P 拴接，另一端与物体A
相连，物体A 静止于光滑水平桌面上，A 右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连。

开始时用手托住B ，让细线恰好伸直，然后由静止释放B ，直至B 获得最大速度。

下列有关该过程的分析正确的是（）（多选）
A ．
B 物体的机械能一直减少
B ．B 物体动能的增量等于它所受重力与拉力做功之和
C ．B 物体机械能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
D ．细线的拉力对A 做的功等于A 物体与弹簧组成的系统机械能的增加量 【答案】ABD
回家作业
5、如图所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ斜角上，导轨的左端接有电阻R ，导轨自身的电阻可忽略不计。

斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。

质量为m ，电阻可不计的金属棒ab ，在沿着斜面与棒垂直的恒力作用下沿导轨匀速上滑，并上升h 高度，如图所示。

在这过程中（）（多选）
A ．作用于金属捧上的各个力的合力所作的功等于零
B ．作用于金属捧上的各个力的合力所作的功等于mgh 与电阻R 上发出的焦耳热之和
C ．金属棒克服安培力做的功等于电阻R 上发出的焦耳热
D ．恒力F 与重力的合力所作的功等于电阻R 上发出的焦耳热 【答案】ACD
6、如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H ，上端套着一个细环。

棒和环的质量均为m ，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为kmg （k >1）。

断开轻绳，棒和环自由下落。

假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失。

棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计。

则（）
（多选）
A ．棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，棒和环都做匀减速运动
B ．从断开轻绳到棒和环都静止的过程中，环相对于地面始终向下运动
C ．从断开轻绳到棒和环都静止的过程中，环相对于棒有往复运动，但总位移向下
D ．从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力做的总功为21
kmgH
k --
【难度】★★★ 【答案】ABD
7、如图所示，倾角θ=30°的斜面固定在地面上，长为L 、质量为m 、粗细均匀、质量分布均匀的软绳AB 置于斜面上，
与斜面间动摩擦因数μ=
其A 端与斜面顶端平齐。

用细线将质量也为m 的物块与软绳连接，给物块向下的初速度，使软绳B 端到达斜面顶端（此时物块未到达地面），在此过
程中（）（多选）
A ．物块的速度始终减小
B ．软绳上滑L 9
1
时速度最小
C ．软绳重力势能共减少了mgL 4
1
D ．软绳减少的重力势能一定小于其增加的动能与克服摩擦力所做的功之和 【难度】★★★ 【答案】BCD
8、如图所示，竖直平面内有两个水平固定的等量同种正点电荷，AOB 在两电荷连线的中垂线上，O 为两电荷连线中点，AO ＝OB ＝L ，一质量为m 、电荷量为q 的负点电荷若由静止从A 点释放则向上最远运动至O 点。

现若以某一初速度向上通过A 点，则向上最远运动至B 点，重力加速度为g 。

该负电荷A 点运动到B 点的过程中电势能的变化情况是；经过O 点时速度大小为。

【难度】★★
【答案】先减小后增大；2gL
9、如图所示，在水平面内有两条光滑平行金属轨道MN 、PQ ，轨道上静止放着两根质量均为m 可自由运动的导体棒ab 和cd 。

在回路的正上方有一个质量为M 的条形磁铁，磁铁的重心距轨道平面高为h 。

由静止释放磁铁，当磁铁的重心经过轨道平面时，磁铁的速度为v ，导体棒ab 的动能为E K ，此过程中，磁场力对磁铁所做的功________________；导体棒中产生的总热量是________________。

【难度】★★
【答案】212Mv Mgh -；21
22
k Mgh Mv E --
A
O B
10、带有等量异种电荷的两块水平金属板M 、N 正对放置，相距为d （d 远小于两板的长和宽），一个带正电的油滴A 恰好能悬浮在两板正中央，如图所示。

A 的质量为m ，所带电荷量为q 。

在A 正上方距离M 板d 处，有另一质量也为m 的带电油滴B 由静止释放，可穿过M 板上的小孔进入两板间，若能与油滴A 相碰，会结合成一个油滴，结合后的瞬间该油滴的速度为碰前油滴B 速度的一半，方向竖直向下。

整个装置放在真空环境中，不计油滴B 和A 间的库仑力以及金属板的厚度，为使油滴B 能与油滴A 相碰且结合后不会与金属板N 接触，重力加速度取g ，求： （1）金属板M 、N 间的电压U 的大小； （2）油滴B 带何种电荷？请简要说明理由； （3）油滴B 所带电荷量的X 围。

【难度】★★★ 【答案】（1）
mgd q （2）带正电荷（3）5
33
q Q q << 【解析】（1）根据油滴平衡得到U
mg Eq q d
==
，解得：mgd U q = （2）因为油滴B 与A 结合时重力增大，所以电场力也必须增大才能使新油滴接下来做减速运动，而碰不到金属板N ，由此可知：油滴B 的电性与A 相同，带正电荷。

（3）设油滴B 与A 相碰前的瞬时速度为v ，根据动能定理有21
()0222d U mg d Q mv +-⋅=-
将qU =mgd 代入式中可得：231
0222
U qU Q mv -⋅=-
因为v 必须大于0，所以Q < 3q
当油滴B 与A 结合后，根据动能定理有212q 02()22
U v
mgh Q h m d -+=-⋅⋅（）
将qU =mgd 和231
0222
U qU Q mv -⋅=-代入式中可得：34()q Q h d Q q -=-
因为h 必须小于
2d ，所以5
3
Q q > 所以电荷量的X 围：5
33
q Q q <<
N
11、如图所示，水平虚线L 1、L 2之间是匀强磁场,磁场方向水平向里，磁场高度为h 。

竖直平面内有一等腰梯形线框，底边水平，其上下边长之比为5:1，高为2h 。

现使线框AB 边在磁场边界L 1的上方
h 高处由静止自由下落，当AB 边刚进入磁场时加速度恰好为0，在DC 边刚进入磁场前的一段时间
内，线框做匀速运动。

求：
（1）DC 边刚进入磁场时，线框的加速度
（2）从线框开始下落到DC 边刚进入磁场的过程中，线框的机械能损失和重力做功之比
【难度】★★★
【答案】（1）5
4
g （2）47:48
【解析】（1）设AB 边刚进入磁场时速度为v 0，线框质量为m 、电阻为R ，AB =l ，则CD =5l 则2012
mgh mv =
AB 刚进入磁场时有，220
B l v mg R
=
DC 边刚进入磁场前的一段时间内，设线框匀速运动时速度为v 1，
线框的有效切割长度为2l ，所以1(2)E B l v =
线框匀速运动时有221
(2)B l v mg R =得014
v v =
CD 刚进入磁场瞬间，线框的有效切割长度为3l ，1(3)E B l v '=
安培力222222001(3)(3)99
444
A v
B l v B l v B l F mg R R R ==⋅=⋅=
根据牛顿第二定律的5
4
a g =
（2）从线框开始下落到CD 边进入磁场前瞬间，根据能量守恒定律得： 211
(3)2
mg h mv Q =+
机械能损失47
16
E Q mgh ∆==
所以，线框的机械能损失和重力做功之比()47::347:4816G E W mgh mgh ⎛⎫
∆== ⎪⎝⎭
L 2
D
L 1
12、在绝缘粗糙的水平面上相距为6L 的A 、B 两处分别固定电量不等的正电荷，两电荷的位置坐标如图（甲）所示，已知B 处电荷的电量为+Q 。

图（乙）是AB 连线之间的电势φ与位置x 之间的关系图像，图中x =L 点为图线的最低点，x =-2L 处的纵坐标φ=φ0，x =0处的纵坐标025
63
ϕϕ=
，x =2L 处的纵坐标03
7
ϕϕ=。

若在x =-2L 的C 点由静止释放一个质量为m 、电量为+q 的带电物块（可视为
质点），物块随即向右运动。

求： （1）固定在A 处的电荷的电量Q A ；
（2）为了使小物块能够到达x =2L 处，试讨论小物块与水平面间的动摩擦因数μ所满足的条件；
（3）若小物块与水平面间的动摩擦因数2
3kqQ
mgL
μ=，小物块运动到何处时速度最大？并求最大速度v m ；
（4）试画出μ取值不同的情况下，物块在AB 之间运动大致的速度-时间关系图像。

【难度】★★★
【答案】（1）4Q （2）0
7q mgL
φμ≤（3）运动到x =0
时速度最大；m v =（4）见解析
【解析】（1）由图（乙）得，x =L 点为图线的最低点，切线斜率为零，即合场强E 合=0 所以
2
2
A B
A B kQ kQ r r =，得22(4)(2)A B kQ kQ L L = 解出4A Q Q =
（2）物块先做加速运动再做减速运动，到达x =2L 处速度v t ≥0 从x =-2L 到x =2L 过程中，由动能定理得：
2111s 02t qU mg mv μ-=-，即20031
40072t q mg L mv φφμ-⋅=-≥（）-（）
解得0
7q mgL
φμ≤
（3）小物块运动速度最大时，电场力与摩擦力的合力为零，设该位置离A 点的距离为l A
图（甲） 图（乙）
则：
22
(4)06A A k q Q k qQ
mg l L -l μ⋅⋅--=（）
解得l A =3L ，即小物块运动到x =0时速度最大。

小物块从x =-2L 运动到x =0的过程中，由动能定理得： 2
22102
m qU mgs mv μ-=-
代入数据：2
00251()20632
m q mg L mv φφμ-
-⋅=-（）
解得m v （4）。