河南信阳市2022—2023学年高三二模考试 数学(文科)试卷(后附参考答案)

２０２２－２０２３学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分㊂考生作答时，将答案答在答题卡上，在
∙
本试卷上答题无效∙∙∙∙∙∙∙∙㊂考试结束后∙∙∙∙∙，将本试卷和答题卡一并交回∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙㊂注意事项：
１．答题前，考生务必将本人的姓名㊁准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用２Ｂ铅笔将准考证号填涂在相应位置㊂
２．选择题答案使用２Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用０．５毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整㊁笔迹清楚㊂
３．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效㊂４．保持卡面清洁，不折叠，不破损㊂
第Ⅰ卷
一㊁选择题：本大题共１２个小题，每小题５分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
１．已知集合Ａ＝｛ｘ｜（ｘ＋２）（ｘ－１）＝０｝，Ｂ＝｛－２，－１，０，１，２｝，那么ＣＢＡ等于Ａ．｛－２，０，１｝㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．｛－１，０，２｝㊀
Ｃ．｛－２，－１，０｝㊀
Ｄ．｛０，１，２｝
２．下列命题中，错误的命题有
Ａ．函数ｆ（ｘ）＝ｘ与ｇ（ｘ）＝（ｘ）２不是同一个函数Ｂ．命题 ∃ｘ０ɪ［０，１］，ｘ２０＋ｘ０ȡ１ 的否定为 ∀ｘɪ［０，１］，ｘ
２
＋ｘ＜１ Ｃ．设函数ｆ（ｘ）＝
２ｘ＋２，ｘ＜０
２ｘ
，ｘȡ０
{
，则ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增
Ｄ．设ｘ，ｙɪＲ，则 ｘ＜ｙ 是 （ｘ－ｙ）ｙ２＜０ 的必要不充分条件３．已知角α的终边在直线３ｘ－４ｙ＝０上，则ｃｏｓ２α＋２ｓｉｎ２α等于Ａ．６４
２５
Ｂ．４８２５
Ｃ．１
Ｄ．
１６２５
４．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ３＝８，ａ７＝１２，则ａ１２等于Ａ．１９
Ｂ．１８
Ｃ．１７
Ｄ．２０
５如图所示的程序框图，输入３个数，ａ＝２０．１，ｂ＝３－０．２
，ｃ＝ｌｏｇ４
１２
，则输出的ａ为
Ａ．０Ｂ．２０．１Ｃ．３－０．２
Ｄ．ｌｏｇ４
１
㊀㊀６．为防控新冠疫情，很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝㊁白㊁红㊁黑㊁绿５种颜色各１只的口罩中随机选３只不同颜色的口罩，则蓝㊁白口罩同时被选中的概率为Ａ．３１０Ｂ．５７Ｃ．３５Ｄ．２３７．过抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ㊁Ｂ两点，且｜ＡＢ｜＝８，则线段ＡＢ的中点到ｙ轴的距离为
Ａ．１Ｂ．４Ｃ．３Ｄ．７８．已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）对任意实数ｘ都有ｆ（ｘ＋６）＋ｆ（ｘ）＝２ｆ（３）且ｆ（１－ｘ）＋ｆ（ｘ－１）＝０，则ｆ（２０２２）等于Ａ．－３Ｂ．０Ｃ．３Ｄ．６９．已知函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎωｘｃｏｓ２（ωｘ２－π４）－ｓｉｎ２ωｘ（ω＞０）在区间［－２π３，５π６］上是增函数，且在区间［０，π］上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是
Ａ．（０，３５］Ｂ．［１２，３５］Ｃ．［１２，５２］Ｄ．（０，５２）
１０冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续７天，每天不超过５人体温高于３７．３ħ，则称没有发生群体性发热，下列连续７天体温高于３７．３ħ人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为
（１）中位数为３，众数为２㊀（２）均值小于１，中位数为１
（３）均值为３，众数为４㊀（４）均值为２，标准差为２
Ａ．（１）（３）Ｂ．（３）（４）Ｃ．（２）（３）Ｄ．（２）（４）１１．已知双曲线Ｃʒｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左㊁右焦点分别为Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０），Ａ，Ｂ是圆（ｘ＋ｃ）２＋ｙ２＝４ｃ２与Ｃ位于ｘ轴上方的两个交点，且Ｆ１ＡʊＦ２Ｂ，则双曲线Ｃ的离心率为
Ａ．２＋７３Ｂ．４＋７３Ｃ．３＋１７４Ｄ．５＋１７４
１２．已知ｍ㊁ｎ为实数，ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｍｘ＋ｎ－１，若ｆ（ｘ）ȡ０对∀ｘɪＲ恒成立，则ｎ－ｍｍ的最小值为Ａ．１Ｂ．２Ｃ．－１Ｄ．３
第Ⅱ卷
二㊁填空题：本大题共４个小题，每小题５分，共２０分，把答案填在答题卡的相应位置．
１３．若复数（１－２ｉ）（ａ＋ｉ）是纯虚数，则实数ａ的值为．
１４．圆Ｃʒ（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝２关于直线ｌʒｙ＝ｘ－１对称的圆的方程为．
１５．在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，点Ｅ为ＢＣ的中点，点Ｆ在ＣＤ上，若ＡＢң㊃ＡＦң＝３，
则ＡＥң㊃ＢＦң＝．
１６．如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ＡＢＣ，经测量得，ＡＢ＝３０ｍ，
ＡＣ＝４０ｍ，ＢＣ＝１０１３ｍ，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小
路ＤＥ（其中Ｄ点在边ＡＢ上，点Ｅ在边ＡＣ上），若ＤＥ恰好将该草坪的面积平分，则
Ｄ，Ｅ两点间的最小距离为ｍ．
㊀㊀三㊁解答题：本大题共６小题，共７０分，解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．
１７．（本小题满分１２分）在әＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，且ｂｃｏｓＡ＋３２ａ＝ｃ．（１）求角Ｂ的大小；
（２）若ｃ＝３，ａ＋ｂ＝２，求әＡＢＣ的面积．
１８．（本小题满分１２分）热心网友们调查统计了柳州市某网红景点在２０２２年６月至１０月的旅游收入ｙ（单位：万元），得到以下数据：
月份ｘ６７８９１０
旅游收入ｙ１０１２１１１２２０
㊀㊀（１）根据表中所给数据，用相关系数ｒ加以判断，是否可用线性回归模型拟合ｙ与ｘ的关系？若可以，求出ｙ关于ｘ之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；
（２）为调查游客对该景点的评价情况，网友们随机抽查了２００名游客，得到如图列联表，请填写２ˑ２列联表，并判断能否有９９．９％的把握认为 游客是否喜欢该网红景点与性别有关联 ？
喜欢不喜欢总计
男１００
女６０
总计１１０
㊀㊀参考数据：１０ʈ３．１６２，
注：ｒ与Ｋ２的计算结果精确到０．００１．参考公式：相关系数ｒ＝ðｎｉ＝１（ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）ðｎｉ（ｘｉ－ｘ）２ðｎｉ＝１（ｙｉ－ｙ）２
，
线性回归方程：ｙɡ＝ｂɡｘ＋ａɡ，其中ｂɡ＝ðｎｉ＝１（ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）
ðｎｉ＝１（ｘｉ－ｘ）２，ａɡ
＝ｙ－ｂɡｘ，
Ｋ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２
（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）．
临界值表：
Ｐ（Ｋ２ȡｋ０）０．０１００．００５０．００１
ｋ０６．６３５７．８７９１０．８２８
１９．（本小题满分１２分）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ａ１＝３，Ｓｎ＝２＋ａｎ＋１（ｎɪＮ∗）．（１）证明：数列｛Ｓｎ－２｝为等比数列；
（２）设ｂｎ＝ａｎ＋２
（ａｎ＋１＋１）（２Ｓｎ－３），记数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，证明：Ｔｎ＜１．
㊀㊀２０．（本小题满分１２分）已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）长轴的两个端点分别为Ａ（－２，０），Ｂ（２，
０），离心率为
３２
．（１）求椭圆Ｃ的方程；
（２）Ｐ为椭圆Ｃ上异于Ａ，Ｂ的动点，直线ＡＰ，ＰＢ分别交直线ｘ＝－６于Ｍ，Ｎ两点，连接ＮＡ并延长交椭圆Ｃ于点Ｑ．
（ⅰ）求证：直线ＡＰ，ＡＮ的斜率之积为定值；（ⅱ）判断Ｍ，Ｂ，Ｑ三点是否共线，并说明理由．
２１．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋ａ
ｘ－（ａ－１）ｌｎｘ－２，其中ａɪＲ．
（１）若ｆ（ｘ）存在唯一极值点，且极值为０，求ａ的值；（２）讨论ｆ（ｘ）在区间［１，ｅ２］上的零点个数．
选考题：共１０分，请考生在第２２㊁２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分㊂
２２．（本小题满分１０分）（选修４－４：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，曲线Ｃ的参数方程为：
ｘ＝３＋２２ｃｏｓαｙ＝２２ｓｉｎα
{
（α为参数），在以Ｏ为极点，ｘ轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，点Ｐ的极坐
标为（２，π
３
）．
（１）写出曲线Ｃ的普通方程，并判断点Ｐ与曲线Ｃ的位置关系；（２）设直线ｌʒθ＝
π３与曲线Ｃ交于Ｍ㊁Ｎ两点，求１｜ＰＭ｜＋１
｜ＰＮ｜
的值．
２３．（本小题满分１０分）（选修４－５：不等式选讲）已知ａ，ｂ，ｃ为正数．（１）求ａ＋４
ａ２的最小值；
（２）求证：ｂｃａ＋ａｃｂ＋ａｂ
ｃ
ȡａ＋ｂ＋ｃ．
２０２２－２０２３学年普通高中高三第二次教学质量检测
数学文科参考答案
一㊁选择题
１．Ｂ㊀㊀２．Ｃ㊀㊀３．Ａ㊀㊀４．Ｃ㊀㊀５．Ｄ㊀㊀６．Ａ㊀㊀７．Ｃ㊀㊀８．Ｂ㊀㊀９．Ｂ㊀㊀１０．Ｄ㊀㊀１１．Ｃ㊀㊀１２．Ｃ
二㊁填空题１３．－２㊀㊀１４．（ｘ－２）２＋ｙ２＝２㊀㊀１５．７
２㊀㊀１６．１０６
三㊁解答题１７．（１）因为ｂｃｏｓＡ＋
３２ａ＝ｃ，由正弦定理可得ｓｉｎＢｃｏｓＡ＋３
２
ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＣ，２分 又ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ，所以３
２
ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ，４分 因为Ａɪ（０，π），则ｓｉｎＡ＞０，所以ｃｏｓＢ＝３２，因为Ｂɪ（０，π），所以Ｂ＝π６
６分 （２）因为Ｂ＝
π
６
，ｃ＝３，由余弦定理可得ｃｏｓＢ＝
ａ２＋３－ｂ２２ａˑ３
＝
３
２
，整理得ａ２－ｂ２＋３＝３ａ，９分 又ａ＋ｂ＝２，解得ａ＝ｂ＝１，所以ＳәＡＢＣ＝
１２ａｃｓｉｎＢ＝１２ˑ１ˑ３ˑ１２＝３４
１２分 １８．解：（１）由已知得ｘ＝６＋７＋８＋９＋１０５＝８，ｙ
＝１０＋１２＋１１＋１２＋２０５＝１３，ð５
ｉ＝１（ｘｉ－ｘ）２
＝１０，ð５
ｉ＝１
（ｙｉ－ｙ）２
＝６４，ð５
ｉ＝１
（ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）＝２０，４分
所以ｒ＝
２０
１０ˑ６４＝
５
２１０
＝
１０
４
ʈ０．７９１，因为｜ｒ｜ʈ０．７９１ɪ［０．７５，１］，
说明ｙ与ｘ的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合ｙ与ｘ的关系，６分
设线性回归方程为ｙɡ
＝ｂɡ
ｘ＋ａɡ
，
ʑｂɡ
＝
２０
１０
＝２，ａɡ
＝ｙ－ｂɡ
ｘ＝１３－１６＝－３，）
页５共（页１第㊀案答学数科文三高
则ｙ关于ｘ线性回归方程为ｙɡ
＝２ｘ－３；７分 （２）由题可得２ˑ２列联表，
喜欢不喜欢总计男７０３０１００女４０６０１００总计
１１０
９０
２００
９分
㊀㊀Ｋ２
＝２００ˑ（７０ˑ６０－４０ˑ３０）２
１００ˑ１００ˑ１１０ˑ９０
ʈ１８．１８２＞１０．８２８，
ʑ有９９．９％的把握认为 游客是否喜欢该网红景点与性别有关联 ．１２分 １９．解：（１）ȵＳｎ＝２＋ａｎ＋１＝２＋（Ｓｎ＋１－Ｓｎ），ʑ２Ｓｎ＝Ｓｎ＋１＋２，３分 ʑＳｎ＋１－２＝２（Ｓｎ－２），Ｓ１－２＝１，
Ｓｎ＋１－２
Ｓｎ－２
＝２，故数列｛Ｓｎ－２｝为等比数列，首项是Ｓ１－２＝１，公比为２．６分
（２）由（１）可知Ｓｎ－２＝２ｎ－１，ʑＳｎ＝２ｎ－１＋２，ａｎ＋１＝Ｓｎ－２＝２ｎ－
１，８分
于是ｂｎ＝ａｎ＋２
（ａｎ＋１＋１）（２Ｓｎ－３）＝２ｎ（２ｎ－１＋１）（２ｎ＋１）＝２（１２ｎ－１＋１－１
２ｎ
＋１），１０分 ʑＴｎ＝２（
１２－１２ｎ＋１）＝１－２
２ｎ＋１
＜１．１２分 ２０．解：（１）由题意得ａ＝２，ｅ＝ｃａ＝３
２
，所以ｃ＝３，ｂ２＝ａ２－ｃ２＝１，
所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２４＋ｙ２
＝１．３分
（２）（ⅰ）证明：设Ｐ（ｘ０，ｙ０），
因为Ｐ在椭圆Ｃ上，所以ｘ２０
４＋ｙ２０＝１．因为ｋＡＰ＝ｙ０ｘ０＋２，ｋＢＰ＝ｙ０
ｘ０－２，
所以直线ＢＰ的方程为ｙ＝
ｙ０
ｘ０－２（ｘ－２）．５分 所以Ｎ点的坐标为Ｎ（－６，－８ｙ０
ｘ０－２
）．
ʑｋＡＮ＝
－８ｙ０ｘ０－２－６＋２＝２ｙ０
ｘ０－２
．）
页５共（页２第㊀案答学数科文三高
ʑｋＡＰ㊃ｋＡＮ＝ｙ０
ｘ０＋２㊃２ｙ０
ｘ０－２＝２ｙ２０
ｘ２０－４＝２（１－ｘ２０
４）
ｘ２０
－４＝－１
２．７分
（ⅱ）Ｍ，Ｂ，Ｑ三点共线．
设ｋＡＰ＝ｋ，易得Ｍ（－６，－４ｋ）．由（ⅰ）ｋＡＮ＝－
１２ｋ，所以直线ＡＮ的方程为ｙ＝－１
２ｋ
（ｘ＋２）．８分 联立ｘ２＋４ｙ２－４＝０，ｘ＝－２ｋｙ－２，
{
可得（４＋４ｋ２）ｙ２＋８ｋｙ＝０．
解得Ｑ点的纵坐标为－２ｋ
１＋ｋ２
，
所以Ｑ点的坐标为Ｑ（２ｋ２－２１＋ｋ２，－２ｋ
１＋ｋ２
）．１０分
所以，ｋＢＱ＝－２ｋ
１＋ｋ２
－０２ｋ２
－２
１＋ｋ２
－２＝ｋ
２，ｋＢＭ＝－４ｋ－０－６－２＝ｋ２．由于ｋＢＱ＝ｋＢＭ
所以Ｍ，Ｂ，Ｑ三点共线．１２分
２１．解：（１）ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋ɕ），由已知可得ｆᶄ（ｘ）＝１－ａｘ２－ａ－１ｘ＝（ｘ＋１）（ｘ－ａ）
ｘ
２（ｘ＞０）．①若ａɤ０，则当ｘɪ（０，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＞０恒成立，
ʑｆ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递增，与ｆ（ｘ）存在极值点矛盾，２分 ②若ａ＞０，则由ｆᶄ（ｘ）＝０得ｘ＝ａ，
ʑ当ｘɪ（０，ａ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０，当ｘɪ（ａ，＋ɕ）时，ｆᶄ（ｘ）＞０，
ʑｆ（ｘ）在（０，ａ）内单调递减，在（ａ，＋ɕ）上单调递增，ʑｆ（ａ）＝ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ａ＋１－（ａ－
１）ｌｎａ－２＝（ａ－１）（１－ｌｎａ）＝０，
ʑａ＝１或ａ＝ｅ．４分
（２）①当ａɤ１时，ｆᶄ（ｘ）ȡ０在［１，ｅ２］上恒成立，ʑｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上单调递增．ȵｆ（１）＝ａ－１ɤ０，ｆ（ｅ２）＝ｅ２＋ａｅ２－２ａ，当ａɤ０时，ｆ（ｅ２）＝ｅ２＋ａｅ２－２ａ＝ｅ２＋ａ（１
ｅ２－２）＞
０；
当０＜ａɤ１时，ｆ（ｅ２）＝ｅ２＋ａ
ｅ
２－２ａ＞２ａ－２ａ＝２ａ（１－ａ）ȡ０．ʑｆ（ｅ２）＞０．
ʑｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有１个零点；６分
）
页５共（页３第㊀案答学数科文三高
②当１＜ａ＜ｅ２时，
ȵ当ｘɪ［１，ａ）时，ｆᶄ（ｘ）＜０；当ｘɪ（ａ，ｅ２］时，ｆᶄ（ｘ）＞０，ʑｆ（ｘ）在［１，ａ）上单调递减，在（ａ，ｅ２］上单调递增，ʑｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（ａ）＝（ａ－１）（１－ｌｎａ）．
当ａ＝ｅ时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝０，此时ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有１个零点；
当１＜ａ＜ｅ时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＞０，此时ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上无零点；
当ｅ＜ａ＜ｅ２
时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＜０，ｆ（１）＝ａ－１＞０．则当ｆ（ｅ２
）＝ｅ２
＋ａｅ２－２ａ＜０，即ｅ４
２ｅ２－１
＜ａ＜ｅ２
时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有１个零点；８分
当ｆ（ｅ２）＝ｅ２
＋ａｅ２－２ａȡ０，即ｅ＜ａɤｅ４２ｅ２－１
时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有２个零点；９分
③当ａȡｅ２时，ｆᶄ（ｘ）ɤ０在［１，ｅ２］上恒成立，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上单调递减．
ȵｆ（１）＝ａ－１＞０，ｆ（ｅ２）＝ｅ２＋（１ｅ２－２）ａɤｅ２＋（１
ｅ
２－２）ｅ２＝－ｅ２＋１＜０，ʑｆ（ｘ）在［１，ｅ２］
上有１个零点，１１分
综上，当１＜ａ＜ｅ时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上无零点；
当ａɤ１或ａ＝ｅ或ａ＞ｅ４
２ｅ２－１
时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有１个零点；
当ｅ＜ａɤｅ４
２ｅ２－１时，ｆ（ｘ）在［１，ｅ２］上有２个零点．１２分
２２．解：（１）ȵ曲线Ｃ的参数方程为：
ｘ＝３＋２２ｃｏｓα
ｙ＝２２ｓｉｎα
{
（α为参数），
ʑ消去参数α可得，（ｘ－３）２＋ｙ２＝８，２分
ȵ点Ｐ的极坐标为（２，π
３），且ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｍθ，
ʑ点Ｐ的直角坐标为Ｐ（１，３），４分
将Ｐ（１，３）代入曲线Ｃ的普通方程的左边得（１－３）２＋（３）２＝７＜８，
故Ｐ在曲线Ｃ内部．５分
（２）ȵ直线ｌʒθ＝π
３
的极坐标方程对应的普通方程为：ｙ＝３ｘ，ʑＰ（１，３）在直
线上，
故可设直线ｌ的参数方程为ｘ＝１＋１２ｔｙ＝３＋３２ｔìî
íïïï
ïïï（ｔ为参数），与曲线Ｃ的普通方程
）
页５共（页４第㊀案答学数科文三高
（ｘ－３）２＋ｙ２＝８联立，化简整理可得，ｔ２＋ｔ－１＝０，Δ＝５＞０，设两根为ｔ１，ｔ２，
由韦达定理可得，ｔ１＋ｔ２＝－１
ｔ１ｔ２＝－１
{
，
故
１｜ＰＭ｜＋１｜ＰＮ｜＝１｜ｔ１｜＋１
｜ｔ２｜＝（ｔ１＋ｔ２）２－４ｔ１ｔ２｜ｔ１ｔ２｜＝５．１０分 注意：本题用圆的极坐标方程来解同样给分！
２３．（１）解：因为ａ＋４ａ２＝ａ２＋ａ２＋４ａ２ȡ３
３
ａ２ˑａ２ˑ４
ａ２
＝３，当且仅当 ａ＝２ 时等号成立，
所以当ａ＝２时，ａ＋４
ａ２的最小值为３．
５分
（２）证明：因为ｂｃａ＋ａｃ
ｂȡ２
ｂｃａ㊃ａｃｂ＝２ｃ，同理ａｃｂ＋ａｂｃȡ２ａ，ｂｃａ＋ａｂ
ｃ
ȡ２ｂ，８分 所以三式相加得２（
ｂｃａ＋ａｃｂ＋ａｂ
ｃ
）ȡ２（ａ＋ｂ＋ｃ），所以ｂｃａ＋ａｃｂ＋ａｂ
ｃ
ȡａ＋ｂ＋ｃ，当且仅当 ａ＝ｂ＝ｃ 时等号成立．１０分
）
页５共（页５第㊀案答学数科文三高。