2019年福建省泉州市高2019届高2016级文科数学一模试题及详细解析

2019年福建省泉州市高2016级数学一模文科数学试题及详解析
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合{0A =,1,2},{|21B x x n ==-,}n A ∈,则A B 中元素的个数为( )
A.1
B.3
C.4
D.5
2.(5分)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若424S =,1310a a +=,则7(a = ) A.152
B.
253
C.15
D.18
3.(5分)“微信”和“QQ ”是腾讯社交体系中的两款产品,小明为了解不同群体对这两款产品的首选情况,统计了周围老师和同学关于首选“微信”或“QQ ”的比例,得到如图等高条形图.根据等高条形图中的信息,可判断下列说法正确的是( )
A.对老师而言,更倾向于首选“微信”
B.对学生而言,更倾向于首选“QQ ”
C.首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多
D.如果首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多,则小明统计的老师人数一定比学生多
4.(5分)若向量1(2AB =,(1,0)BC =-,则(BAC ∠= )
A.30︒
B.60︒
C.120︒
D.150︒
5.(5分)已知双曲线222:1(0)x C y a a
-=>的渐近线方程为1
2y x =±,则C 的焦距为( )
A.2
B.
C.
D.6
6.(5分)若x ,y 满足约束条件20350240x y x y x y --⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
……
…,则2z x y =-的最小值为( ) A.3- B.32
-
C.0
D.2
7.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出1
3
S =,则判断框内可以填入( )
A.4i <
B.7i <
C.8i <
D.9i <
8.(5分)已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上,3BC =.若球心O 在三棱锥的高AQ 的三等分点处,则球O 的半径为( )
B.2
C.3
D.4
9.(5分)若直线1y kx =-为函数()f x lnx a =-的图象的一条切线,则k a +的最小值为( ) A.2-
B.1-
C.1
D.2
10.(5分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,1121n n n n
S a
a S ++=-,则10(S = )
A.1022
B.1024
C.2046
D.2048
11.(5分)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例.故事中齐将田忌与齐王赛马,孙膑献策以下马对齐王上马,以上马对齐王中马,以中马对齐王下马,结果田忌一负两胜从而获胜.该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律,在比大小游戏中(大者为胜),已知我方的三个数为cos a θ=,sin cos b θθ=+,cos sin c θθ=-,对方的三个数以及排序如表：
当04
π
θ<<
时,则我方必胜的排序是( )
A.a ,b ,c
B.b ,c ,a
C.c ,a ,b
D.c ,b ,a
12.(5分)在直角坐标系xOy 中,点F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点,过C 上的点A 作准线l 的垂线交l 于B ,过A 作FB 的垂线交FB 于D ,若||OD p =,则直线AF 的斜率为( )
A.12
±
B.34
±
C.1±
D.43
±
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(5分)已知复数2019(1)z i i =-,则||z = .
14.(5分)设函数2,1()1,11
log x x f x x x ⎧⎪
=⎨<⎪-⎩…
,则满足()1f x <的x 的取值范围是 .
15.(5分)在长方体1111ABCD A B C D -中,22AB BC ==,直线1DC 与平面ABCD 所成的角为45︒,则异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值为 .
16.(5分)已知函数1,0()4sin ,01(1),1x x x f x x x af x x π⎧--<⎪⎪
=<⎨⎪-⎪⎩
……,若函数()()2g x f x =-的所有零点之和为3,则a 的
取值范围为 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分. 17.(12分)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知5b =,()sin 2sin()a b A b A C +=+. (1)证明：ABC ∆为等腰三角形；
(2)点D 在边AB 上,2AD BD =
,CD =求AB .
18.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面A B C D 是边长为2的正方形
,PA PD =
PB PC == (1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；
(2)若点E 为线段PA 的中点,求E 到平面PBC 的距离.
19.(12分)在直角坐标系xOy中,圆22
:4
O x y
+=与y轴正、负半轴分别交于点A,B.椭圆Γ以
AB为短轴,
.
(1)求Γ的方程；
(2)过点A的直线l分别与圆O,曲线Γ交于点M,N(异于点)A.直线BM,BN分别与x轴交
于点C,D.若||||
NC ND
=,求l的方程.
20.(12分)鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢,还深受外来游客的赞赏.小张从事鱼
卷生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店的客户.当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购.小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在[100,200)的客户称为“熟客”,并把他们去年采购的数量绘制成如表：
(1)根据表中的数据,在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图,并估计采购数在168箱
以上(含168箱)的“熟客”人数；
(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的5
8
,估算小张去年年
底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,决定今年年底是否在网上出售鱼卷,
若没有在网上出售鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为20元,预计销售量与去年持平；
若计划在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调2至5元,且每下调m元(25)
m
剟销售量可增加100m箱,求小张在今年年底收入Y(单位：元)的最大值.
21.(12分)已知函数22
()
f x a x ax lnx
=--.
(1)讨论()
f x的单调性；
(2)若()
f x有两个大于1的零点,求a的取值范围.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线:l y kx
=的倾斜角为α,曲线22
:(1)(1)8
C x y
-+-=.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求l和C的极坐标方程；
(2)若l与C交于A,B两点,求||||||
AO BO
-的取值范围.
[选修4-5：不等式选讲](10分)
23.已知函数()|1||3|
f x x x
=-+-.
(1)求()3
f x>的解集；
(2)若关于x的不等式
236
()
m m
f x
m
--
…的解集非空,求m的取值范围.
2019年福建省泉州市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
【解答】解：{0A =,1,2},{1B =-,1,3}；
{1A B ∴=-,0,1,2,3}； A
B ∴中元素的个数为5.
故选：D .
【解答】解：由424S =,1310a a +=可得114624
2210a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得2d =,13a =,
71631215a a d ∴=+=+=,
故选：C .
【解答】解：①对老师群体而言,首选“微信”与首选“QQ ”的比例为：9:1,故对老师而言,更倾向于首选“微信”,即A 正确,
②对学生群体而言,首选“微信”与首选“QQ ”的比例为：3:2,故对学生而言,更倾向于首选“微信”,即B 错误,
③由于老师群体与学生群体人数不定,即首选“微信”的老师比首选“微信”的同学无法比较,即C 错误,
④设老师群体x 人,学生群体y 人,则有0.90.6x y >,即32x y >,则小明统计的老师人数不一定比学生多,即D 错误, 综合①②③④得：A 正确, 故选：A .
【解答】
解：1(2AC AB BC =+=-；
∴131
442AB AC =-+=,且||||1AB AC ==；
∴1
cos cos ,2
||||AB AC BAC AB AC AB AC ∠=<>=
=；
又0180BAC ︒∠︒剟
；
60BAC ∴∠=︒.
故选：B .
【解答】解：双曲线222:1(0)x C y a a
-=>的渐近线方程为1
2y x =±,
可得2a =,1b =,
则c = 所以C
的焦距为：. 故选：C .
【解答】解：由2z x y =-得122
z
y x =
-, 作出x ,y 满足约束条件20
350240x y x y x y --⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩
……
…对应的平面区域如图(阴影部分):ABC 平移直线122
z
y x =
-, 由图象可知当直线122
z
y x =-,过点A 时, 直线122
z
y x =
-的截距最大,此时z 最小, 240
350x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩
,解得(1,2)A 代入目标函数2z x y =-, 得1223z =-⨯=-,
∴目标函数2z x y =-的最小值是3-.
故选：A .
【解答】解：模拟程序的运行,可得
2S =,1i =
此时,由题意应该满足判断框内的条件,执行循环体,3S =-,2i = 满足判断框内的条件,执行循环体,1
2S =-,3i =
满足判断框内的条件,执行循环体,1
3
S =,4i =
此时,由题意,应该不满足判断框内的条件,退出循环,输出S 的值为1
3
.
可得判断框内的条件为：4i <？ 故选：A .
【解答】解：如图,设OQ x =,0x >,则2OA OB x ==,
在底面正三角形BCD 中,求得BQ = 在直角三角形BQO 中,2243x x -=, 得1x =,
∴球O 的半径为2,
故选：B .
【解答】解：设切点为(,)m n , 函数()f x lnx a =-的导数为1()f x x
'=, 则切线的斜率为1
(0)k m m
=>, 1lnm a km -=-,
解得a lnm =, 则1k a lnm m +=+, 设1()g m lnm m
=+
,
22111()m g m m m m
-'=
-=, 当1m >时,()g m 递增； 当01m <<时,()g m 递减.
则g (1)取得极小值,且为最小值011+=. 故选：C .
【解答】解：各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 由于12a =,
1121n n n n
S a
a S ++=-, 则：221120n n n n S a a S ++-+=, 整理得：11()(2)0n n n n S a S a ++-+=. 数列{}n a 的各项均为正数, 故：120n n S a ++>, 所以：1n n S a +=, 整理得：1n n n S S S +=-, 所以：
()1
2n n
S S +=常数, 则：数列{}n S 是以112S a ==为首项,2为公比的等比数列. 所以：1222n n n S -==, 所以：101021024S ==. 故选：B .
【解答】解：因为当04
π
θ<<时,cos sin cos sin cos
θθθθθθ-<<<+,
sin tan θθ<<
由“田忌赛马”事例可得：我方必胜的排序是c ,b ,a , 故选：D .
【解答】解：抛物线的焦点坐标为(0,)2p F ,准线方程为2
p
y =-,
设2(,)2a A a p ,则(,)2p
B a -,
则BF 的斜率22p p
p k a a
+=
=--,
AD BF ⊥,AD ∴的斜率a k p
=
, 则BF 的方程为2p p y x a -
=-,即2p p y x a =-+,① AD 的方程为：2()2a a
y x a p p
-
=-, 即2
2a a y x p p
=-,②
由①②得20
a x y ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩,即(2a D ,0),
||OD p =,||2
a
p ∴=,即2a p =±,则224222a p y p p p =
==, 即(2,2)A p p ±,则直线AF 的斜率为
32322224
p p
p p p -
==±±±, 故选：B .
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
【解答】解：2019504333(1)(1)(1)(1)1z i i i i i i i i i ⨯+=-=-=-=--=--,
则||z
【解答】解：当1x …
时,不等式()1f x <化为2log 1x <,解得12x <…； 当1x <时,不等式()1f x <化为
1
11
x <-,此时不等式恒成立,即1x <； 综上所述,满足()1f x <的x 的取值范围是2x <. 故答案为：2x <.
【解答】解：以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,
在长方体1111ABCD A B C D -中,22AB BC ==,
直线1DC 与平面ABCD 所成的角为45︒,
145C DC ∴∠=︒,12DC CC ∴==,
(1A ∴,0,0),1(0D ,0,2),(0D ,0,0),
1(0C ,2,2),
1(1AD =-,0,2),1(0DC =,2,2),
设异面直线1AD 与1DC 所成角为θ, 则111111||cos |cos ,
|||||58AD DC AD DC AD DC θ=<>=
= =
. ∴异面直线1AD 与1DC .
【解答】解：原问题等价于函数()f x 与函数2y =交点的横坐标之和为3,
绘制函数在区间(,1)-∞上的图象如图所示,
则当12x <…时,函数与2y =存在两个交点,当2x …
时,函数图象与2y =不存在交点, 由于函数关系式()(1)f x
af x =-的效果为将函数图象伸缩变换之后再进行平移,
结合函数在区间[0,1)上的函数图象可知：24242
a a >⎧⎨<⎩
,求解不等式组可得实数a 的取值范围为：1(2. 故答案为：1(2.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.
【解答】(本题满分为12分)
解：(1)()sin 2sin()2sin a b A b A C b B +=+=,1⋯分
∴由正弦定理
sin sin a b A B
=,可得：2()2a a b b +=,整理可得(2)()0a b a b +-=, 20a b +>, a b ∴=,ABC ∆为等腰三角形,得证6⋯分
(2)设BD x =,则2AD x =, 由余弦定理可得：2cos
CDA ∠=
,2cos CDB ∠=,10⋯分
CDA CDB π∠=-∠, ∴22
=解得：2x =,
6AB ∴=.12⋯分
【解答】证明：(1)取AD 中点F ,连结PF ,CF ,
底面ABCD 是边长为2的正方形,1DF ∴=,CF 6PC =222PF CF PC ∴+=,PF CF ∴⊥,
PA PD ==,PF AD ∴⊥,
AD CF F =,PF ∴⊥平面ABCD ,
PF ⊂平面PAD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD .
解：(2)底面ABCD 是边长为2的正方形,AB AD ∴⊥,2AB =,
2PA =,PB =222PA AB PB ∴+=,AB PA ∴⊥,
又2APC S ∆=,∴11221333
P ABC ABC V S PF -∆==⨯⨯=,
在PBC ∆中,2BC =,PB PC ==
∴PBC S ∆=
记点A 到平面PBC 的距离为d ,
∴1233P ABC PBC V S d -∆==,解得d =,
点E 为线段PA 的中点,∴点E 到平面PBC .
【解答】解：(1)设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>, 圆22:4O x y +=与y 轴正、负半轴分别交于点(0,2)A ,(0,2)B -,
由题意可得2b =,c e a ==222a b c -=, 解得4a =,则椭圆方程为22
1164
x y +=； (2)(0,2)A ,(0,2)B -,设直线:2(0)l y kx k =+≠,
联立椭圆22416x y +=,可得22(14)160k x kx ++=,
设1(N x ,1)y ,可得121614k x k =-+,212
2814k y k -=+, 由题意可得AM BM ⊥,1BM k k
=-, 则直线BM 的方程为12y x k
=--,可得(2,0)C k -,
若||||NC ND =,可得ND NB k k =-, 即为22
2222
282821414161621414k k k k k k k k k --+++=---+++,
解得k =
存在直线:2l y =+,使得||||NC ND =. 【解答】解：(1)由表一数据,补出值如图如右：
根据上图,可知采购量在168以上的客户端数量为：
1801682020(0.0050.020)1720
-⨯⨯+⨯=人, (2)由图一可知,去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为：
11010120101505172019057500⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯=(箱),
∴小张去年年底总的销售量为57500120008
÷=(箱). (3)若没有在网上出售鱼卷,则今年的年底小张的收入为1200020240000⨯=(元),
若网上出售鱼卷,则今年的年底的销售量为120001000m +(箱),
每箱的利润为20m -(元),
则今年的年底小张的收入为(20)(120001000)Y m m =-+
221000(8240)1000[(4)256]256000m m m =-++=--+=(元),
256000240000>,
∴小张在今年年底收入Y (单位：元)的最大值为256000(元)
【解答】解：(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,
21(21)(1)()2ax ax f x a x a x x
+-'=--=, ()i 当0a =时,()0f x '<,()f x 在(0,)+∞递减,
()ii 当0a >时,令()0f x '<,解得：10x a
<<,
令()0f x '>,解得：1x a
>, 故()f x 在1(0,)a 递减,在1(a
,)+∞递增； ()iii 当0a <时,令()0f x '<,解得：102x a
<<-, 令()0f x '>,解得：12x a >-
, 故()f x 在1(0,)2a
-递减,在1(2a -,)+∞递增； (2)由(1)可得若函数()f x 有2个大于1的零点,则0a ≠,
()i 当0a >时,需2(1)011()011f a a f ln a
a a
⎧⎪=->⎪⎪=-<⎨⎪⎪>⎪⎩,无解, ()ii 当0a <时,需2(1)013()(2)024112f a a f ln a a a
⎧⎪=->⎪⎪-=+-<⎨⎪⎪->⎪⎩,解得：34102a e -<<, 且当3
41
02a e -<<时,()f x 在1(1,)2a -
递减,f (1)1()02f a -<, 故()f x 在1(1,)2a -
有1个零点, 22222
111111()f ln ln a a a a a a =-->-, 下面证明0x lnx ->,
令()g x x lnx =-,11()1x g x x x
-'=-=, 当01x <<时,()0g x '<,函数递减,
当1x >时,()0g x '>,函数递增, 故()g x g …
(1)110ln =->,即0x lnx ->, 故222111()0f ln a a a >->,2
11()()02f f a a -<, 又()f x 在1(2a
-,)+∞递增, 故()f x 在1(2a
-
,)+∞有1个零点,
综上,a 的范围是3
41
(2e -,0).
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
【解答】解：(1)直线:l y kx =的倾斜角为α,
转换为极坐标方程为：θα=.
曲线22:(1)(1)8C x y -+-=.
转换为极坐标方程为：22cos 2sin 60ρρθρθ---=.
(2)若l 与C 交于1(A ρ,)α,2(B ρ,)α两点,
所以：122cos 2sin ρραα+=+,
126ρρ=-,
则：12|||||||||2cos 2sin |AO BO ρραα-=+=+…
[选修4-5：不等式选讲](10分)
【解答】解：(1)函数24,1()|1||3|2,1324,3x x f x x x x x x -+⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-⎩
……,
画出函数()f x 的图象如图所示；
.
当1x …时,由423x ->,解得12x <
； 当3x …时,由243x ->,解得72
x >, 所以不等式()3f x >的解集为1{|2x x <或7}2
x >；
(2)若关于x 的不等式236()m m f x m --…的解集非空,等价于236()min m m f x m
--…, 由(1)知,()2min f x =,(或由|1||3||(1)(3)|2x x x x -+----=…当13x 剟
时取“=” ), 所以原命题等价于2362m m m
--…, 当0m >时,2362m m m --…,解得1m -…或6m …
,即6m …； 当0m <时,2362m m m --…,解得16m -剟
,10m -<…； 综上所述,m 的取值范围是[1-,0)[6,)+∞.。