【全国重点校】高三上学期期末考试数学(文)试题含解析

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期末考试
高三文科数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
相关公式：
独立性检验有关数据：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合,,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：因,故,应选C.
考点：集合的交集运算.
2.复数等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，故选A．
考点：复数的运算．
3.若非零向量,满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
依题意有，由于两个向量的模相等，故上式化简得.
4.已知，则的值为（）
A. B. 或 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由，先求出，然后代入求解即可。

【详解】由，可得，，解得，，
所以，，
则.
故答案为A.
【点睛】本题考查了有关三角函数的求值计算，属于基础题。

5.设x,y满足( )
A. 有最小值2，最大值3
B. 有最小值2，无最大值
C. 有最大值3，无最小值
D. 既无最小值，也无最大值
【答案】B
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点处取得最小值为,无最大值.
考点：线性规划.
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6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A. B. C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
先由三视图还原该几何体，然后求出其表面积即可。

【详解】由三视图可知，原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥（如下图），三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，高为2，三棱锥的底面为，，可求出等
腰三角形的面积为2，该几何体的表面积为=，
故答案为C.
【点睛】本题考查了空间几何体的三视图问题，属于中档题。

7.下面的程序框图表示求式子×××××的值, 则判断框内可以填的条件为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知该程序运行过程中，时，判断框成立，时，判断框不成立，即可选出答案。

【详解】根据题意可知程序运行如下：，；
判断框成立，，；
判断框成立，，；
判断框成立，，；
判断框成立，，；
判断框成立，，；
判断框成立，，；
判断框不成立，输出.
只有B满足题意，故答案为B.
【点睛】本题考查了程序框图，属于基础题。

8.若函数同时满足下列三个性质: ①最小正周期为; ②图像关于直线对称; ③在区间
上是增函数，则的解析式可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
利用排除法，由条件①排除B，由条件②排除C，由条件③排除D，故选A
9.已知等比数列满足，且，则当时，
( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题中条件求出数列的通项公式，然后代入对数式中计算即可。

【详解】由题意，当时，，当时，，联立，解得，
，所以，
则，
所以.
故答案为D.
【点睛】本题主要考查等比数列的性质，及对数的运算法则，属于中档题。

10.若直线与圆相切，且为锐角，则该直线的斜率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知，圆心（1，1）到直线的距离为1，用点到直线的距离公式计算即可求出，即可得到答案。

【详解】由题意知，圆心（1，1）到直线的距离为1，
则，
所以或者，
当时，，=1，
当时，不可能成立，故舍去。

故答案为A.
【点睛】本题考查了直线与圆相切的应用，属于基础题。

11.若是双曲线和圆的一个交点，
且,，其中是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由，可知圆一定经过双曲线的两个焦点，可以求出，
，及，，进而可以求出双曲线的离心率。

【详解】因为，所以圆一定经过双曲线的两个焦点，
可知，，
则，，，
故双曲线的离心率为：.
故答案为D.
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，及双曲线的性质，属于基础题。

12.定义域为的函数，若关于的方程,恰有5个不同的实数解，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合函数的图象，及一元二次方程最多两个解，可知是方程的一个解，另外四个解两两关于直线对称，可知，即可求出答案。

【详解】一元二次方程最多两个解，当时，方程至多四个解，不满足题意，当是方程的一个解时，才有可能5个解，
结合图象性质，可知，
即.
故答案为C.
【点睛】本题考查了一元二次方程解的情况，
及含绝对值函数的图象性质，属于中档题。

第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知，则数列的通项公式为_________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据，可知，进而知道，即可求出数列的通项公式。

【详解】由题意知，，令，则，所以，即，所以. 【点睛】本题考查了数列的通项公式及其求解方法，属于中档题。

14.已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若
的保值区间是，则的值为____________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
由题意知，函数的定义域和值域都是，结合函数的单调性可知的最小值为，即可得到答案。

【详解】由题意知函数的定义域和值域都是，
因为函数和函数在区间都是单调递增函数，
所以函数在区间是单调递增函数，
则的最小值为，
所以当时，满足题意，
即.
【点睛】本题考查了函数的单调性及函数的值域，属于基础题。

15.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且,则该三棱锥的外接球的体积为_．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知该三棱锥的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，求解即可。

【详解】由题意知，三棱锥的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，
故，解得，
所以外接球的体积为.
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，关键在于转化为正方体的外接球问题，属于基础题。

16.有如下四个命题：
①甲乙两组数据分别为甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙：
29,34,35,48,42,46,55,53,55,67.则甲乙的中位数分别为45和44.
②相关系数，表明两个变量的相关性较弱.
③若由一个22列联表中的数据计算得的观测值,那么有95%的把握认为两个变量有关.
④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相
应于数据的残差是指.
以上命题“错误”的序号是_________________
【答案】②
【解析】
【分析】
利用中位数、相关系数、的观测值、残差分析的相关知识逐个分析即可。

【详解】①由甲的数据可知它的中位数为45，乙的中位数为，故正确；
②相关系数时，两个变量有很强的相关性，故②错误；
③由于的观测值，满足，故有95%的把握认为两个变量有关，所以
③正确；
④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据的残差是指，是正确的。

故答案为②.
【点睛】本题考查了中位数、相关系数、的观测值、残差分析，属于基础题。

三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.在中，角所对的边分别为，且满足，．
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）若，求的值．
【答案】（1）（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用二倍角公式由已知可得；根据向量的数量积运算，由
得，再由三角形面积公式去求的面积．（2）由（1）知，又，解方程组可得或，再由余弦定理去求的值．
试题解析：（1）因为，所以
又，所以，由，得，所以
故的面积
（2）由，且得或
由余弦定理得，故
考点：（1）二倍角公式及同角三角函数基本关系式；（2）余弦定理．
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18.某校高三文科名学生参加了月份的高考模拟考试，学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况，从名学生中抽取名学生的成绩进行统计分析，抽出的名学生的地理、历史成绩如下表：
若历史成绩在[80,100]区间的占30%，
（1）求的值；
（2）请根据上面抽出的名学生地理、历史成绩，填写下面地理、历史成绩的频数分布表：
根据频数分布表中的数据估计历史和地理的平均成绩及方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表），并估计哪个学科成绩更稳定.
【答案】（1）m=13，n=22；（2）地理学科的成绩更稳定.
【解析】
【分析】
（1）历史成绩在[80,100]在区间占30%，可以求出m的值，进而求出n的值；（2）由题中数据求出地理和历史的平均成绩及方差，从而得到地理学科成绩更稳定。

【详解】（1）∵由历史成绩在[80,100]区间的占30%，∴，得，∴.
（2）可得：
，
，
，
，
从以上计算数据来看，地理学科的成绩更稳定.
【点睛】本题考查了数据的平均数及方差的计算，属于基础题。

19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.
（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为•S△A1DE•CD，运算求得结果
试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，
连结DF，则BC1∥DF． 3分
因为DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分
所以BC1∥平面A1CD． 5分
（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1． 8分
由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1． 12分
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积
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20.设、分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值与最小值.
（2）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，使得？若存在，求直
线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）最小值3，最大值4；（2）不存在
【解析】
试题分析：（1）将数量积转化为坐标表示，利用坐标的有界性求出最值；（2）设出直线方程，根据|F2C|＝|F2D|，可知F2在弦CD的中垂线上，利用中点和斜率关系，写出中垂线方程，代入F2点即可判断.或者根据焦半径公式判断更为简洁.
试题解析：（1）易知a＝，b＝2，c＝1，∴F1（－1，0），F2（1，0）
设P（x，y），则
＝（－1－x，－y）·（1－x，－y）
＝x2＋y2－1
＝x2＋4－x2－1
＝x2＋3
∵x2∈[0，5]，
当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当x＝±，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4.
（2）法一、假设存在满足条件的直线l，易知点A（5，0）在椭圆外部，当直线斜率不存在时，直线l与椭圆无交点.
所以满足条件的直线斜率存在，设为k
则直线方程为y＝k（x－5）
由方程组
得：（5k2＋4）x2－50k2x＋125k2－20＝0
依题意，△＝20（16－80k2）＞0
得：
当时，设交点为C（x1，y1），D（x2，y2），CD中点为R（x0，y0）
则x1＋x2＝，x0＝
∴y0＝k（x0－5）＝k（－5）＝
又|F2C|＝|F2D|，有F2R⊥l，即＝－1
即＝－1
即20k2＝20k2－4，
该等式不成立，所以满足条件的直线l不存在.
法二、设交点为C（x1，y1），D（x2，y2），
设它们到右准线x＝的距离分别为d1、d2，
根据椭圆第二定义，有
因为|F2C|＝|F2D|，故d1＝d2，于是x1＝x2，
于是CD所在直线l⊥x轴
又直线l经过A（5，0）点，于是l的方程为x＝5
但x＝5与椭圆无公共点，所以，满足条件的直线不存在.
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积，最值，存在性问题
21.设函数，已知曲线在点处的切线与直垂直. （1）求的值；
（2）求函数的极值点.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，由曲线在点处的切线与直垂直，可知，即可求出；（2）求导，然后分类讨论，确定单调性，进而可以求出极值点。

【详解】（1）由题意知，，，解得.
（2）函数，定义域为，
则，令，，
则，
①当时，，有，即，所以在区间上单调递减，故函数在区间上无极值点；
②当时，，令，有，，，
当时，，即，得在上递减，
当时，，即，得在上递增，
当时，，即，得在上递减，
此时有一个极小值点为，有一个极大值点为.
③当时，，令，有，，
当时，，即，得在上递增，
当时，，即，得在上递减，
此时有唯一的极大值点为.
综上可知，当时，函数有一个极小值点为，有一个极大值点为
；
当时，函数在区间上无极值点；
当时，函数有唯一的极大值点为，无极小值点.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线，及导数的综合应用，属于难题。

请考生在题22,23中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线过点，倾斜角为．
（1）写出直线的参数方程，及当时，直线的极坐标方程.
（2）已知从极点作直线与直线相交于点，在上取一点，使，求点的极坐标方程.
【答案】（1）（为参数），：；（2）（）.
【解析】
【分析】
（1）直线过点，倾斜角为，可以直接写出参数方程，当时，方程为，直接写出极坐标方程即可；（2）设点，，由，可知（），由点满足，可得（）.
【详解】（1）由题意得，（为参数），（为参数）的极坐标方程为
；
（2）设点，，，，，
由于可知（），
故的极坐标方程为（）.
【点睛】本题考查了直线的参数方程、极坐标方程，考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，及求轨迹的方法，属于中档题。

23.选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若 |的解集包含，求的取值范围.
【答案】（1）或;（2）.
【解析】
试题分析：（1）当a=-3时，根据分段函数的特点，即可求出f（x）³3的解集；（2）f（x）£|x-4|Û|x-4|-|x-2|³|x+a|．当xÎ[1,2]时，|x-4|-|x-2|³|x+a|Û-2-a£x£2-a,可求出满足条件的a的取值范围．
试题解析：（1）当a=-3时，
当x£2时，由f（x）³3得-2x+5³3,解得：x£1
当2<x<3时，f（x）³3无解；
当x³3时，由f（x）³3得2x-5³3，解得x³4；
所以f（x）³3的解集为{x|x£1}∪{x|x³4} 5分
（2）f（x）£|x-4|Û|x-4|-|x-2|³|x+a|．
当xÎ[1,2]时，|x-4|-|x-2|³|x+a|Û（4-x）-（2-x）³|x+a|Û -2-a£x£2-a
由条件得：-2-a£1且2-a³2,即-3£a£0
故满足条件的a的取值范围为[-3，0] 10分．
考点：绝对值函数．。