数列高考常见题型分类汇总

数列通项与求和
一、数列的通项
方法总结：
对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根据图形进行推理。

其余形式我们一般遵循以下几个原则：
①对于同时出现n a ,n ,n S 的式子，首先要对等式进行化简。

常用的化简方法是因式分解，或者同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式；
②利用1--=n n n S S a 关系消掉n S （或者n a ），得到关于n a 和n 的等式，然后用传统的求通项方法求出通项；
③根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列；
④对于出现2n a 或2
n S （或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提取公因式法；遇到1+∙n n a a 时还会两边同除1+∙n n a a .
1. 规律性形式求通项 1-1.数列{a n }满足a n+1=，若a 1=，则a 2016的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B •曼德尔布罗特（Benoit B ．Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照
的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（ ）
A ．55
B ．89
C ．144
D ．233
1-3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为（n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，
，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.出现n a ,n ,n S 的式子
1-4.正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=
(1)求数列{a n }的通项公式a n ;
(2)令()2221n n a n n b ++=
,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <.
1-5.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,
2121233
n n S a n n n +=---,*n ∈N . (1) 求2a 的值;
(2) 求数列{}n a 的通项公式.
1-6.已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}),0(*N n b b n n ∈≠满足02111=+-+--n n n n n n b b b a b a .
(1)令n
n n b a c =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13-=n n b ，求数列{}n a 的前n 项和n S .
牛刀小试：
1.已知数列{n a }的前n 项和为Sn ，1a ＝1，且122(1)(1)(*)n n nS n S n n n N +-+=+∈，数列{n b }满足2120(*)n n n b b b n N ++-+=∈，53=b ，其前9项和为63.
（1）求数列数列{n a }和{n b }的通项公式；
2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1111,.22n n n a a a n ++=
= (1)求{}n a 的通项公式;
(2)设(){}**2,,n n n b n S n N M n b n N λ=-∈=≥∈，若集合恰有4个元素,求实数λ的取值范围.
3.需构造的（证明题）
1-7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足021=∙++n n n S S a ()2≥n ,211=
a . (1) 求证:⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列; (2)求n a 表达式；
1-8.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n+1=S n +3n （n ∈N *）．
（1）求证：{S n ﹣3n }是等比数列；
（2）若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围．
牛刀小试
1．已知数列{n a }中，=
1a 32，=+1n a )(12*∈+N n a a n n ． （1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨
⎧-11n a 是等比数列； （2）求数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和为n S ．
2.数列{n a }中，=1a 1，=+1n a )(1
22411*∈-=-N n a b a n n n ，． （1）求证：数列{n b }是等差数列；
二、数列求和与放缩
数列求和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才可以应用传统的方法进行求和。

对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数（分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。

放缩，怎么去放缩是重点，一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。

2-1. 数列{}n a 满足)(2212,2111*++∈+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+==N n a n a a a n n n n n . （1）设n n
n a b 2=，求数列
{}n b 的通项公式. （2）设()111++=n n a n n c ，数列{}n c 的前n 项和为n S ，不等式n S m m >-4
1412对一切*∈N n 成立，求m 的范围.
2-2.设数列{}n a 满足10a =且
111 1.11n n a a +-=-- （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设111,, 1.n
n n n k n k a b b S n +=-=
=<∑记S 证明：
2-3
2-4
2-5
牛刀小试：
1.已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝(－1)
n －14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .
三、数列与不等式问题
在这类题目中一般是要证明()或者一个常数n f a n <∑，
一般思路有两种：1.若{a n }可求和n S ，则可直接求出其和，再转化为 ()n f S n <，而后一般转化为函数，或单调性来比较大小；2.若{a n }不可求和，则利用放缩法转化为可求和数列，再重复1的过程。

1.应用放缩法证明，将不规则的数列变成规则的数列，将其放大或是缩小。

但如果出界了怎么办（放的太大或缩的太小），一般情况下，我们从第二项开始再放缩，如果还大则在尝试从第三项开始放缩。

2.应用数列单调性求数列中的最大或最小项。

我们一般将数列中的n 看做自变量，n a 看做因变量*∈=N n n f a n )(，用函数部分求最值方法来求数列的最值；或者可以利用做商比较大小（一般出现幂时采取这个方法）；也可相减做差求单调性。

3-1.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()223n n S n n S -+--()230n n +=，n N *∈.
（1）求1a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113
n n a a a a a a +++<+++.
3-2．记公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，93=S ，853a a a ，，成等比数列．
(1) 求数列}{n a 的通项公式n a 及n S ；
(2) 若)2(2λ-⋅=n
n n a c ，n =1，2，3，…，问是否存在实数λ，使得数列}{n c 为单调递减数列？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
牛刀小试：
1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知112a =
，2(1)n n S n a n n =--(n ∈*N ). (1) 求23,a a ；
(2) 求数列{}n a 的通项；
(3)设+11n n n b S S =
,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52
n T <(*n ∈N ).
2.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,
2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (1) 求2a 的值;
(2) 求数列{}n a 的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数n ,有1211174
n a a a +
++<.
3.
数列作业
1.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且442+-=n n S n ， （1）求数列{}n a 的通项；
（2）设n n n a b 2=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：141<≤n T .
2.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且12342,32.a a a a ⋅=⋅= (I)求数列{}n a 的通项公式；
(II)设数列{}n b 满足)(11
2321*1321N n a n b b b b n n ∈-=-+++++ ，求数列{}n b 的前n 项和。

3.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,21n n a a S +==+，n ∈N *
. （1）求2a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.
4.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且211a =．
（1）求1a 的值；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（3）设数列{}n b 满足n n n b S =，求证：122323n b b b n +++<+.
5.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1=+n n S a .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
资料
. （2）设数列{}n b 满足：11+=n n a b ，又111--=n n n n b b a c ，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3
2<
n T .
6.已知数列{b n }满足3(n ＋1)b n ＝nb n ＋1，且b 1＝3.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)已知a n b n ＝n ＋12n ＋3，求证：56≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n
<1. 7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1；数列{b n }满足b n －1－b n ＝b n b n －1(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝
1.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n
b n 的前n 项和T n .
8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12
n n n a T λ++
=(λ为常数).令2n n c b =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R .。