3.4-1分块矩阵的定义与运算
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分块矩阵的定义与运算
1000010012101
101A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
- ⎪
⎝⎭
例如 对于矩阵
2120E A A E ⎛⎫=
⎪⎝⎭
一、分块矩阵的概念
将矩阵
用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为
的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．
A A
1000010012101101A ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
- ⎪
⎝⎭1234A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
一、分块矩阵的概念
1000010012101
101A ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
- ⎪
⎝
⎭
()
1234,A B B B B =，，
1. 加法 设同型矩阵 与 有相同
A B 11
1211
2
s r r rs A A A A A A A ⎛⎫ ⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
11
1211
2
s r r rs B B B B B B B ⎛⎫ ⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
二、分块矩阵的运算
1111
1212111
122
s s r r r r rs rs A B A B A B A B A B
A B A B ±±±⎛⎫
⎪±=
⎪
⎪±±±⎝⎭
的分块法
则
111212122212s s r r rs A A A A A A A A A λλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
2. 数乘 用数
乘一个分块矩阵时，等于 λ用数
乘矩阵的每一个子块，即 λ11
121212221
2
=s s r r rs A A A A A A A A A A λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
A m l
B l n ⨯⨯3.乘法设为矩阵，为矩阵，
11121212221
2
=s s r r rs A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
11121212221
2
=t t s s st B B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
()1,2,1,2,,i i is A A A i r =其中的列数分别()12,
1,2,
,.
j j sj B B B j t =与,的行数相等
111212122212
=t t r r rt C C C C C C A B C C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
则
()
1
1212=,,
,;,,
,s
ij ik kj k C A B i r j t ===∑其中
()1AB 本身能作乘法运算；
()2左矩阵列的分块方法与右矩阵行的分块
方法相同.
前提
4.转置
11121212221
2
=s s r r rs A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
112111222
212=T T T r T T T T r T T T s
s
rs A A A A A A A A A A ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
要求 子块的位置转置，子块本身也要转置。