2020-2021中考数学二模试题分类汇编——圆的综合综合及答案解析

2020-2021中考数学二模试题分类汇编——圆的综合综合及答案解析
一、圆的综合
1．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．
（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；
（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；
（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．
【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8
.
【解析】（1）解：连接AM、BM，
∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点
∴AM＝BM＝PM=QM= 1
2 PQ，
∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，
∵AM＝BM
∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5
∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5
则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，
当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，
HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x
由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝2
∴点Q的坐标为（2，9）
（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）
∴M1M2＝9
2
－3＝
3
2
， Q1Q2＝6－4＝2
线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1
其面积为：1
2
×(
3
2
＋2)×4.5＝
63
8
.
【解析】
【分析】
根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题.
【详解】
（1）解：连接AM、BM，
∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点
∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，
∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，
∵AM＝BM
∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5
∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5
则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，
当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，
HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x
由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3
∴点Q的坐标为（3 ，9）
（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）
∴M1M2＝－3＝， Q1Q2＝6－4＝2
线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1
其面积为：×( ＋2)×4.5＝.
【点睛】
本题主要考查学生根据题意能找到三角形APQ 和三角形BPQ 都是直角三角形，而且考验学生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键.
2．四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，且 AE ＝EC ，BE ＝ED ，以 AD 为直径的半圆过点 E ，圆心 为 O ．
（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；
（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F ，且直径 AD ＝6，求弧AE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）π2
【解析】
试题分析：（1）先判断出四边形ABCD 是平行四边形，再判断出AC ⊥BD 即可得出结论； （2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．
试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；
（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且1
32
OF AD =
=，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3． 在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =
CG CD =1
2
，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°．
连接OE，则∠AOE=2×∠ADE=30°，∴¶303
1802 AE
ππ
⋅⨯
==．
点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD
，∶DE=4∶1，求DE的长．
【答案】(1)见解析5
【解析】
分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；
（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．
详解：（1）连接OD．
∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．
又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．
（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴¶AB=¶BC，∴BC=AB2．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．
又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，
∴△ADC～△ACE，∴AC
AD =
AE
AC
，∴AC2=AD•AE．
设DE 为x ，由AD ：DE =4：1，∴AD =4x ，AE =5x ， ∴100=4x •5x ，∴x =5，∴DE =5．
点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC 2=AD •AE 是解题的关键．
4．如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ． （1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由； （2）若半圆O 的半径为6，求¶AC 的长．
【答案】（1）直线CE 与半圆O 相切（2）4π 【解析】
试题分析：（1）结论：DE 是⊙O 的切线．首先证明△ABO ，△BCO 都是等边三角形，再证明四边形BDCG 是矩形，即可解决问题；
（2）只要证明△OCF 是等边三角形即可解决问题，求AC 即可解决问题． 试题解析：（1）直线CE 与半圆O 相切，理由如下： ∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC. ∵∠D=90°，∴∠OCE=∠D=90°，即OC ⊥DE ， ∴直线CE 与半圆O 相切．
（2）由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF ， ∴△OCF 是等边三角形， ∴∠AOC=120° ∴¶AC 的长为
1206
180
π⨯⨯=4π.
5．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若AE＝4，tan∠ACD＝3
，求FC的长．
【答案】（1）见解析
【解析】
分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．
详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.
∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.
又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，
∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，
∴FC⊥OC，
∴FC是⊙O切线．
(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=
AE
43 tan ACE3
∠
==
设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.
在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，
即r2＝(r－4)2＋32，解得r＝8.
∴OE＝r－4＝4＝AE.
∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.
在Rt△FOC中，
∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，
∴OF＝2OC＝16，
∴FC22
OF OC83
-=.
点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．
6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC 交AC于点E，交PC于点F，连结AF．
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若AC ＝24，AF ＝15，求sin B ．
【答案】(1) AF 与⊙O 相切 理由见解析；（2）35
【解析】
试题分析：（1）连接OC ，先证∠OCF =90°，再证明△OAF ≌△OCF ，得出∠OAF =∠OCF =90°即可；
（2）先求出AE 、EF ，再证明△OAE ∽△AFE ，得出比例式OA AE
AF EF
=，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论． 试题解析：解：（1）AF 与⊙O 相切．理由如下：
连接OC ．如图所示．∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∴∠OCF =90°．∵OF ∥BC ，∴∠B =∠AOF ，∠OCB =∠COF ．∵OB =OC ，∴∠B =∠OCB ，∴∠AOF =∠COF ．在△OAF 和△OCF 中，∵OA =OC ，∠AOF =∠COF ，OF =OF ，∴△OAF ≌△OCF （SAS ），∴∠OAF =∠OCF =90°，∴AF 与⊙O 相切；
（2）∵△OAF ≌△OCF ，∴∠OAE =∠COE ，∴OE ⊥AC ，AE =
1
2
AC =12，∴EF =2215129-=．∵∠OAF =90°，∴△OAE ∽△AFE ，∴OA AE AF EF =，即12
159
OA =，∴OA =20，∴AB =40，sin B =
243
405
AC AB ==．
点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．
7．已知P 是O e 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O e 于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1sin 3
P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O e 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝． （1）当m=6时，求线段CD 的长；
（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；
（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求
出此时n 的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)CD=25;(2)m=
2381
2n n
- ;(3) n 的值为955或9155 【解析】
分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt △POH ，得到Rt 3
m
OH OCH V ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．
在Rt △1
sin 63
POH P PO =Q 中，
＝，，∴2OH =． ∵AB ＝6，∴3OC ＝． 由勾股定理得： 5CH = ∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．
（2）在Rt △1
sin 3POH P PO m Q 中，
＝，＝，∴3
m OH ＝． 在Rt △OCH 中，2
293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝． 在Rt △1O CH 中，2
2
363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭＝．
可得： 22
36933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -：＝． （3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：
① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时
i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n -＝，解得9n ：＝． 即圆心距等于O e 、1O e 的半径的和，就有O e 、1O e 外切不合题意舍去． ii ）11O P OO ＝，由22233
m m n m -+-（）（） n ＝， 解得：23m n ＝，即23n 23812n n
-＝，解得9155n ：＝． ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 2
8132n m n
-＝． ∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n
-＝，解得955n ：＝． 综上所述：n 的值为955或9155
． 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．
8．如图，线段BC 所在的直线 是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆上一点，满足BD ＝BC ，且点C 、D 位于直径AB 的两侧，连接CD 交圆于点E . 点F 是BD 上一点，连接EF ，分别交AB 、BD 于点G 、H ，且EF ＝BD .
(1)求证：EF ∥BC ；
(2)若EH ＝4，HF ＝2，求»BE
的长.
【答案】(1)见解析；(2)
233π
【解析】
【分析】
（1）根据EF＝BD可得»EF＝»BD，进而得到»»
BE DF
=，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.
（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG，进而求出∠BDE的度数，确定»BE所对的圆心角的度数，根据∠DFH＝90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.
【详解】
(1)∵EF＝BD，
∴»EF＝»BD
∴»»
BE DF
=
∴∠D＝∠DEF
又BD＝BC，
∴∠D＝∠C，
∴∠DEF=∠C
EF∥BC
(2)∵AB是直径，BC为切线，
∴AB⊥BC
又EF∥BC，
∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,
GF＝GE＝1
2
(HF+EH)=3，HG=1
DB平分∠EDF，
又BF∥CD，
∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH ∴HB＝HF＝2
∴cos∠BHG＝HG
HB ＝
1
2
，∠BHG＝60°.
∴∠FDB＝∠BDE＝30°
∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝3BE所对圆心角＝60°.
∴弧BE＝1
63π＝
2
3
3π
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周
角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO 交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF，
（1）求证：OD＝OP；（2）求证：FE是⊙O的切线．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；
（3）连接AE，BE，证出△APE≌△AFE即可得出结论．
试题解析：（1）∵∠EPO=∠BDO=90°∠EOP=∠BOD
OE=OB
∴△OPE≌△ODB
∴OD="OP"
（2）连接EA，EB
∴∠1=∠EBC
∵AB是直径
∴∠AEB=∠C=90°
∴∠2+∠3=90°
∵∠3=∠DEB
∵∠BDE=90°
∴∠EBC+∠DEB=90°
∴∠2=∠EBC=∠1
∵∠C=90°∠BDE=90°
∴CF∥OE
∴∠ODP=∠AFP
∵OD=OP
∴∠ODP=∠OPD
∵∠OPD=∠APF
∴∠AFP=∠APF
∴AF=AP 又AE=AE
∴△APE≌△AFE
∴∠AFE=∠APE=90°
∴∠FED=90°
∴FE是⊙O的切线
考点：切线的判定．
10．在平面直角坐标系XOY中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称P、Q 互为“向善点”．如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图．已知点A的坐标为（1，
3），点B的坐标为（m，0）
（1）在点M（﹣1，0）、S（2，0）、T（3，33）中，与A点互为“向善点”的是
_____；
（2）若A、B互为“向善点”，求直线AB的解析式；
（3）⊙B的半径为3，若⊙B上有三个点与点A互为“向善点”，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）S，T．（2）直线AB的解析式为y3或y3x33）当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S，T与A点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m的分式方程，解之经检验后可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（3）分⊙B与直线3相切及⊙B与直线33相切两种情况求出m的值，再利用数形结合即可得出结论．
【详解】
（1）∵
30330
3tan60
1(1)221
︒
===
---
，
333
3tan60
31
︒
==
-
，
∴点S，T与A点互为“向善点”．故答案为S，T．
（230
3 -
=
解得：m1＝0，m2＝2，
经检验，m1＝0，m2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，∴点B的坐标为（0，0）或（2，0）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（1，），B（0，0）或（2，0）代入y＝kx+b，得：
3
k b
b
⎧+=
⎪
⎨
=
⎪⎩
或
3
20
k b
k b
⎧+=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，
解得：
3
k
b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
或
3
23
k
b
⎧=-
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴直线AB的解析式为y＝3x或y＝﹣3x+23．
（3）当⊙B与直线y＝3x相切时，过点B作BE⊥直线y＝3x于点E，如图2所示．
∵∠BOE＝60°，
∴sin60°＝3
2
BE
OB
=，
∴OB＝2，
∴m＝﹣2或m＝2；
当⊙B与直线y＝﹣3x+23相切时，过点B作BF⊥直线y＝﹣3x+23于点F，如图3所示．
同理，可求出m＝0或m＝4．
综上所述：当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B与直线3相切及⊙B与直线33相切两种情况考虑．
11．如图，⊙O的直径AB＝8，C为圆周上一点，AC＝4，过点C作⊙O的切线l，过点B 作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
【答案】（1）30°；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，根据圆周角定理得到∠AEC＝30°；（2）根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，则∠EAB＝30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBE C为平行四边形，再由OB ＝OC，即可判断四边形OBEC是菱形．
【详解】
（1）解：在△AOC中，AC＝4，
∵AO＝OC＝4，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AEC＝30°；
（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．
∴OC∥BD．
∴∠ABD＝∠AOC＝60°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．
∴∠EAB＝∠AEC．
∴CE∥OB，又∵CO∥EB
∴四边形OBEC为平行四边形．
又∵OB＝OC＝4．
∴四边形OBEC是菱形．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．
12．如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于
C 、
D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于点N ，连接AC 、CM ．
（1）求证：CM 2=MN.MA ；
（2）若∠P=30°，PC=2，求CM 的长．
【答案】（1）见解析；（2）CM=22. 【解析】
【分析】
（1）由··CM
DM =知CAM DCM ∠=∠，根∠CMA=∠NMC 据证ΔAMC ∽ΔCMN 即可得；
（2）连接OA 、DM ，由直角三角形PAO 中∠P=30°知()1122
OA PO PC CO =
=+，据此求得OA=OC=2，再证三角形CMD 是等腰直角三角形得CM 的长．
【详解】 （1）O Q e 中，M 点是半圆CD 的中点，
∴ ··CM
DM =， CAM DCM ∴∠=∠，
又CMA NMC ∠=∠Q ，
AMC CMN ∽∴∆∆，
∴ CM AM MN CM
=，即2·CM MN MA =； （2）连接OA 、DM ，
PA Q 是O e 的切线，
90PAO ∴∠=︒，
又30P ∠=︒Q ，
()1122
OA PO PC CO ∴==+， 设O e 的半径为r ，
2PC =Q ，
()122
r r ∴=+， 解得：2r =，
又CD Q 是直径，
90CMD ∴∠=︒，
CM DM =Q ，
CMD ∴∆是等腰直角三角形，
∴在Rt CMD ∆中，由勾股定理得222CM DM CD +=，即()2
22216CM r ==， 则28CM =， 22CM ∴=．
【点睛】
本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点
13．已知：如图，四边形ABCD 为菱形，△ABD 的外接圆⊙O 与CD 相切于点D ，交AC 于点E ．
（1）判断⊙O 与BC 的位置关系，并说明理由；
（2）若CE=2，求⊙O 的半径r ．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.
【解析】
试题分析：（1）根据切线的性质，可得∠ODC 的度数，根据菱形的性质，可得CD 与BC 的关系，根据SSS ，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC 的度数，根据切线的判定，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD ，根据三角形外角的性质，
∠COD=∠OAD+∠AOD ，根据直角三角形的性质，可得OC 与OD 的关系，根据等量代换，可得答案．
（1）⊙O 与BC 相切，理由如下
连接OD 、OB ，如图所示：
∵⊙O与CD相切于点D，
∴OD⊥CD，∠ODC=90°．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB．
∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，∵OD=OB，OC=OC，CB=CD，
∴△OBC≌△ODC．
∴∠OBC=∠ODC=90°，
又∵OB为半径，
∴⊙O与BC相切；
（2）∵AD=CD，
∴∠ACD=∠CAD．
∵AO=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠COD=∠OAD+∠AOD，
∠COD=2∠CAD．
∴∠COD=2∠ACD
又∵∠COD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=30°．
∴OD=1
2
OC，
即r=1
2
（r+2）．
∴r=2．
【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．
14．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共
点，记为点A，B，设
AQ BQ
k
CQ
+
=，则称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，特别
地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ，
2AQ
k
CQ
=（或
2BQ
CQ
）．
已知在平面直角坐标系xoy中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r．
（1）如图1，当2r =时， ①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值．
②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”．
（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，
①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．
②当3k =时，求r 的取值范围．
（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．
【答案】（1）2．②是；（2）①3k =
②r 的取值范围是12r <≤；（3）
333b -<． 【解析】
【分析】
（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQ k CQ =
计算即可解决问题；
②根据定义求出k 的值即可判断； （2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；
②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ =，推出
2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，可得当3k =3DQ =221CD CQ DQ -=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，因为点Q 早C e 外，推出r 的取值范围是12r <…； （3）如图4中，由（2）可知：当3k =12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<．
【详解】
（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．
由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=︒，即
11CA QA ⊥，1QA ∴是C e 的切线，122222QA k QC ∴===． ②Q 2(12,0)A +在C e 上，2212122
k -+++∴=
=，2A ∴是C e 的“2相关依附点”．
故答案为：2，是； （2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥．
(1,0)Q -Q ，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时
23MQ k CQ
==； ②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =Q ，
∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，∴当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，Q 点Q 早C e 外，r ∴的取值范围是12r <…．
（3）如图4中，由（2）可知：当3k =12r <…．
当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<<．
【点睛】
本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点
)B 是C e 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
15．已知：如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （23323
π- 【解析】 试题分析：（1）连接DO ，要证明DF 为⊙O 的切线只要证明∠FDP=90°即可；
（2）首先由已知可得到CD ，CF 的长，从而利用勾股定理可求得DF 的长；再连接OE ，求得CF ，EF 的长，从而利用S 直角梯形FDOE ﹣S 扇形OED 求得阴影部分的面积．
试题解析：
（1）证明：连接DO ．
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形．
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，
∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵△OAD是等边三角形，
∴AD=AO=AB=2．
∴CD=AC﹣AD=2．
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=CD=1．
∴DF=，
连接OE，则CE=2．
∴CF=1，
∴EF=1．
∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，
∴S扇形OED==，
∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．
【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．。