下凸函数两种定义等价性的一个证明

下凸函数两种定义等价性的一个证明
凸函数是一类特殊的函数，它们在多维空间中平滑稳定，是一类极具应
用价值的函数。

它们也有两种形式的定义，即强凸函数和弱凸函数，它们之
间的等价性最近也受到了许多研究者的关注。

下面我们就证明两种定义的等
价性，即强凸函数等价于弱凸函数。

首先，定义强凸函数，它的定义是比连续函数 f（x）的导数二阶偏导数在任何位的点 f'(x) 大于等于0；即f''(x)> = 0，表达形式如下：f（x）
在任何位置处都满足f''(x)> = 0，f（x）是强凸函数。

定义弱凸函数，它的定义是在连续函数 f（x）任意两点上，其回递
（f'(x2)-f'(x1)）大于等于0；即f'(x2) ≧f'(x1)，表达形式如下：f（x）在任意位置处都满足f'(x2) ≧f'(x1)，f（x）是弱凸函数。

证明它们的等价性，首先，使用反证法，设定一个不满足强凸函数定义
的f（x)，包含三点，第一点处的f''(x1) ≦0；第二点处的f''(x2) ≧0；第三点处的f''(x3) ≦0，其中x1<x2<x3，据此可以推出：f'（x）在x1
和x3处均满足f'（x）< f'（x2）int其两个点处，即f（x）不满足弱凸
函数定义；
反之，设定一个不满足弱凸函数定义的f（x)，包含三点，第一点处的
f'(x1) < f'（x2）；第二点处的f'(x2) ≦ f'（x3）；第三点处的
f'(x3) ≦ f'（x2）,其中x1<x2<x3，据此可以推出：f''（x）在x1 和x3
处均满足f''（x）< 0，int其两个点处，即f（x）不满足强凸函数定义。

从上面的定义可以看出，f（x）同时不满足强凸函数定义和弱凸函数定义，这也就证明了强凸函数等价于弱凸函数。

以上就是证明强凸函数等价于弱凸函数的过程，证明了这一定理后，未
来在研究凸函数时，只需要研究强凸函数的定义就可以了，而不用担心受到
其他定义的影响。