2020年自贡市八年级数学上期末第一次模拟试题及答案

2020年自贡市八年级数学上期末第一次模拟试题及答案
一、选择题
1．如图，已知AOB ∠．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB ∠的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点E ，连接CE ，DE ．③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是（ ）
A ．CEO DEO ∠=∠
B ．CM MD =
C ．OC
D ECD ∠=∠
D ．12OCED S CD O
E =⋅四边形 2．下列因式分解正确的是( )
A ．()2211x x +=+
B ．()22211x x x +-=-
C ．()()22x 22x 1x 1=-+-
D ．()2
212x x x x -+=-+ 3．如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A ．6
B ．11
C ．12
D ．18 4．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 5．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于
E ，DE 平分∠ADB，则∠B=
（ ）
A ．40°
B ．30°
C ．25°
D ．22.5〫 6．如果分式
||11x x -+的值为0，那么x 的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-1或1 D ．1或0
7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以点A 和B 为圆心，以相同的长（大于12
AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ，下列结论错误的是（ ）
A ．AD=BD
B ．BD=CD
C ．∠A=∠BE
D D ．∠ECD=∠EDC
8．如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b (b <a )的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的等式是( )
A ．a 2＋b 2＝(a ＋b )(a －b )
B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2
C ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2
D ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )
9．已知x+1x =6，则x 2+21x =（ ） A ．38 B ．36 C ．34 D ．32
10．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？
A ．5
B ．6
C ．7
D ．10
11．已知a 是任何实数，若M ＝（2a ﹣3）（3a ﹣1），N ＝2a （a ﹣
32
）﹣1，则M 、N 的大小关系是（ ）
A ．M ≥N
B ．M ＞N
C ．M ＜N
D ．M ，N 的大小由a 的取值范围 12．已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ ）
A ．九边形
B ．八边形
C ．七边形
D ．六边形
二、填空题
13．计算：24a 3b 2÷3ab ＝____．
14．分解因式：3327a a -=___________________.
15．分解因式：2a 2﹣8＝_____．
16．如图，小新从A 点出发，沿直线前进50米后向左转30°，再沿直线前进50米，又向左转30°，…照这样下去，小新第一次回到出发地A 点时，一共走了__米．
17．如图，030A B ∠=︒，点P 为AOB ∠内一点，8OP =.点M 、N 分别在OA OB 、上，则PMN V 周长的最小值为________.
18．分解因式：2288a a -+=_______
19．若a+b=5，ab=3，则a 2+b 2=_____．
20．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 是BC 上一动点，连接AD ，过点A 作AE ⊥AD ，并且始终保持AE=AD ，连接CE ．
（1）求证：△ABD ≌△ACE ；
（2）若AF 平分∠DAE 交BC 于F ，探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若BD=3，CF=4，求AD 的长．
22．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠B ＝42°，∠DAE ＝18°，求∠C 的度数．
23．（1）计算：()
108613333π-⎛⎫--÷+ ⎪⎝⎭ （2）因式分解：22312x y -
24．如图，已知AB 比AC 长2cm ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACD 的周长是14cm ，求AB 和AC 的长．
25．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF.小华的想法对吗？为什么？
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可．
【详解】
由作图步骤可得：OE 是AOB ∠的角平分线，
∴∠COE=∠DOE ，
∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，∴△COE≌△DOE，
∴∠CEO=∠DEO，
∵∠COE=∠DOE，OC=OD，
∴CM=DM，OM⊥CD，
∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=111
222
OE CM OE DM CD OE
+=
g g g，
但不能得出OCD ECD
∠=∠，
∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，
故选C．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论．
【详解】
解：D选项中，多项式x2-x+2在实数范围内不能因式分解；
选项B，A中的等式不成立；
选项C中，2x2-2=2（x2-1）=2（x+1）（x-1），正确．
故选C．
【点睛】
本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法．
3．C
解析：C
【解析】
试题分析：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故选C．
考点：多边形内角与外角．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数=边数可得答案．
【详解】
解：∵多边形的每个内角都是108°，
∴每个外角是180°﹣108°=72°，
∴这个多边形的边数是360°
÷72°=5， ∴这个多边形是五边形，
故选C.
【点睛】
此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用全等直角三角形的判定定理HL 证得Rt △ACD ≌Rt △AED ，则对应角
∠ADC=∠ADE ；然后根据已知条件“DE 平分∠ADB”、平角的定义证得
∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°；最后由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B=30°．
【详解】
∵在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，
∴CD=ED,
在Rt △ACD 和Rt △AED 中，
{AD AD CD ED
＝ ， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），
∴∠ADC=∠ADE （全等三角形的对应角相等）．
∵∠ADC+∠ADE+∠EDB=180°，DE 平分∠ADB ，
∴∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°．
∴∠B+∠EDB=90°，
∴∠B=30°．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．
【详解】
根据题意，得
|x|-1=0且x+1≠0，
解得，x=1．
故选B ．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题目描述的作图方法，可知MN 垂直平分AB ，由垂直平分线的性质可进行判断.
【详解】
∵MN 为AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD ；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED ；∵∠A≠60°，AC≠AD ，∴EC≠ED ，∴∠ECD≠∠EDC ．故选D ．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，熟悉尺规作图，根据题目描述判断MN 为AB 的垂直平分线是关键.
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据左图中阴影部分的面积是a 2-b 2，右图中梯形的面积是
12（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ），利用面积相等即可解答．
【详解】
∵左图中阴影部分的面积是a 2-b 2，右图中梯形的面积是
12
（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ），
∴a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．
故选D ．
【点睛】
此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 9．C
解析：C
【解析】
【分析】把x+
1x =6两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求． 【详解】把x+
1x =6两边平方得：（x+1x ）2=x 2+21x +2=36， 则x 2+2
1x =34，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
10．C
解析：C
【解析】
依题意可得，当其中一个夹角为180°即四条木条构成三角形时，任意两螺丝的距离之和取到最大值，为夹角为180°的两条木条的长度之和．因为三角形两边之和大于第三边，若长度为2和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为3,4,8，不符合；若长度为2和3的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为4,5,6，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为6；若长度为3和4的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,6,7，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为7；若长度为4和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,3,10，不符合．综上可得，任意两螺丝的距离之和的最大值为7，故选C
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
将M,N代入到M-N中，去括号合并得到结果为（a﹣1）2≥0，即可解答
【详解】
∵M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a﹣3
2
）﹣1，
∴M﹣N
＝（2a﹣3）（3a﹣1）﹣2a（a﹣3
2
）+1，
＝6a2﹣11a+3﹣2a2+3a+1
＝4a2﹣8a+4
＝4（a﹣1）2
∵（a﹣1）2≥0，
∴M﹣N≥0，则M≥N．
故选A．
【点睛】
此题考查整式的混合运算，解题关键是在于把M,N代入到M-N中计算化简得到完全平方式为非负数，从而得到结论.
12．B
解析：B
【解析】
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】根据n 边形的内角和公式，得
（n ﹣2）•180=1080，
解得n=8，
∴这个多边形的边数是8，
故选B ．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
二、填空题
13．8a2b 【解析】【分析】根据单项式的除法法则计算把系数和同底数幂分别相除作为商的因式对于只在被除式里含有的字母则连同它的指数作为商的一个因式计算后选取答案【详解】24a3b2÷3ab=（24÷3）a
解析：8a 2b
【解析】
【分析】
根据单项式的除法法则计算，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式计算后选取答案．
【详解】
24a 3b 2÷3ab ，
=（24÷3）a 2b ，
=8a 2b.
故答案为8a 2b.
【点睛】
本题考查的知识点是同底数幂的除法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的除法. 14．【解析】【分析】先提取公因式然后根据平方差公式进行分解即可【详解】解：故答案为【点睛】本题考查了提取公因式平方差公式法分解因式属于基础题
解析：()()333a a a +-
【解析】
【分析】
先提取公因式，然后根据平方差公式进行分解即可.
【详解】
解：()
()()3232739333a a a a a a a -=-=+- 故答案为()()333a a a +-.
【点睛】
本题考查了提取公因式、平方差公式法分解因式，属于基础题．
15．2（a+2）（a ﹣2）【解析】【分析】先提取公因式2再利用平方差公式继
续分解【详解】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）故答案为：2
（a+2）（a﹣2）【点睛】本题考查了因式分解一
解析：2（a+2）（a﹣2）
【解析】
【分析】
先提取公因式2，再利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4），
＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【点睛】
本题考查了因式分解，一般是一提二套，先考虑能否提公式式，再考虑能不能用平方差公式和完全平方公式继续分解，注意要分解彻底.
16．600【解析】【分析】【详解】解：根据题意可知：小新从A点出发沿直线前进50米后向左转30º再沿直线前进50米又向左转30º……照这样下去小新第一次回到出发地A点时小新走的路线围成一个正多边形且这个
解析：600
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据题意可知：小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30º，再沿直线前进50米，又向左转30º，……照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,小新走的路线围成一个正多边形,且这个多边形的外角等于30º，所以这个正多边形的边数是12，小新一共走了12×50=600米，
故答案为：600．
17．8【解析】【分析】分别作点P关于OAOB的对称点P1P2连接P1P2交OA于M交OB于N△PMN的周长＝P1P2然后证明△OP1P2是等边三角形即可求解【详解】分别作点P关于OAOB的对称点P1P2
解析：8
【解析】
【分析】
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．
【详解】
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N．连接OP，则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形．
△PMN 的周长＝P 1P 2，∴P 1P 2＝OP 1＝OP 2＝OP ＝8．
故答案为8．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确作出辅助线，证明△OP 1P 2是等边三角形是关键．
18．【解析】=2（）=故答案为
解析：22(2)a -
【解析】
22a 8a 8-+=2（2a 4a 4-+）=()2
2a 2-. 故答案为()2
2a 2-. 19．19【解析】试题分析：首先把等式a+b=5的等号两边分别平方即得a2+2ab+b 2=25然后根据题意即可得解解：∵a+b=5∴a2+2ab+b2=25∵ab=3∴a2+b2=19故答案为19考点：完
解析：19
【解析】
试题分析：首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a 2+2ab+b 2=25，然后根据题意即可得解．
解：∵a+b=5，
∴a 2+2ab+b 2=25，
∵ab=3，
∴a 2+b 2=19．
故答案为19．
考点：完全平方公式．
20．【解析】【分析】【详解】因为大正方形边长为小正方形边长为m 所以剩余的两个直角梯形的上底为m 下底为所以矩形的另一边为梯形上下底的和：+m=
解析：24m +
【解析】
【分析】
【详解】
因为大正方形边长为4m +，小正方形边长为m ，所以剩余的两个直角梯形的上底为m ，
下底为4m +，所以矩形的另一边为梯形上、下底的和：4m ++m=24m +.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）结论：BD 2+FC 2=DF 2．证明见解析；（3）
35.
【解析】
【分析】
（1）根据SAS ，只要证明∠1=∠2即可解决问题；
（2）结论：BD 2+FC 2=DF 2．连接FE ，想办法证明∠ECF=90°，EF=DF ，利用勾股定理即可解决问题；
（3）过点A 作AG ⊥BC 于G ，在Rt △ADG 中，想办法求出AG 、DG 即可解决问题.
【详解】
（1）证明：如图，
∵AE ⊥AD ，
∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°，
又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABD 和△ACE 中
12AB AC AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABD ≌△ACE ．
（2）结论：BD 2+FC 2=DF 2．理由如下：
连接FE ，∵∠BAC=90°，AB=AC ，
∴∠B=∠3=45°
由（1）知△ABD ≌△ACE
∴∠4=∠B=45°，BD=CE
∴∠ECF=∠3+∠4=90°，
∴CE 2+CF 2=EF 2，
∴BD 2+FC 2=EF 2，
∵AF 平分∠DAE ，
∴∠DAF=∠EAF ，
在△DAF 和△EAF 中
AF AF DAF EAF AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△DAF ≌△EAF
∴DF=EF
∴BD 2+FC 2=DF 2．
（3）过点A 作AG ⊥BC 于G ，
由（2）知DF 2=BD 2+FC 2=32+42=25
∴DF=5，
∴BC=BD+DF+FC=3+5+4=12，
∵AB=AC ，AG ⊥BC ，
∴BG=AG=12
BC=6， ∴DG=BG-BD=6-3=3， ∴在Rt △ADG 中，
【点睛】
本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
22．∠C ＝78°
. 【解析】
【分析】
由AD 是BC 边上的高，∠B=42°，可得∠BAD=48°，在由∠DAE=18°，可得∠BAE=∠BAD-∠DAE=30°，然后根据AE 是∠BAC 的平分线，可得∠BAC=2∠BAE=60°，最后根据三角形内角和定理即可推出∠C 的度数．
【详解】
解：∵AD 是BC 边上的高，∠B=42°，
∴∠BAD=48°，
∵∠DAE=18°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=30°，
∵AE 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=60°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=78°．
考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的角平分线、3.中线和高．
23．（1）5-;（2）3(2)(2)x y x y +-.
【解析】
【分析】
（1）先算幂的运算，再算乘除，加减；（2）先提公因式，再运用平方差公式.
【详解】
（1）解：原式2133=-+
193=-+
5=-
（2）解：原式223(4)x y =-
3(2)(2)x y x y =+-
【点睛】
考核知识点：整式运算，因式分解.掌握基本方法是关键.
24．AB=9cm ，AC=6cm .
【解析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CD=BD ，然后求出△ACD 的周长＝AB+AC,再解关于AC 、AB 的二元一次方程组即可.
解：∵DE 垂直平分BC ，
∴BD=DC，
∵AB=AD+BD，
∴AB=AD+DC.
∵△ADC 的周长为15cm ，
∴AD+DC+AC=15cm ，
∴AB+AC=15cm .
∵AB 比AC 长3cm ，
∴AB -AC=3cm .
∴AB=9cm ，AC=6cm .
25．对，理由见解析.
【解析】
【分析】
通过全等三角形得到内错角相等，得到两直线平行，进而得到同旁内角互补.
【详解】
解：∵O 是CF 的中点，
∴CO ＝FO(中点的定义)
在△COB 和△FOE 中CO FO COB EOF EO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△COB ≌△FOE(SAS)
∴BC ＝EF,∠BCO ＝∠F
∴AB ∥DF(内错角相等，两直线平行)
∴∠ACE 和∠DEC 互补(两直线平行，同旁内角互补)，
【点睛】
本题考查了三角形的全等的判定和性质；做题时用了两直线平行内错角相等，同旁内角互补等知识，要学会综合运用这些知识．。