注重基础,强化试题的探究性,彰显学生后继学习的潜能

注重基础，强化试卷的探究性，彰显学生后继学习的潜能
——2018年中考数学试卷评析
今年数学试卷给人以耳目一新的感觉.试卷以学生的发展为本并关注学生的心理特征，题目立意新颖且起点较低，难度分布适宜有序，语言陈述准确规范，表达简洁醒目、图文制作精良，结构编排合理,在全面考查课程标准所规定的义务教育阶段的数学核心内容的基础上，注重考查学生能力水平和学习潜能，试卷重视双基, 将经典的传统题型与创新题型相结合, 加强了探究性问题的考查，关注对数学活动过程和活动经验的考查，改变了以往单纯考查学生对知识的死记硬背，减少了过于繁杂的计算与过难的几何论证试卷．b5E2RGbCAP
试卷之间相互间具有一定的校正随机测量误差功能．题目的选材既着眼于熟悉的题型和在此基础上的演变，又着眼于情景的创新，而且注意根据考查目标的差异采用不同的呈现方式，这都有利于考生稳定发挥其真实的数学水平，从而达到问题的设计与希望达到的考查目标相一致,这对于改善初中数学教案方式与学习方式有较好的导向作用。

p1EanqFDPw
试卷特点
一、严格遵循《课程标准》，紧扣《中考考试说明》
整个试卷的考查内容遵循了《数学课程标准》所规定要求，并兼顾了
我省现使用的不同版本的教材。

今年Array“活题”较多，所有试卷都依据《考试
说明》，但又不是照搬，而是在知识和
图5-1 图5-2
方法的交汇处进行有机的巧妙整合，推陈出新。

如，DXDiTa9E3d 例1．<原卷第12题）。

根据图5-1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图5-2．若点M是y轴正半轴上任一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P,Q,连接OP，OQ ．则以下结论：①x＜0时，．②△OPQ 的面积为定值．③x＞0时，y随x的增大而增大．④MQ=2PM．⑤∠POQ可以等于90°．RTCrpUDGiT
其中正确结论是：A．①②④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤评析本题小巧玲珑考法新颖，设计自然、背景清晰、明快。

本题依据《考试说明》的第37题和66题.两个反比例函数的解读式没有采用单纯的文字方式平铺直叙地给出，而是另辟蹊径，借助程序框图与图像的产生过程完美的衔接起来，这样设计使得问题的内涵更丰富，特别是⑤∠POQ可以等于90°的设计, 由点P的运动，导致∠POQ有一个从大变小的过程中，利用合情推理判断∠POQ=90°。

本题将反比例函数的解读式的确定、函数图像性质、推理、计算、想像、分析等综合在一起，思维含量高，信息量大，求解过程不长，运算量不大，很有“情理之中，意料之外”的意味，全面考查了学生的阅读理解和数学迁移能力，确保了题目具有较高的区分性和较好的效度．5PCzVD7HxA
二、今年题型改革给力，突出对教案的正导向功能
1．调整试卷内部分值的分布
在总分120不变的情况下，对试卷内部分值的分布进行了调整。

如选择题7—12题，每题增加了1分，由往年的2分调整为3分；解答题21—24题每题照比往年减少1分，综合题的25题照比往年减少2分，调整为
12分，目的是向基础知识部分倾斜分数，同时保证考生的得分率。

jLBHrnAILg
2．题目位置变化
为改变过去程式化试卷结构，今年的八个解答题的位置相对往年试卷变动更大。

如关于圆的探究题从每年的23题移到25题位置，更加注重学生自主探究能力的培养。

往年的直线型的证明题24题移到23题，相对的降低了证明题的难度。

xHAQX74J0X
3．考查的内容变化
今年围绕支撑着初中数学的核心内容，在规定的考查范围内对试卷进行了大胆改革。

如19题由每年考查分式知识，今年变成考查二元一次方程组和整式的求值化简问题，23题的正方形证明题中增加了尺规作图考查，这样会引导教师更加注重学生数学基本技能和素养的培养；24题的保鲜品运输问题实际整合了图表、一次函数图像、折线统计图的内容，有意识培养学生搜集、整理信息和运用信息的决策能力。

LDAYtRyKfE
4．试卷呈现形式简洁，减少无效的阅读量
今年整卷的文字量比去年减少了近500多字，题目表述语言简练,干净利索,
图1
而给考生留有更多的思考时间。

如:Zzz6ZB2Ltk
例2．<原卷第2题）如图1，∠1+∠2等于
A．60°B．90° C．110° D．180°
例3．<原卷第11题）如图4，在矩形中截取两
个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形
作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长与宽分别为y 和x ，则能反映y 与x 函数关系的大致图象是dvzfvkwMI1
特点试卷全面考查了学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度，内容涵盖了课程标准的全部一级知识点和主要的二级知识点，如数与式、方程与不等式、函数、角、相交线与平行线、三角形、四边形、圆、变换、坐标、证明、概率与统计等主要内容，通过选用恰当的数学知识，考查了数形结合思想、分类思想、化归思想、统计思想、随机思想，以及待定系数法、由特殊到一般的思想方法等初中主要的数学思想方法。

题目不偏不怪，注重通性通法，即使是作为压轴题的25<圆的旋转）、26题<抛物线的综合应用），涉及的知识也是基础的、常用的。

rqyn14ZNXI 例4．<原卷第1题）计算的结果是 A ．
3 B ．30 C ．1 D ．0 例5．<原卷第13题），π，-4，0，这四个数中最大的是。

例6．<原卷第19题）已知
是关于x ，y 的二元一次方程的解．
求的值
A B C D
图4
例7．<原卷第20题）如图10，在6×8网格图中，
每个小正方形边长均为1,点O 和△ABC 的顶点均为小
正方形的顶点. <1）以O 为位似中心，在网格图中
作△ABC 的位似△A′B′C′，使△ABC 和△A′B′C′的位似比为2︰1；EmxvxOtOco <2）连接<1）中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．
例8．<原卷第17题）如图8-1，两个等边
△ABD，△CBD 的边长均为1，将等边△ABD 沿
着AC 方向平移到△A'B'D'的位置，得到如图
8-2，则图中阴影部分的周长为．SixE2yXPq5例9．<原卷第6题）. 将图2-1围成图
2-2
2-1 中的红心“ ”标
志所在的正方形是正 方体中的6ewMyirQFL A ．面ABFG B ．面BCEF C ．面CDHE
D ．面ADHG
评析 第
1题考查的是零指数的概念；第13题考查的是实数的大小比较；第19题巧妙地利用了二元一次方程解的意义求代数式的值；第20题利用了网格，考查了位似图形的做法和勾股定理的应用；第17题利用两个全等的正三角形平移，形成新图形，通过转化的思想求阴影部分的周长；第17题考查了正方体的展开与折叠的空间观念。

kavU42VRUs 以上各题所考查的内容，知识覆盖面大，图形简洁，结论清晰，充分体现试卷的基础性，题目既相互独立，又相互联系，和谐统一，这种直接图10 C B 图8-1 图8-2 图2-2 G A E H
F B C D
考查基础知识与基本技能的考法有效提高了考查结果的效度和信度．y6v3ALoS89例10．<原卷第21题）．如图11，一
转盘被等分成三个扇形，上面分别标有－1，
1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘
后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数<若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形）．M2ub6vSTnP <1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；
<2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法<或画树状图）求两人“不谋而合”的概率．0YujCfmUCw 评析 通过转盘游戏的情境寻求较为综合地查学生的概率意识和概率应用的能力。

本题适当和有理数的知识相结合，但题目注意了对试卷难度的有效控制，避免了因为综合程度太高而影响对概率<意识以及概率计算和应用能力）的本身的考查。

这样的试卷具有良好的效度和可推广性。

eUts8ZQVRd 四.传统的经典题型被赋予新的视角,关注模型化思想的本质
在注重试卷创新的同时，我省对诸如列方程解应用题和尺规作图这些传统的经典的内容作了重点考查。

工程问题的解题思路和过程具有相同的模式化特征，都可以用工作量=
工作时间×工作效率这一数学模型表示。

用尺小小宇 图
11
规作图作正方形,也是根据正方形的定义,利用到定点的距离等于定长这个模型.sQsAEJkW5T 例11．<原卷第22题）甲、乙两人准备整理一批新到图书．若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟，恰好完工． GMsIasNXkA (1>求乙单独整理多少分钟完工；
(2> 若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工．
例12．<原卷第23题）如图12，四边形ABCD 是正方
形，E ，K 分别在BC ，AB 上，G 在BA 的延长线上，且
CE=BK=AG ．TIrRGchYzg <1）求证： ①DE = DG，②DE⊥DG； <2）尺规作图：以DE ，DG 为边作出正方形DEFG<要求：只
保留作图痕迹，不写作法和证明）； <3）连接<2）中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
<4）当=时，请直接写出的值．
评析 第23题以学生最熟悉的图形－正方形为基础，融尺规作图、推理论证、计算于一身，综合运用正方形的性质、全等三角形的判定、平行
四边形的判定、勾股定理和相似三角形的性质等知识，采用分层递进的方D
C
图12
式进行全面的探究，使得问题的层次感强，这种基于问题需要的，采用题型混合设计形式，增强了题目的效度和区分度．7EqZcWLZNX 五.注重试卷的探究性，关注数学活动过程的考查,倡导研究性学习 试卷通过设置观察、操作、探究、应用等方面的问题，给学生提供了一定的思考研究空间，较好地考查了学生在数学思考能力和数学活动过程等方面的数学素养，力求通过不同层次、不同角度和不同视点的设问，实现对数学思想方法不同程度的考查，考查学生能否独立思考、能否从数学的角度去发现和提出问题，并加以探索研究和解决，体现了数学课程标准所倡导的学习方式和教案方式。

lzq7IGf02E 例13．<原卷第25题）
如图14-1至图14-4中，两平行线AB ，CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点.
思考zvpgeqJ1hk 如图14-1，圆心为O 的半圆形纸片在AB ，CD 之
间<包括AB ，CD ），其直径MN 在AB 上，MN = 8
为半圆上一点，设∠MOP =.
当=度时，点P 到CD 的距离最小，最小值
为.
探究一 在图14-1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB
图14-2，得到最大旋转角∠BMO =度，此时点N 到CD
B A
C B A C
图14-1 B A C D
图14-3 B A C
图14-4
的距离是.
探究二
将图14-1中的扇形纸片NOP 按下面对的要求剪掉，使
扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转.
<1）如图14-3，当=60°时，求在旋转过程中，点P到
CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；
<2）如图14-4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保
证点P能落在直线CD 上，请确定的取值范围.
(参考数据：sin49°=，cos41°=，tan37°=.>评析本题以学生熟悉的生活中的半圆在限定空间旋转问题来构思为原型，是课题学习领域考查的一种有益尝试，通过观察对直观图形由简单到复杂的变化过程，大大减少了文字量，降低了对学生文字阅读能力的要求。

题目发掘并串联了点与线的位置关系、点与圆的位置关系<或数量关系）、切线的判定等圆中的重要内容，突出了圆在实际生活中的作用，深刻考查了解直角三角形问题、垂径定理和圆心角、分类讨论等问题，本题带有浓郁的探究成份，是数与形的有机结合，打破了以往程式化的设问方式，要完成本题学生需要有较强的学习、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力。

所以，这类试卷多有较好的区分度。

NrpoJac3v1
例14．<原卷第18题）．如图9，给正五边形的顶点依次编号为 1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向
一次“移位”． 1nowfTG4KI
图9
如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”． 若小宇从编号为2的顶点开始，第 10次“移fjnFLDa5Zo 位“后，则他所处顶点的编号是．
评析 通过新定义的“移位”，将变换的规律<四次变换为一周期）隐含在题目中，考查考生空间观念、阅读理解能力及数学迁移能力。

由于“移位”的规律性及学生的已有经验，本题能很好地激发学生探求的欲望，命题者深刻地把握了这一精神实质，独具匠心地设计出了一道新而不怪、新而不偏的考查空间想象与逻辑分析的好题。

tfnNhnE6e5六．试卷呈现形式突破常规，实现常考常新、不落俗套
试卷的设计体现了设计弹性试卷的努力，这种努力有助于从提高效度的策略出发，强化数学中考的信度，给人以耳目一新的感觉，能启发人们如何突破常规实现常考常新、不落俗套，引导如何教案。

HbmVN777sL 例15．<原卷第24题）已知A 、B 两地的路程为240千M ．某经销商每天都要汽车或火车将x<吨）的保鲜品一次性由A 地运往B 地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种运输工具进行运输，且须提前预订．现有货运收费工程及收费标准表、行驶路程t<
时）的函数图象(如图13-1>、上周货运量折线统计图等信息
如下：V7l4jRB8Hs
货运收费工程及收费标准表 运输工具 运输费单价 元/<吨·千M ） 冷藏费单价元/< 固定费用<次/元） 汽车
火车 5 200
2 1.6 5 2280 t <
图13-1
火车的速度为千M/时；
<2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y 汽
<元）和y 火<元），分别求y 汽，y 火与x 的函 数关系式<不必写出x 的取值范围；总费用 =运输费＋冷藏费＋其它费用），并指出x 为 何值时，y 汽＞y 火；
<3）请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省? mZkklkzaaP
评析 本题是函数中“方案设计”与统计决策问题的整合，原型是《学科说明》中的题型示例的第19
和17及34题的整合，但试卷在呈现方式上做出了创新。

试卷贴近社会经济的运输费用问题，使考生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”，又返回来指导生活”的价值”．题目设计为循序渐进的三问，设问入手简单，前两问是学生常见、常练的题型，入口容易．然后问题难度逐渐增大，最后一问在较深层次知识交汇点运量为20吨上设计问题，挖掘了方程的解与平均数间的奇妙的联系。

题目将读图、释图、一次函数图象、函数性质、不等式折线统计图及待定系数法、数形结合思想、转化思想等核心内容有机的融合在一起，这样设计体现了《课标》的“问题情景—建立模型—解释、应用和拓展”的数学学习模式．AVktR43bpw 事实上，在多数情况下，解这类问题要以“方程和不
等式” 作为解决问题的工具，且由于题中含有由“不确
定”中找确定的因素，所以关联了方程与不等式等数学模
图15
型的建立与应用．一般地，确定一个量的值的问题基本上都可以转化为方程问题，而要确定一个量的范围的问题，往往要转化为不等式的问题． ORjBnOwcEd
七．压轴题的厚重度设计适当，关注彰显学生后继学习的潜能
试卷注意到数学学业考试的目的和性质，精心设置压轴题，综合考查学生的各种数学能力，区分不同的数学学习水平，为高一级学校的选拔创造一定的条件。

作为压轴题的第26题，以运动变化的抛物线为背景设计问题，探索性和综合性强，形式新颖，设问层次强，综合程度高，有较好的区分度2MiJTy0dTT
例16．<原卷第26题）如图15，在直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒<t＞0），抛物线y=x2＋bx ＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A<1，0），B<1，－5），D<4，0）．gIiSpiue7A
<1）求b，c<可用含t的代数式表示）；<2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD 交于点M，N．uEh0U1Yfmh
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=；
<3）在矩形ABCD的内部<不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点” 分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围IAg9qLsgBX
评析本题是以开口向上大小固定、且恒过原点的动态抛物线与动点P 主相融合的探究性综合题。

以点与曲线的双移动为背景，把动点和变换引进坐标系中，增加了题目的探究性。

将待定系数法、一元二次方程的求解与判断、几何图形中的数量关系建立函数、推理探索、数形结合思想、转化思想、分类讨论的思想等等多个知识相综合， WwghWvVhPE 设问中的三个问题,入手简单，步步推进、层次清晰，特别是最后一问平分“好点”问题，融入合情推理以及函数的增减性，动手观察运动的抛物线的特殊情形，依据曲线变化的连续性<即由量变到质变的辩证性）等考查了学生对结论作出判断的能力，在较深层次知识交汇点上设计问题，挖掘了“数”与“形”的奇妙的联系，突出了中考试卷的思考性和延伸性。

从而使题目在考查学生思维的灵活性、广阔性方面具有较高的区分度。

asfpsfpi4k
2018年河北省中考数学试卷厚重度关注工程统计表
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。