八年级数学上册第五章相交线与平行线单元试卷综合测试(Word版 含答案)

八年级数学上册第五章相交线与平行线单元试卷综合测试（Word 版 含答案）
一、选择题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A ．直角三角形中两个锐角互补
B ．相等的角是对顶角
C ．同旁内角互补，两直线平行
D ．若a b =，则a b = 2．如图，已知AD EF BC ，BD GF ∥，且BD 平分ADC ∠，则图中与1∠相等的角（1∠除外）共有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
3．如图所示，直线c 截直线a ，b ，给出下列以下条件：
①48∠=∠；②17∠=∠；③26∠=∠；④47180∠+∠=︒．
其中能够说明a ∥b 的条件有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4．下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A ．若a ＝b ，则a 2＝b 2 B ．同位角相等
C ．两边和一角对应相等的两个三角形全等
D ．等腰三角形两底角不相等 5．下列语句是命题的是 ( )
（1）两点之间，线段最短；（2）如果两个角的和是180度，那么这两个角互补；（3）请画出两条互相平行的直线；（4）一个锐角与一个钝角互补吗?
A ．（1）（2）
B ．（3）（4）
C ．（2）（3）
D ．（1）（4）
6．如图，如果AB ∥EF ，EF ∥CD ，下列各式正确的是（ ）
A ．∠1+∠2−∠3=90°
B ．∠1−∠2+∠3=90°
C ．∠1+∠2+∠3=90°
D ．∠2+∠3−∠1=180°
7．在同一平面内，有3条直线a ，b ，c ，其中直线a 与直线b 相交，直线a 与直线c 平行，那么b 与c 的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．平行或相交
D ．不能确定
8．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
9．（2017•十堰）如图，AB ∥DE ，FG ⊥BC 于F ，∠CDE=40°，则∠FGB=（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70° 10．如图，在△ABC 中，点D ，
E 分别为边AB ，AC 上的点，画射线ED ．下列说法错误的是
（ ）
A ．∠
B 与∠2是同旁内角
B ．∠A 与∠1是同位角
C ．∠3与∠A 是同旁内角
D ．∠3与∠4是内错角
11．如图是一块长方形ABCD 的场地，长102AB m =，宽51AD m =，从A 、B 两处入口的中路宽都为1m ，两小路汇合处路宽为2m ，其余部分种植草坪，则草坪面积为（ ）
A ．5050m 2
B ．5000m 2
C ．4900m 2
D ．4998m 2
12．下列命题中，是真命题的是（ ）
A ．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
B ．相等的角是对顶角
C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
二、填空题
13．已知直线AB ∥CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按顺时针方向每秒1°旋转
至QD 停止，此时射线PB 也停止旋转．
（1）若射线PB 、QC 同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____； （2）若射线QC 先转45秒，射线PB 才开始转动，当射线PB 旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．
14．如图， 已知//AB CF ，//CF DE ， 90BCD ∠=︒，则D B ∠-∠=_________
15．如图，已知，∠ABG 为锐角，AH ∥BG ，点C 从点B （C 不与B 重合）出发，沿射线BG 的方向移动，CD ∥AB 交直线AH 于点D ，CE ⊥CD 交AB 于点E ，CF ⊥AD ，垂足为F （F 不与A 重合），若∠ECF ＝n°，则∠BAF 的度数为_____度．（用n 来表示）
16．如图，两直线AB 、CD 平行，则12345∠+∠+∠+∠+∠=__________．
17．如图①：MA 1∥NA 2，图②：MA11NA 3，图③：MA 1∥NA 4，图④：MA 1∥NA 5，……，
则第n 个图中的∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n+1______.（用含n 的代数式表示）
18．100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_______对，邻补角________对.
19．如图，1∠与2∠是对顶角，110α∠=+︒，250∠=︒，则α=______．
20．如图所示，AB ∥CD ，EC ⊥CD ．若∠BEC ＝30°，则∠ABE 的度数为_____．
三、解答题
21．感知与填空:如图①，直线//AB CD ，求证:B D BED ∠+∠=∠.
阅读下面的解答过程，并填上适当的理由，
解:过点E 作直线//EF CD ,
2D ∴∠=∠（ ）
//AB CD (已知)，//EF CD ,
//AB EF ∴（ ）
1B ∴∠=∠（ ）
12BED ∠+∠=∠,
B D BED ∴∠+∠=∠（ ）
应用与拓展:如图②，直线//AB CD ，若22,35,25B G D ∠=︒∠=∠=︒.
则E F ∠+∠= 度
方法与实践:如图③，直线//AB CD ，若60,80E B F ∠=∠=︒∠=︒,则D ∠= 度.
22．如图，A、B分别是直线a和b上的点，∠1＝∠2，C、D在两条直线之间，且∠C＝∠D．
（1）证明：a∥b；
（2）如图，∠EFG=60°，EF交a于H，FG交b于I，HK∥FG，若∠4＝2∠3，判断∠5、∠6的数量关系，并说明理由；
（3）如图∠EFG是平角的n分之1（n为大于1的整数），FE交a于H，FG交b于I．点J在FG上，连HJ．若∠8＝n∠7，则∠9：∠10＝______ ．
23．已知：直线l分别交AB、CD与E、F两点，且AB∥CD．
（1）说明：∠1=∠2；
（2）如图2，点M、N在AB、CD之间，且在直线l左侧，若∠EMN+∠FNM=260°，
①求：∠AEM+∠CFN的度数；
②如图3，若EP平分∠AEM，FP平分∠CFN，求∠P的度数；
（3）如图4，∠2=80°，点G在射线EB上，点H在AB上方的直线l上，点Q是平面内一点，连接QG、QH，若∠AGQ=18°，∠FHQ=24°，直接写出∠GQH的度数．
24．已知：直线//AB CD ，点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，点M 为两平行线内部一点． （1）如图1，∠AEM ，∠M ，∠CFM 的数量关系为________；(直接写出答案)
（2）如图2，∠MEB 和∠MFD 的角平分线交于点N ，若∠EMF 等于130°，求∠ENF 的度数；
（3）如图3，点G 为直线CD 上一点，延长GM 交直线AB 于点Q ，点P 为MG 上一点，射线PF 、EH 相交于点H ，满足13PFG MFG ∠=
∠，13BEH BEM ∠=∠，设∠EMF =α，求∠H 的度数(用含α的代数式表示)．
25．问题情境：如图1，AB CD ，130PAB ∠=，120PCD ∠=．求 APC ∠ 度数． 小明的思路是：如图2，过 P 作 PE AB ，通过平行线性质，可得
5060110APC ∠=+=．
问题迁移：
（1）如图3，AD BC ，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在 A 、 B 两点之间运动时，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．CPD ∠ 、 α∠ 、 β∠ 之间有何数量关系?请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点 P 在 A 、 B 两点外侧运动时（点 P 与点 A 、 B 、 O 三点不重合），请你直接写出 CPD ∠ 、 α∠ 、 β∠ 间的数量关系．
26．已知，90AOB ︒∠=，点C 在射线OA 上，//CD OE ．
（1）如图 1，若120OCD ︒∠=，求∠BOE 的度数；
（2）把“90AOB ︒∠=°”改为“120AOB ︒∠=”，射线OE 沿射线OB 平移，得到O E '，其它条件不变（如 图 2 所示），探究,OCD BO E '∠∠ 的数量关系；
（3）在（2）的条件下，作PO OB '⊥，垂足为O ' ，与OCD ∠ 的角平分线CP 交于点P ，若BO E α'∠= ， 用含 α 的式子表示CPO '∠（直接写出答案）．
27．（1）如图1，已知直线//m n ，在直线n 上取A B 、两点，C P 、为直线m 上的两点，无论点C P 、移动到任何位置都有：ABC S ____________ABP S △（填“>”、“<”或“=”）
（2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．
（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形DEFG ，中间有条分界小路（图中折线ABC ），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。

现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。

（不计分界小路与直路的占地面积）．
28．AB ∥CD ，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E 在射线BA 上，过点E 作EF ∥PC ，作∠PEG ＝∠PEF ，点G 在直线CD 上，作∠BEG 的平分线EH 交PC 于点H ，若∠APC ＝30°，∠PAB ＝140°，求∠PEH 的度
数．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
分别利用直角三角形的性质、对顶角和平行线的判定方法以及绝对值的性质分析得出答案．
【详解】
解：A 、直角三角形中两个锐角互余，故此选项错误；
B 、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
C 、同旁内角互补，两直线平行，正确；
D 、若|a|=|b|，则a=±b ，故此选项错误；
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
依据AD EF BC BD GF ∥∥，∥，即可得到
1,1ADB DBC FGC EFG EHB ∠=∠=∠=∠=∠∠=∠，再根据BD 平分ADC ∠，即可得到ADB CDB CFG ∠=∠=∠.
【详解】
解：∵AD EF BC BD GF ∥∥，∥，
∴11ADB DBC FGC EFG EHB ∠=∠=∠=∠=∠∠=∠，，
又∵BD 平分ADC ∠，
∴ADB CDB CFG ∠=∠=∠，
∴图中与1∠相等的角（1∠除外）共有7个，
故选：D.
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，此题充分运用平行线的性质以及角的等量代换就可以解决问题.
3．D
解析：D
【解析】
根据平行线的判定，由题意知：
①∵68∠=∠，48∠=∠，
∴46∠=∠，
∴a b ∥，故①对．
②∵13∠=∠，17∠=∠，
∴37∠=∠，
∴a b ∥，故②对．
③∵26∠=∠，
∴a b ∥，故③对．
④∵47180∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，
∴37∠=∠，
∴a b ∥，故④对．
故选D.
点睛：此题主要考查了平行线的判定，关键是利用图形中的条件和已知的条件，构造两直线平行的条件.
平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
4．C
解析：C
【分析】
根据互为逆命题的关系，将四个选项的题设和结论互换，逐一验证，A 是假命题，B 是假命题，C 是真命题，D 是假命题.故答案为C.
【详解】
根据互为逆命题的关系，题设和结论互换，可知：
A 选项中，若a=b ，则a 2＝b 2的逆命题为：若a 2＝b 2，则a=b ，是假命题；
B 选项中，同位角相等的逆命题为：相等的角是同位角，是假命题；
C 选项中，两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是：全等三角形的对应边相
等，对应角相等，是真命题；
D选项中，等腰三角形的两底角不相等的逆命题为：两个角不相等的三角形是等腰三角形，是假命题.
故选C.
【点睛】
此题主要考查互为逆命题的关系，三角形的性质定理，熟练掌握即可得解.
5．A
解析：A
【分析】
根据命题的定义对四句话进行判断．
【详解】
解：（1）两点之间，线段最短，它是命题；
（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，它是命题；
（3）请画出两条互相平行的直线，它不是命题；
（4）一个锐角与一个钝角互补吗？，它不是命题．
所以，是命题的为（1）（2），
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成如果…那么…形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】
∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．7．B
解析：B
【分析】
根据a∥c，a与b相交，可知c与b相交，如果c与b不相交，则c与b平行，故b与a 平行，与题目中的b与a相交矛盾，从而可以解答本题．
【详解】
解：假设b∥c，
∵a∥c，
∴a∥b，
而已知a与b相交于点O，
故假设b∥c不成立，
故b与c相交，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．8．C
解析：C
【解析】
分析：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．
∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．
∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．
故选C．
9．B
解析：B
【解析】
试题分析：由AB∥DE，∠CDE=40°，
∴∠B=∠CDE=40°，
又∵FG⊥BC，
∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，
故选B．
考点：平行线的性质
10．B
解析：B
【分析】
根据同位角、内错角以及同旁内角的概念解答即可．
【详解】
解：A．∠B与∠2是BC、DE被BD所截而成的同旁内角，故本选项正确；B．∠A与∠1不是同位角，故本选项错误；
C．∠3与∠A是AE、DE被AD所截而成的同旁内角，故本选项正确；
D．∠3与∠4是内错角AD、CE被ED所截而成的内错角，故本选项正确；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
11．B
解析：B
【详解】
解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（102-2）米，宽为（51-1）米．
所以草坪的面积应该是长×宽=（102-2）（51-1）=5000（米2）．
故选B．
12．A
解析：A
【解析】
分析：根据平行线的判定与性质，对顶角的性质，平行线的作图，逐一判断即可.
详解：根据平行公理的推论，可知：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故正确；
根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，故不正确；
根据两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故不正确；
根据平行公理，可知过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确.
故选A.
点睛：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟记公理的内容和特点，找到反例说明即可.
二、填空题
13．PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．
【分析】
（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作E F∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．
【分析】
（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【详解】
（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，
∴∠PEQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45+t，
解得，t＝15（s）；
②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，
即4t﹣180＝180﹣（45+t），
解得，t＝63（s）；
③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t﹣360＝t+45，
解得，t＝135（s）；
综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．
故答案为：15秒或63秒或135秒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
14．90°
【分析】
根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小
【详解】
∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF
∵CF∥DE
∴∠
解析：90°
【分析】
根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小
【详解】
∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF
∵CF∥DE
∴∠FCD+∠D=180°
∴∠FCD+∠D－∠B=180°－∠BCF，化简得：∠D－∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)
∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°
∴∠D―∠B=90°
故答案为：90°
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换．
15．n或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】
解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵
解析：n或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点M在线段BC上；点C在BM延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】
解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，
∵AD ∥BC ，CF ⊥AD ，
∴CF ⊥BG ，
∴∠BCF ＝90°，
∴∠BCE+∠ECF ＝90°，
∵CE ⊥AB ，
∴∠BEC ＝90°，
∴∠B+∠BCE ＝90°，
∴∠B ＝∠ECF ＝n°，
∵AD ∥BC ，
∴∠BAF ＝∠B ＝n°，
综上所述，∠BAF 的度数为n°或180°﹣n°，
故答案为：n 或180﹣n ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
16．【分析】
根据题意，通过添加平行线，利用内错角和同旁内角，把这五个角转化成4个的角．
【详解】
分别过F 点，G 点，H 点作，，平行于AB
利用内错角和同旁内角，把这五个角转化一下，可得，有4个的角， 解析：720
【分析】
根据题意，通过添加平行线，利用内错角和同旁内角，把这五个角转化成4个180的角．
【详解】
分别过F 点，G 点，H 点作2L ，3L ，4L 平行于AB
利用内错角和同旁内角，把这五个角转化一下，可得，有4个180的角，
1804720∴⨯=．
故答案为720．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线是解题关键．17．【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2
解析：n180︒
【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2×180∘，
如图③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540∘=3×180∘，
…，
第n个图,∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1学会从=n180︒，
故答案为180n︒.
点睛：平行线的性质.
18．19800
【解析】
100条直线两两相交，最多有个交点，每个交点处有两组对顶角，4对邻补角，故100条直线两两相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，
有4950×4＝19800
解析：19800
【解析】
100条直线两两相交，最多有100(1001)
4950
2
-
=个交点，每个交点处有两组对顶角，4
对邻补角，故100条直线两两相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，有4950×4＝19800（对）邻补角，
故答案为：9900，19800.
19．40°
【分析】
先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．
【详解】
解：∵∠1与∠2是对顶角，，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∵，∠2=50°，
∴α+10°=50°，
∴α=4
解析：40°
【分析】
先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．
【详解】
解：∵∠1与∠2是对顶角，110α∠=+︒，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∵110α∠=+︒，∠2=50°，
∴α+10°=50°，
∴α=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质以及角度的计算．
20．120°．
【分析】
先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．
【详解】
过点E 作EG∥AB，则EG∥CD，
由平行线的性质可得∠GEC=90°，
解析：120°．
【分析】
先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．
【详解】
过点E 作EG ∥AB ，则EG ∥CD ，
由平行线的性质可得∠GEC =90°，
所以∠GEB =90°﹣30°=60°，
因为EG ∥AB ，
所以∠ABE =180°﹣60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和垂直的概念等，解题时注意：两直线平行，同旁内角互
补．
三、解答题
21．两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；82；20
【分析】
感知与填空：根据平行公理及平行线的性质即可填写；
应用与拓展：根据感知与填空的方法添加辅助线即可得到∠E+∠F=∠B+∠G+∠D ，即可得到答案；
方法与实践：过点F 作平行线，用同样的思路证明即可得到∠D 的度数.
【详解】
感知与填空：
两直线平行，内错角相等；
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
两直线平行，内错角相等；
等量代换，
应用与拓展：如图，作GM ∥AB ，
由感知得：∠E=∠B+∠EGM,
∵AB ∥CD,GM ∥AB,
∴GM ∥CD,
∴∠F=∠D+∠FGM,
∴∠E+∠F=∠B+∠D+∠EGF,
∵22,35,25B EGF D ∠=︒∠=∠=︒,
∴∠E+∠F=82︒,
故答案为：82.
方法与实践：如图：作FM ∥AB ，
∴∠MFB+∠B=180︒,
∵60B ∠=︒,
∴∠MFB=180︒-∠B=120︒,
∵80F ∠=︒,
∴∠MFE=40︒,
∵∠E=∠MFE+∠D, 60E ∠=︒,
∴∠D=20︒,
故答案为：20.
【点睛】
此题考查平行公理的运用及平行线的性质定理，解此题的关键是理解感知部分的作线方法，得到的方法的总结，由此才能正确解答后面的问题.
22．（1）见解析；（2）
526∠=∠，见解析；（3）n-1 【分析】
（1）延长AD 交直线b 于点E ，根据平行线的性质与判定即可得证；
（2）由//HK FG 得到3EFG α∠+∠=∠，4FJH ∠=∠，再根据三角形的内角和与对顶角的性质即可求解；
（3）延长EF 交直线b 于点P ，过点J 作//JQ a ，根据平行线的性质及三角形外角的性质等，得到180107n ︒∠=
-∠，()1918017n n n
-∠=⋅︒--∠，即可得到9:10∠∠的值． 【详解】
（1）如图，延长AD 交直线b 于点E ，
ADC C ∠=∠，
//AD BC ∴，
2AEB ∴∠=∠，
12∠=∠，
1AEB ∴∠=∠，
//a b ∴．
（2）∵//HK FG ，60EFG ∠=︒，
∴360α∠+∠=︒，4FJH ∠=∠，5120FJH ∠+∠=︒，
∵423∠=∠，
∴523120∠+∠=︒，即()5260120α∠+-∠=︒，
∴52α∠=∠，
∵6α∠=∠，
∴526∠=∠．
（3）如图，延长EF 交直线b 于点P ，过点J 作//JQ a ，
则10FPI ∠=∠，8180HJQ ∠+∠=︒，7QJI FIP ∠=∠=∠，
∵EFG FPI FIP ∠=∠+∠，9HJI EFG ∠=∠+∠， ∴1801077EFG n
︒∠=∠-∠=-∠， ()1918017n HJI EFG n n -∠=∠-∠=
⋅︒--∠， ∴9:101n ∠∠=-，
故答案为：1n -．
【点睛】
本题考查平行线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等内容，解题的关键是根据题意作出辅助线．
23．（1）理由见解析；（2）①80°，②40°；（3）38°、74°、86°、122°．
【分析】
（1）根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证；
（2）①过拐点作AB 的平行线，根据平行线的性质推理即可得到答案；
②过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数；
（3）分情况讨论，画出图形，根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可．
【详解】
（1）
//AB CD
1EFD ∴∠=∠，
2EFD ∠=∠
12∠∠∴=； （2）①分别过点M ，N 作直线GH ，IJ 与AB 平行，则//////AB CD GH IJ ，如图：
AEM EMH ∴∠=∠，CFN FNJ ∠=∠，180HMN MNJ ∠+∠=︒，
()80AEM CFN EMH FNJ EMN MNF HMN MNJ ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒；
②过点P 作AB 的平行线，
根据平行线的性质可得：3AEP ∠=∠，4CFP ∠=∠，
∵EP 平分∠AEM ，FP 平分∠CFN ， ∴11344022
AEP CFP AEM CFM ∠+∠=∠+∠=
∠+∠=︒， 即40P ∠=︒；
（3）分四种情况进行讨论：
由已知条件可得80BEH ∠=︒，
①如图：
118082EPG BEH AGQ ∠=︒-∠-∠=︒
182HPQ EPG ∴∠=∠=︒
11118074GQ H EHQ HPQ ∴∠=︒-∠-∠=︒
②如图：
104BPH FHP BEH ∠=∠+∠=︒，
22122BQ H BPH AGQ ∴∠=∠+∠=︒；
③如图：
56BPH BEH FHP ∠=∠-∠=︒，
3338BQ H BPH AGQ ∴∠=∠-∠=︒；
④如图：
104BPH BEH FHP ∠=∠+∠=︒ ，
4486GQ H BPH AGQ ∴∠=∠-∠=︒；
综上所述，∠GQH 的度数为38°、74°、86°、122°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等内容，解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想．
24．（1）M AEM CFM ∠=∠+∠；（2）115ENF ∠=︒；（3）1603
H α∠=︒-． 【分析】
（1）过点M 作//ML AB ，利用平行线的性质可得1AEM ∠=∠，2CFM ∠=∠，由12EMF ∠=∠+∠，经过等量代换可得结论；
（2）过M 作//ME AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．
（3）如图②中设BEH x ∠=，PFG y ∠=，则3BEM x ∠=，3MFG y ∠=，设EH 交CD 于K ．证明H x y ∠=-，求出x y -即可解决问题．
【详解】
（1）如图1，过点M 作//ML AB ，
//AB CD ，
////ML AB CD ∴，
1AEM ∴∠=∠，2CFM ∠=∠，
12EMF ∠=∠+∠，
M AEM CFM ∴∠=∠+∠；
（2）过M 作//ME AB ，
//AB CD ，
//ME CD ∴，
24180BEM DFM ∴∠+∠=∠+∠=︒，
1802BEM ∴∠=︒-∠，1804DFM ∠=︒-∠， EN ，FN 分别平分MEB ∠和DFM ∠， 112BEM ∴∠=∠，132DFM ∠=∠， 111113(1802)(1804)180(24)1801301152222∴∠+∠=
︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒， 36013360115130115ENF EMF ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒；
（3）如图②中设BEH x ∠=，PFG y ∠=，则3BEM x ∠=，3MFG y ∠=，设EH 交CD 于K ．
//AB CD ，
BEH DKH x ∴∠=∠=，
PFG HFK y ∠=∠=，DKH H HFK ∠=∠+∠，
H x y ∴∠=-，
EMF MGF α∠=∠=，180BQG MGF ∠+∠=︒，
180BQG α∴∠=︒-，
QMF QMF EMF MGF MFG ∠=∠+∠=∠+∠，
3QME MFG y ∴∠=∠=，
BEM QME MQE ∠=∠+∠，
33180x y α∴-=︒-， 1603
x y α∴-=︒-， 1603
H α∴∠=︒-． 【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，作出平行线，利用参数解决问题是解题的关键．
25．（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=∠α−∠β
【分析】
（1）过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，根据题意得出AD ∥PE ∥BC ，从而利用平行线性质可知α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，据此进一步证明即可；
（2）根据题意分当点P 在A 、M 两点之间时以及当点P 在B 、O 两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.
【详解】
（1）∠CPD=αβ∠+∠，理由如下：
如图3，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，
∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，
∴AD ∥PE ∥BC ，
∴α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，
∴∠CPD=∠DPE +∠CPE=αβ∠+∠；
（2）①当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=βα∠-∠，理由如下：
如图4，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，
∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，
∴AD ∥PE ∥BC ，
∴α∠=∠EPD ，β∠=∠CPE ，
∴∠CPD=∠CPE −∠EPD=βα∠-∠；
②当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=αβ∠-∠，理由如下：
如图5，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，
∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，
∴AD ∥PE ∥BC ，
∴α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，
∴∠CPD=∠DPE −∠CPE=αβ∠-∠，
综上所述，当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=∠α−∠β.
【点睛】
本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
26．(1) 150°；(2) ∠OCD+∠BO'E=240°；(3) 30°+12
α．
【分析】
（1）先求出到∠AOE 的度数，再根据直角、周角的定义即可求解；
（2）过O 点作OF//CD ，根据平行线的判定和性质可得∠OCD 、∠BO'E 的数量关系； （3）根据四边形内角和为360°，再结合（2）的结论以及角平分线的定义即可解答．
【详解】
解：（1）∵CD//OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-90°-120°=150°；
（2）如图2，过O点作OF//CD，
∴CD//OE，
∴OF∥OE，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-（∠OCD+∠BO'E）=120°，∴∠OCD+∠BO'E=240°；
（3）∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCP=1
2
∠OCD，
∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP
=150°-1
2
∠OCD
=150°-1
2
（240°-∠BO'E）
=30°+1 2α
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质、周角的定义、角平分线的定义，确定∠OCD、∠B0'E的数量关系是解答本题的关键．
27．（1）=；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据平行线间的距离处处相等，所以无论点C P
、在m上移动到何位置，总有ABC与ABP
△同底等高，因此它们的面积相等；
（2）利用同底等高的三角形的面积相等即可求得设计方案；
（3）连结AC，过B点作AC的平行线PQ，连结AQ或CP，则AQ或CP即为所修直路．
【详解】
（1）∵ABC与ABP
△有共同的边AB，
又∵//m n ，
∴ABC 与ABP △的高相等，即ABC 与ABP △同底等高，
∴ABC S =ABP S △，
故答案为：=；
（2）方法一：
连结AC ，将ACD 的区域用于种植大豆，ABC 的区域用于种植芝麻，理由如下： 在梯形ABCD 中,//AD BC ，
则ACE △与ABE △同底等高，
∴ACE ABE S S =△△，
∴ABE ECD ACE ECD S S S S +=+△△△△，
即ACD ABE ECD S S S =+△△△，
又由//AD BC 可知ABC 与EBC 同底等高，
∴=B ABC E C S S ，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
方法二
连结BD ，将ABD △的区域用于种植大豆，BCD 的区域用于种植芝麻，理由如下： 在梯形ABCD 中,//AD BC ，
则BED 与CED 同底等高，
∴=BED CED S
S ， ∴+=+ABE CED ABE BED S
S S S ， 即=+ABD ABE CED S S S ，
又由//AD BC 可知BCD 与BCE 同底等高，
∴BCD BCE S S =△△，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
（3）方法一
连结AC ，过B 点作AC 的平行线PQ ：连结AQ ，AQ 即为所修直路．
将四边形ADEQ 的区域分给王爷爷，四边形AGFQ 的区域分给李爷爷，理由如下： ∵//PQ AC ，则BCQ △与ABQ △同底等高，
∴BCQ ABQ S S =△△，则ABP BCQ ABP ABQ S S S S +=+△△△△，
即APQ ABP BCQ S S S =+△△△，
又由//PQ AC 可知ABC 与ACQ 同底等高，
∴ABC ACQ S S =△△，
∴AQ 满足修路方案；
方法二：
连结AC ，过B 点作AC 的平行线PQ ：连结PC ，PC 即为所修直路．
将四边形CEDP 的区域分给王爷爷，四边形CPGF 的区域分给李爷爷，理由如下： ∵//PQ AC ，则ABP △与PBC 同底等高，
∴ABP PBC S S =△△，则ABP BCQ PBC BCQ S S S S +=+△△△△，
即=+CPQ ABP BCQ S S S ，
又由//PQ AC 可知ABC 与ACP △同底等高，
∴ABC ACP S S =△△，
∴PC 满足修路方案．
【点睛】
本题主要考查了两条平行线间的距离处处相等．只要两个三角形是同底等高的，则两个三角形的面积一定相等．解题的关键还要根据等式的性质进一步进行变形．
28．（1）∠A +∠C +∠APC ＝360°，证明详见解析；（2）∠APC ＝∠A −∠C ，证明详见解析；（3）55°．
【分析】
（1）首先过点P 作PQ ∥AB ，结合题意得出AB ∥PQ ∥CD ，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC ＝360°；
（2）作PQ ∥AB ，结合题意得出AB ∥PQ ∥CD ，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC ＝∠A −∠C ；
（3）由（2）知，∠APC ＝∠PAB −∠PCD ，先利用平行线性质得出∠BEF ＝∠PQB ＝110°，
然后进一步得出∠PEG＝1
2
∠FEG，∠GEH＝
1
2
∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即
可得出答案．
【详解】
（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝1
2
∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝1
2
∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH
＝1
2
∠FEG−
1
2
∠BEG
＝1
2
∠BEF
＝55°．
【点睛】
本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.。