通胀环境下基于CEV模型的最优再保险-投资问题
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第 ３３ 卷 第 １ 期 ２０１８ 年 ２ 月
安 徽 工 程 大 学 学 报 JournalofAnhuiPolytechnicUniversity
文 章 编 号 :１６７２Ｇ２４７７(２０１８)０１Ｇ００５８Ｇ０７
Vol．３３．No．１ Feb．,２０１８
通胀环境下基于 CEV 模型的 最优保险Ｇ投资问题
再保险可以帮助商避免潜在的巨大 损 失,而 投 资 能 使 保 险 公 司 实 现 其 管 理 目 标．因 此 再 保 险Ｇ投 资 对 保险商来说是两个重要的问题．保险 市 场 中 的 再 保 险Ｇ投 资 问 题 越 来 越 引 起 学 者 们 的 重 视,关 于 此 类 问 题 的研究也越来越多．Browne[１]最先研究了 Lundberg风险模型,给 出 了 保 险 商 终 端 财 富 的 指 数 效 用 最 大 化 和破产概率的最小化．Bauerle[２]首次提到 了 “比 例 再 保 险”这 一 再 保 险 名 词,并 且 很 好 地 解 决 了 相 关 的 均 值Ｇ方差问题．Wang[３]等在均值Ｇ方差准则以 及 常 弹 性 绝 对 风 险 厌 恶(CRRA)效 用 情 形 下 有 效 地 运 用 鞅 方 法研究了最优投资组合问 题．Hipp[４]等,Promislow[５]等 研 究 了 最 优 再 保 险 和 投 资 问 题,以 及 怎 样 来 降 低 保险人破产的概率．Liang[６]等在一个不可测的马尔可 夫 调 制 的 复 合 Poisson 风 险 模 型 中 讨 论 了 最 优 再 保 险与投资问题．之后,Lin[７]等和 Gu[８]等分别应用常 方 差 弹 性 模 型 (CEV)来 研 究 最 优 比 例 再 保 险\跳 扩 散 风险过程．Li[９]等在均值Ｇ方差准则下开始使用 Heston模型来研究最优比例再保 险 和 投 资 问 题．在 Heston 模型下的跳－扩散风险过程,Zhao[１０]等考虑了保险商最优超额赔损再 保 险 以 及 投 资 问 题．基 于 Heston模 型 下 的 默 认 市 场 ,Zhu[１１]等 讨 论 了 保 险 商 最 优 再 保 险 和 投 资 问 题 ．
１ 模 型 建 立
１．１ 再 保 险 市 场 根据经典的 Cramér– Lundberg模型,保险商在时刻t 的盈余水平用P(t)表示:
收 稿 日 期 :２０１７Ｇ０９Ｇ１２ 基 金 项 目 :安 徽 省 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 (１６０８０８５MA０２) 作 者 简 介 :陈 志 蒙 (１９９０Ｇ),男 ,安 徽 宣 城 人 ,硕 士 研 究 生 ． 通 讯 作 者 :夏 登 峰 (１９７９Ｇ),男 ,安 徽 芜 湖 人 ,副 教 授 ,博 士 ．
第１期
陈志蒙,等:通胀环境下基于 CEV 模型的最优再保险Ｇ投资问题
������ ５９ ������
N (t)
∑ P(t)＝x０ ＋ct－ Yi, i＝１
(１)
式中,x０ 是初始盈余水平;c 为保费收益率;{N (t),t ≥０}是强度为λ 的泊松过程．Yi 表示第i 次索赔额,
其连续分布函数的期望为μ∞ ,方差为σ２∞ ． 通过期望值原理可知,c＝ (１＋η)λμ∞ ,其中η ＞０是相关的再保险安全负荷系数．
以上诸多问题的研究中并未考虑通货膨胀情形,而真实市场环境下通 胀 对 投 资 决 策 起 到 了 一 定 的 作 用．通货膨胀是指在一段给定的时间内,给定 经 济 体 中 的 物 价 水 平 普 遍 持 续 增 长,从 而 造 成 货 币 购 买 力 的 持续下降．现如今,通货膨胀已经存在于生活的方 方 面 面,会 直 接 影 响 投 资 者 投 资 消 费．Munk[１２]等 考 虑 了 通胀环境下,一个可投资于现金、名义 债 券 和 股 票 的 幂 效 用 投 资 者 的 最 优 资 产 配 置 问 题．Kwak[１３]等 在 通 胀环境下,运用鞅方法给出了一 个 家 庭 的 最 优 消 费、投 资 和 人 寿 保 险 决 策．Guan[１４]等 利 用 CARA 效 用 函 数考虑了通胀的最优再保险和投资策略．国内学者的许多文章也考虑了通胀对投资组 合 的 影 响．费 为 银[１５] 等在 Knight不确定和通胀环境下研究了最优投资消费问题,考虑了消费投资中通胀波动率的影响．
在 Gu[８]等的基础上进行推广,利用杨鹏 折 [１６] 现的方法引入了通胀因 素,考 虑 通 胀 环 境 下 保 险 商 最 优 再保险Ｇ投资问题．运用动态规划原理,通过求解 HJB 方程,获得值函数的解析解以及关于保险商的最优再 保险Ｇ投资策略．将综合考虑通货膨胀环境下基于 CEV 模 型 的 最 优 再 保 险Ｇ投 资 策 略 问 题,最 后 使 用 MatＧ lab 软 件 进 行 数 值 模 拟 ,分 析 通 胀 波 动 率 等 参 数 对 最 优 再 保 险Ｇ投 资 的 影 响 ．
在保险市 场 中 考 虑 再 保 险 的 存 在,对 于 一 个 给 定 的 再 保 险 策 略a,Y������i(a)为 保 险 商 支 付 的 索 赔 部 分,
陈志蒙,夏登峰∗ ,苑伟杰
(安徽工程大学 数理学院,安徽 芜湖 ２４１０００)
摘要:回顾了再保险投资相关研究的 成 果,考 虑 在 通 胀 环 境 下 风 险 资 产 价 格 服 从 CEV 模 型 时 保 险 商 的 最 优 再保险Ｇ投资问题,其中保险商的最优财富过程由保险盈 余,无 风 险 资 产,通 胀 折 现 后 的 风 险 资 产 ３ 个 部 分 组 成,为转移风险并最大化股东价值,考虑超额赔损再保 险 和 投 资,通 过 对 值 函 数 HJB 方 程 的 求 解 得 到 保 险 商 的 最 优 再 保 险Ｇ投 资 策 略 ,最 后 对 得 到 的 结 果 进 行 数 值 模 拟 ． 关 键 词:通胀;CEV 模型;再保险投资;HJB 方程 中 图 分 类 号 :O２１１．６３;F８３０．９ 文 献 标 识 码 :A
安 徽 工 程 大 学 学 报 JournalofAnhuiPolytechnicUniversity
文 章 编 号 :１６７２Ｇ２４７７(２０１８)０１Ｇ００５８Ｇ０７
Vol．３３．No．１ Feb．,２０１８
通胀环境下基于 CEV 模型的 最优保险Ｇ投资问题
再保险可以帮助商避免潜在的巨大 损 失,而 投 资 能 使 保 险 公 司 实 现 其 管 理 目 标．因 此 再 保 险Ｇ投 资 对 保险商来说是两个重要的问题．保险 市 场 中 的 再 保 险Ｇ投 资 问 题 越 来 越 引 起 学 者 们 的 重 视,关 于 此 类 问 题 的研究也越来越多．Browne[１]最先研究了 Lundberg风险模型,给 出 了 保 险 商 终 端 财 富 的 指 数 效 用 最 大 化 和破产概率的最小化．Bauerle[２]首次提到 了 “比 例 再 保 险”这 一 再 保 险 名 词,并 且 很 好 地 解 决 了 相 关 的 均 值Ｇ方差问题．Wang[３]等在均值Ｇ方差准则以 及 常 弹 性 绝 对 风 险 厌 恶(CRRA)效 用 情 形 下 有 效 地 运 用 鞅 方 法研究了最优投资组合问 题．Hipp[４]等,Promislow[５]等 研 究 了 最 优 再 保 险 和 投 资 问 题,以 及 怎 样 来 降 低 保险人破产的概率．Liang[６]等在一个不可测的马尔可 夫 调 制 的 复 合 Poisson 风 险 模 型 中 讨 论 了 最 优 再 保 险与投资问题．之后,Lin[７]等和 Gu[８]等分别应用常 方 差 弹 性 模 型 (CEV)来 研 究 最 优 比 例 再 保 险\跳 扩 散 风险过程．Li[９]等在均值Ｇ方差准则下开始使用 Heston模型来研究最优比例再保 险 和 投 资 问 题．在 Heston 模型下的跳－扩散风险过程,Zhao[１０]等考虑了保险商最优超额赔损再 保 险 以 及 投 资 问 题．基 于 Heston模 型 下 的 默 认 市 场 ,Zhu[１１]等 讨 论 了 保 险 商 最 优 再 保 险 和 投 资 问 题 ．
１ 模 型 建 立
１．１ 再 保 险 市 场 根据经典的 Cramér– Lundberg模型,保险商在时刻t 的盈余水平用P(t)表示:
收 稿 日 期 :２０１７Ｇ０９Ｇ１２ 基 金 项 目 :安 徽 省 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 (１６０８０８５MA０２) 作 者 简 介 :陈 志 蒙 (１９９０Ｇ),男 ,安 徽 宣 城 人 ,硕 士 研 究 生 ． 通 讯 作 者 :夏 登 峰 (１９７９Ｇ),男 ,安 徽 芜 湖 人 ,副 教 授 ,博 士 ．
第１期
陈志蒙,等:通胀环境下基于 CEV 模型的最优再保险Ｇ投资问题
������ ５９ ������
N (t)
∑ P(t)＝x０ ＋ct－ Yi, i＝１
(１)
式中,x０ 是初始盈余水平;c 为保费收益率;{N (t),t ≥０}是强度为λ 的泊松过程．Yi 表示第i 次索赔额,
其连续分布函数的期望为μ∞ ,方差为σ２∞ ． 通过期望值原理可知,c＝ (１＋η)λμ∞ ,其中η ＞０是相关的再保险安全负荷系数．
以上诸多问题的研究中并未考虑通货膨胀情形,而真实市场环境下通 胀 对 投 资 决 策 起 到 了 一 定 的 作 用．通货膨胀是指在一段给定的时间内,给定 经 济 体 中 的 物 价 水 平 普 遍 持 续 增 长,从 而 造 成 货 币 购 买 力 的 持续下降．现如今,通货膨胀已经存在于生活的方 方 面 面,会 直 接 影 响 投 资 者 投 资 消 费．Munk[１２]等 考 虑 了 通胀环境下,一个可投资于现金、名义 债 券 和 股 票 的 幂 效 用 投 资 者 的 最 优 资 产 配 置 问 题．Kwak[１３]等 在 通 胀环境下,运用鞅方法给出了一 个 家 庭 的 最 优 消 费、投 资 和 人 寿 保 险 决 策．Guan[１４]等 利 用 CARA 效 用 函 数考虑了通胀的最优再保险和投资策略．国内学者的许多文章也考虑了通胀对投资组 合 的 影 响．费 为 银[１５] 等在 Knight不确定和通胀环境下研究了最优投资消费问题,考虑了消费投资中通胀波动率的影响．
在 Gu[８]等的基础上进行推广,利用杨鹏 折 [１６] 现的方法引入了通胀因 素,考 虑 通 胀 环 境 下 保 险 商 最 优 再保险Ｇ投资问题．运用动态规划原理,通过求解 HJB 方程,获得值函数的解析解以及关于保险商的最优再 保险Ｇ投资策略．将综合考虑通货膨胀环境下基于 CEV 模 型 的 最 优 再 保 险Ｇ投 资 策 略 问 题,最 后 使 用 MatＧ lab 软 件 进 行 数 值 模 拟 ,分 析 通 胀 波 动 率 等 参 数 对 最 优 再 保 险Ｇ投 资 的 影 响 ．
在保险市 场 中 考 虑 再 保 险 的 存 在,对 于 一 个 给 定 的 再 保 险 策 略a,Y������i(a)为 保 险 商 支 付 的 索 赔 部 分,
陈志蒙,夏登峰∗ ,苑伟杰
(安徽工程大学 数理学院,安徽 芜湖 ２４１０００)
摘要:回顾了再保险投资相关研究的 成 果,考 虑 在 通 胀 环 境 下 风 险 资 产 价 格 服 从 CEV 模 型 时 保 险 商 的 最 优 再保险Ｇ投资问题,其中保险商的最优财富过程由保险盈 余,无 风 险 资 产,通 胀 折 现 后 的 风 险 资 产 ３ 个 部 分 组 成,为转移风险并最大化股东价值,考虑超额赔损再保 险 和 投 资,通 过 对 值 函 数 HJB 方 程 的 求 解 得 到 保 险 商 的 最 优 再 保 险Ｇ投 资 策 略 ,最 后 对 得 到 的 结 果 进 行 数 值 模 拟 ． 关 键 词:通胀;CEV 模型;再保险投资;HJB 方程 中 图 分 类 号 :O２１１．６３;F８３０．９ 文 献 标 识 码 :A