高考数学一轮复习 数列【配套Word版文档】第六章 常考题型强化练——数列

常考题型强化练——数列
A 组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于
( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
答案 A
解析 设该数列的公差为d ，
则a 4＋a 6＝2a 1＋8d ＝2×(－11)＋8d ＝－6，解得d ＝2，
∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2
×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36， ∴当n ＝6时，取最小值．
2．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54
，则S 5等于 ( ) A ．35 B ．33 C ．31 D ．29
答案 C
解析 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，
a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.
由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54
， ∴a 7＝12⎝⎛⎭⎫2×54
－a 4＝14. ∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12
， ∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18
＝2， ∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝⎛⎭⎫1－1251－12
＝31. 3．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于
( )
A ．3×44
B ．3×44＋1
C ．43
D ．43＋1
答案 A
解析 由a n ＋1＝3S n ⇒S n ＋1－S n ＝3S n ⇒S n ＋1＝4S n ，
∴数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，
∴S n ＝4n －1，∴a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44.
4．已知等差数列{a n }的公差d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99
的值是
( ) A ．－78
B ．－82
C ．－148
D ．－182 答案 B
解析 ∵a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99
＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )
＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋2d ×33
＝50＋66×(－2)
＝－82.
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.
答案 10
解析 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9－S 4＝0，
即a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0,5a 7＝0，故a 7＝0.
而a k ＋a 4＝0，故k ＝10.
6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝______________.
答案 2－⎝⎛⎭⎫12n －1
解析 由于S n ＝2n －a n ，所以S n ＋1＝2(n ＋1)－a n ＋1，后式减去前式，得S n ＋1－S n ＝2－
a n ＋1＋a n ，即a n ＋1＝12a n ＋1，变形为a n ＋1－2＝12
(a n －2)，则数列{a n －2}是以a 1－2为首项，12
为公比的等比数列．又a 1＝2－a 1，即a 1＝1. 则a n －2＝(－1)⎝⎛⎭⎫12n －1，所以a n ＝2－⎝⎛⎭
⎫12n －1. 7．已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8
的值为________．
答案 3＋2 2
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，
∵a 1，12
a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2. ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q .∴q 2－2q －1＝0.∴q ＝1±2.
∵各项都是正数，∴q ＞0.∴q ＝1＋ 2.
∴a 9＋a 10a 7＋a 8
＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 三、解答题(共22分)
8．(10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 3＝5，S 10＝100.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1.
(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12
×4n ＋2n ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12
(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23
. 9．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N )，a 1＝12
，判断⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由． 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又因为a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，
所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又因为S 1＝a 1＝12
，
所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n
. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)
， 所以a n ＋1＝－1
2n (n ＋1)
， 而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)
＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1). 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．
综上，可知⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是等差数列，{a n }不是等差数列． B 组 专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q
等于
( ) A ．1
B ．－1
C ．1或－1 D. 2
答案 C 解析 依题意，有2a 5＝4a 1－2a 3，
即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，
整理得q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1(q 2＝－2舍去)，
所以q ＝1或q ＝－1.
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1， x ≤0，f (x －1)＋1， x >0， 把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为
( ) A ．a n ＝n (n －1)2，n ∈N * B ．a n ＝n (n －1)，n ∈N *
C ．a n ＝n －1，n ∈N *
D ．a n ＝2n －2，n ∈N *
答案 C 解析 当x ≤0时，g (x )＝f (x )－x ＝2x －1－x 是减函数， 只有一个零点a 1＝0；
当x >0时，若x ＝n ，n ∈N *，
则f (n )＝f (n －1)＋1＝…＝f (0)＋n ＝n ；
若x 不是整数，
则f (x )＝f (x －1)＋1＝…＝f (x －[x ]－1)＋[x ]＋1，
其中[x ]代表x 的整数部分，
由f (x )＝x 得f (x －[x ]－1)＝x －[x ]－1，
其中－1<x －[x ]－1<0，在(－1,0)没有这样的x .
∴g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3，…，通项a n ＝n －1，故选C.
3．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，
x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 A
解析 由等差、等比数列的性质，
可求得x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4，
∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴S △OP 1P 2＝1.
二、填空题(每小题5分，共15分) 4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝⎩⎨⎧ 1＋2a n 2， n 为偶数，
12＋2a n －12， n 为奇数，n ＝2,3,4，…，设b n ＝
a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，则数列{
b n }的通项公式是________． 答案 b n ＝2n
解析 由题意，得对于任意的正整数n ，b n ＝a 2n －1＋1， ∴b n ＋1＝a 2n ＋1，
又a 2n ＋1＝(2a 2n 2
＋1)＋1＝2(a 2n －1＋1)＝2b n ，
∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 1＋1＝2，
∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，
∴b n ＝2n .
5．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有P n P n ＋1＝(1,2)，则数列
{a n }的前n 项和S n ＝________.
答案 n (n －43
) 解析 ∵P n P n ＋1＝OP n ＋1－OP n →＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，
∴a n ＋1－a n ＝2.
∴{a n }是公差为2的等差数列．
由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－13
， ∴S n ＝－n 3＋12n (n －1)×2＝n (n －43
)． 6．若数列{a n }满足1
a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________. 答案 20
解析 由题意知，若{a n }为调和数列，则⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 为等差数列， ∴由⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1x n 为调和数列，可得数列{x n }为等差数列， 由等差数列的性质知，
x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010
＝20. 三、解答题
7．(13分)已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12
a n . (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n
，求T 2 012； (3)若c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n .
解 (1)当n ＝1时，a 1＝13
， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，
又S n ＝12－12
a n ， 所以a n ＝13
a n －1， 即数列{a n }是首项为13，公比为13
的等比数列， 故a n ＝⎝⎛⎭⎫13n .
(2)由已知可得f (a n )＝log 3⎝⎛⎭⎫13n ＝－n ，
则b n ＝－1－2－3－…－n ＝－n (n ＋1)2
， 故1b n ＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1， 又T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1n ＋1， 所以T 2 012＝－4 0242 013
. (3)由题意得c n ＝(－n )·⎝⎛⎭
⎫13n ， 故U n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝－⎣⎡⎦
⎤1×⎝⎛⎭⎫131＋2×⎝⎛⎭⎫132＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ， 则13
U n ＝－⎣⎡⎦⎤1×⎝⎛⎭⎫132＋2×⎝⎛⎭⎫133＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 两式相减可得
23
U n ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫131＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝－12⎣⎡⎦
⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝－12＋12·⎝⎛⎭
⎫13n ＋n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 则U n ＝－34＋34·⎝⎛⎭⎫13n ＋32n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1.。