新人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试(答案解析)(5)

一、选择题
1．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，E 是BC 的中点，AE CE =，3BAC CBD ∠=∠，6266BD =+，则AB 的长为（ ）
A ．6
B ．62
C ．12
D ．102 2．下列计算中错误的是( )
A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒
B ．22sin 45 cos 451︒+︒=
C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒
D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒
3．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ． F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75︒；③BE+DF=EF ；④正方形对角线AC=1+3，其中正确的序号是（ ）
A ．①②④
B ．①②
C ．②③④
D ．①③④ 4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值
是（ ）
A ．2
B 25
C 5
D ．12
5．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=35°，则直角边AC 的长是（ ）
A ．m·sin35°
B ．cos35m ︒
C ．sin 35m ︒
D ．m·cos35° 6．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）．
A ．3米
B ．3米
C ．2米
D ．1米 7．如图，半径为5的O 中， OA BC ⊥，30ADC ∠=︒，则BC 的长为（ ）
A ．52
B ．53
C ．522
D ．532
8．点E 在射线OA 上，点F 在射线OB 上，AO ⊥BO ，EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，则tan ∠EMF 的值为( )
A ．12
B ．3
C ．1
D ．3
9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2AC ，则cos A ＝（ ）
A ．12
B ．52
C ．255
D ．55
10．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中116S =，245S =，511S =，614S =，则34S S +=（ ）
A ．86
B ．64
C ．54
D ．48
11．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．
若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（ ）
A ．23
B ．4
C ．2.8
D ．2.5
12．如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，AD ∥BC ，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD 的面积是（ ）
A 3
B 3
C 3
D 934
二、填空题
13．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm ．
14．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，AB ＝m ，那么边AB 上的高为___． 15．在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE ，BC=23，则AB=_____．
16．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠D=60°，∠A ＝105°，∠B ＝120°，则AD BC
的值为__________．
17．如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1．点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）．设点M 转过的路程为m （01m <<），，随着点M 的转动，当m 从
13
变化到23时，点N 相应移动的路径长为___．
18．一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，AB ，AC 的夹角为θ
（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m ，楼梯宽1cm ，则地毯的面积至少需要_____________平方米．
19．如图，已知∠AOB =60°，点P 在边OA 上，OP =12，点M ，N 在边OB 上，PM =PN ，若MN =2，则OM =____．
20．在△ABC 中，若()21cos 1tan 02
A B -+-=，则∠C=____________． 三、解答题
21．如图，有一个半径为3cm 球形的零件不能直接放在地面上，于是我们找了两个三角形的垫块把这个零件架起来，两个三角形与球的接触点分别是点P 和Q ，已知70α=，40β=，一侧接触点离地面距离PM 是4cm
（
sin 700.94,cos700.34,tan 70 2.75;sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84≈≈≈≈≈≈）
（1）求圆心O 距离地面的高度；
（2）直接写出QOP ∠与α、β的关系；
（3）另一侧接触点离地面距离QN 又是什么？
22．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D ，E ，AD 与BE 相交于点F ．
（1）求证：ACD △∽BFD △；
（2）当tan 1ABD ∠=，3AC =时，求BF 的长．
23．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60︒，热气球与高楼的水平距离为66m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.73≈）
24．如图所示，ABC 中，45B ∠=︒，30C ∠=︒，22AB =．求BC 的长．
25．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，AC 是⊙O 的直径，连接OP 交⊙O 于E ．过A 点作AB ⊥PO 于点D ，交⊙O 于B ，连接BC ，PB ．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）求证：E 为△PAB 的内心；
（3）若cos ∠PAB 10BC ＝1，求PO 的长． 26．第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了
解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C 处测得钟楼顶A 的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D 处测得钟楼顶A 的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC 为4m ，已知教学楼三楼所在的高度为10m ，根据测得的数据，计算钟楼AB 的高度．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43
）
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
作DF BC ⊥于F ，根据题意判断出ABC ∆是等腰直角三角形，求出CBD ∠的度数，进而判断出ACD ∆是等边三角形，设AB a ，在Rt BDF ∆中利用直角三角形的性质求出DF 的长，用a 表示出CF 的长，再根据勾股定理即可得出a 的值，进而得出答案． 【详解】
解：作DF BC ⊥于F ，
AB AC AD ==，E 是BC 的中点，
AE BC ∴⊥，
AE CE =，BE EC =，
90BAC ∴∠=︒，
45ABC ACB ∴∠=∠=︒，
3BAC CBD ∠=∠，
30DBC ∴∠=︒，15ABD ∠=︒，
1801515150BAD ∴∠=︒-︒-︒=︒，
90BAC ∠=︒，
60CAD ∴∠=︒，
AC AD =，
ACD ∴∆是等边三角形，
AB AC AD CD ∴===，
设AB a ，则2BC a =，AC AD CD a ===， 在Rt BDF ∆中， 30DBF ∠=︒，6266BD =+， 32362BD DF ∴==+，3cos (6266)3692BF BD CBD =∠=+⨯=+， 36922CF BF BC a ∴=-=+-，
在Rt CDF ∆中，由勾股定理可得222CF DF CD +=，
即222(36922)(3236)a a +-++=，解得12a =或12324+，
∵12324+＞6266+，即此时AB ＞BD ，不符合，
∴AB=12，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及含30度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出含30度角的直角三角形，根据直角三角形的性质进行解答．
2．A
解析：A
【分析】
根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．
【详解】
A 、31311sin 60sin 303022
-︒-︒==︒=，此项错误； B 、22222211sin 45 cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭
，此项正确；
C
、sin 602tan 601sin 302
︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D
、cos302tan 601cos 602
︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据三角形的全等的判定和性质可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，根据三线合一的性质，可判定AC ⊥EF ，然后分别求得AG 与CG 的长，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD= BC=DC ，
∵△AEF 是等边三角形，
∴AE=AF ，
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，
AB AD AE AF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），
∴BE=DF ，AE=AF ，
∵BC=DC ，
∴BC-BE=CD-DF ，
∴CE=CF ，故①正确；
∵CE=CF ，
∴△ECF 是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=180°-60°-45°=75°，故②正确；
如图，连接AC ，交EF 于G 点，
∵AE=AF ，CE=CF ，
∴AC ⊥EF ，且AC 平分EF ，
∵∠CAF≠∠DAF ，
∴DF≠FG ，
∴BE+DF≠EF ，故③错误；
∵△AEF 是边长为2的等边三角形，∠ACB=∠ACD=45°，AC ⊥EF ，
∴EG=FG=1，
∴AG=AE•sin60°3232=⨯=，CG=112EF =， ∴AC=AG+CG=31+；故④正确．
综上，①②④正确
故选：A ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质以及解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
4．D
解析：D 【分析】
连接AC ，根据网格图不难得出=90CAB ∠︒，求出AC 、BC 的长度即可求出ABC ∠的正切值．
【详解】
连接AC ，
由网格图可得：=90CAB ∠︒，
由勾股定理可得：AC 2AB =2
∴tan ABC ∠=21222AC AB ==．
【点睛】
本题主要考查网格图中锐角三角函数值的求解，根据网格图构造直角三角形是解题关键． 5．D
解析：D
【分析】
根据Rt △ABC 中cos35AC AB AC m ︒=
=，即可得到AC 的长. 【详解】
在Rt △ABC 中， AB=m ，∠A=35°，cos35AC AB AC m ︒=
=， ∴AC=cos35m ⋅︒，
故选：D.
【点睛】
此题考查锐角三角函数的实际应用，正确掌握各三角函数对应边的比值是解题的关键. 6．B
解析：B
【分析】
设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，
在Rt APC △中，tan PC AC PAC =
=∠，
在Rt BPC △中，tan 3PC BC x PBC =
=∠，
2x -
=，
解得，x =
)，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． 7．B
解析：B
【分析】
连接OC ，设BC 与OA 交于点E ，根据圆周角定理即可求出∠AOC ，然后根据垂径定理可得BC=2CE ，利用锐角三角函数求出CE ，即可求出结论．
解：连接OC，设BC与OA交于点E
∵30
ADC
∠=︒
∴∠AOC=2∠ADC=60°
∵OA BC
⊥
∴BC=2CE，
在Rt△OCE中，CE=OC·sin∠AOC=5
3 2
∴BC=53
故选B．
【点睛】
此题考查的是圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数，掌握圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数是解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据三角形外角的性质求得∠AEF+∠BFE=270°，由角平分线定义可求得
∠MEF+∠MFE=135°，根据三角形内角和定理可求出∠EMF=45°，从而可得出结论．
【详解】
如图，
∵AO⊥BO
∴∠AOB=90°
∴∠OEF+∠OFE=90°
∵∠AEF 和∠BFE 是△EOF 的外角
∴∠AEF=90°+∠OFE ，∠BFE=90°+∠OEF
∴∠AEF+∠BFE=90°+90°+∠OFE+∠OEF=270°
∵EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，
∴∠MEF+∠MFE=
12
(∠AEF+∠BFE) =135°， ∵∠MEF+∠MFE+∠M=180° ∴∠M=180°-(∠MEF+∠MFE)=180°-135°=45°
∴tan ∠EMF=tan45°=1
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质及三角函数，求出
∠MEF+∠MFE=135°是解答此题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
此题根据已知可设AC ＝x ，则BC ＝2x ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：∵BC ＝2AC ，
∴设AC ＝a ，则BC ＝2a ，
∵∠C ＝90°，
∴AB
=，
∴cosA ＝
5AC AB ==， 故选：D ．
【点睛】
此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
10．C
解析：C
【分析】
分别用AC ，AB 和BC 表示出123,,S S S ，然后根据222BC AB AC =-即可得出123,,S S S 的关系．同理，得出456,,S S S 的关系，从而可得答案．
【详解】
解：如图，1S 对应ACD ∆的面积，过D 作DH AC ⊥于H ，
ACD ∆为等边三角形，
160,,,2DAC AH CH AC AD AC ∴∠=︒==
= sin 60,DH AD ∴︒=
33,22DH AD AC ∴=
= 2113,24
S AC DH AC ∴=•=
同理：222333,,S BC S AB == ∵222BC AB AC =-， ∴213,S S S -=
如图2，同理可得：456S S S =+，
∴3421564516111454.S S S S S S +=-++=-++=
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．锐角三角函数等知识点，其中勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．
11．C
解析：C
【分析】
连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝3△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断
△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中
点，BF ＝CF EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．
【详解】
如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC ＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝
AB ＝CD ＝2
∵BC ＝
AB ＝2
由勾股定理可得：
AC 4
∴sin ∠ACB ＝
24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12
∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°
∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝
∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,
∴△EAC 是直角三角形，
由勾股定理可得：
EC ∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°
∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°
∴∠EAB ＝∠EDC
∵EA ＝ED ，AB ＝DC
∴△EAB ≌△EDC
∴EB ＝EC ＝
即△EBC 是等腰三角形
∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，
∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．
设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，
∵F 是BC 中点
∴BF
＝CF EF ⊥BC
在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：
EF ＝22EB BF -＝
()()22273-＝5
∴OF ＝EF －OE ＝5－R 在Rt △OBF 中，22
2BF OF OB 即()()22
235R R +-= 解得：R ＝2.8
∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．
故选C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识． 12．A
解析：A
【分析】
如图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ．构建矩形AEFD 和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE 的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可．
【详解】
解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ．设AB=AD=x ．
又∵AD ∥BC ，
∴四边形AEFD 是矩形，
∴AD=EF=x ．
在Rt △ABE 中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，
∴BE=12AB=12
x ，
∴DF=AE=22
AB BE
=
3
2
x，
在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=3
2 x．
又∵BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即1
2x+x+
3
2
x=6，
解得 x=2
∴△ACD的面积是：1
2AD•DF=
1
2
x×
3
x=
3
×22=3，
故选：A．
【点睛】
此题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形．解题的关键是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度．二、填空题
13．64【分析】连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F求出CEEFDF即可解決问题；【详解】解：如图连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F∵AB//EFAE//BF∴
解析：64
【分析】
连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解決问题；
【详解】
解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB//EF，AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE//PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为64．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
14．msinαcosα【分析】利用直角三角形中的余弦三角函数的定义求得AC的长度然后利用三角形的面积公式求得AB边上的高的长度【详解】如图所示：根据题意可得：AC＝mcosαBC＝msinα∴AC•BC
解析：m sinαcosα
【分析】
利用直角三角形中的余弦三角函数的定义求得AC的长度，然后利用三角形的面积公式求得AB边上的高的长度．
【详解】
如图所示：
根据题意可得：AC＝m cosα，BC＝m sinα，
∴1
2AC•BC＝
1
2
mh，即h＝m sinαcosα，
故答案是：m sinαcosα．
【点睛】
考查了解直角三角形．解题关键利用了三角函数的定义求得直角三角形两条直角边的长．15．4【解析】分析：由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD进而可得出∠ACE=∠DCE由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出
∠DCE=∠DCB结合∠ACB=90°可求出∠ACE∠A的度
解析：4
【解析】
分析：由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD，进而可得出∠ACE=∠DCE，由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合∠ACB=90°可求出∠ACE、∠A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度．
详解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，
∴CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．∵CD平分∠BCE，∴∠DCE=∠DCB．∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=1
3
∠ACB=30°
，∴∠A=60°，
∴AB=
23
603
BC
sin
=
︒=4．
故答案为4．
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．
16．【分析】沿AB作垂线与C的延长线相交于M点可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形根据三角函数求解即可【详解】解：如图连接AC并过B点作BM⊥CM设BM=k∵AD＝CD∠D=60°∴△ACD是
解析：
6 2
【分析】
沿AB作垂线与C的延长线相交于M点，可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形，根据三角函数求解即可.
【详解】
解：如图
连接AC并过B点作BM⊥CM，设BM=k，
∵AD＝CD，∠D=60°,
∴△ACD是等边三角形，AD=AC，
∵∠A＝105°，∠B＝120°，∠DAC=60°,
∴∠MBC=60°，∠BCM=30°，∠BAC=45°，
∵BM=k，
∴BC=2k ，MC=BM tan 30=3k ， ∵∠BAC=45°，
∠MCA=45°， ∴AD=AC=MC 3k sin 4522
==6k ，
∴
6k 6==AD BC . 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值和公式的应用，正确应用公式和作出辅助线是解题的关键.3tan 30=，sin45=22
. 17．【分析】当m 从变化到时点N 相应移动的路经是一条线段只需考虑始点和终点位置即可解决问题当m=时连接PM 如图1点M 从点A 绕着点P 逆时针旋转了一周的从而可得到旋转角为120°则∠APM=120°根据PA=
解析：233
【分析】
当m 从13
变化到23时，点N 相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m=13时，连接PM ，如图1，点M 从点A 绕着点P 逆时针旋转了一周的13
，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM 可得∠PAM=30°，在Rt △AON 中运用三角函数可求出ON 的长；当m=
23时，连接PM ，如图2，点M 从点A 绕着点P 逆时针旋转了一周的
23，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON 的长，问题得以解决．
【详解】
解：①当m=13
时，连接PM ，如图1，
∠APM=1
3
×360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1×3
=
3
．
②当m=2
3
时，连接PM，如图2，
∠APM=360°-2
3
×360°=120°，
同理可得：
3
综合①、②可得：点N
3323
23
【点睛】
本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．
18．（）【分析】由三角函数的定义得到AC得出AC+BC的长度由矩形的面积即可得出结果【详解】在Rt△ABC中（米）∴AC+BC=米∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）；故答案为：（）【点睛】本题考
解析：（2+23
【分析】
由三角函数的定义得到AC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【详解】
在Rt△ABC中，
23
3
BC
AC
tanθ
===
∴AC+BC=(2+23)米，
∴地毯的面积至少需要1×（2+23=（2+232）；故答案为：（2+23）．
【点睛】
本题考查了勾股定理、矩形面积的计算；由三角函数求出BC是解决问题的关键．
19．5【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角形POD中利用锐角三角函数定义求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN求出MD的长由OD-MD即可求出OM的长【详解】过P作PD
解析：5．
【分析】
过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD-MD 即可求出OM的长．
【详解】
过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°
1
2 OD OP
==，OP=12，
∴OD=6．
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND1
2
=MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．
故答案为：5．
【点晴】
本题考查的是勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
20．75°【分析】根据非负数性质得根据三角函数定义求出∠A=60°∠B=45°根据三角形内角和定理可得【详解】因为所以所以所以∠A=60°∠B=45°所以
∠C=180°-∠A-∠B=75°故答案为：75
解析：75°
【分析】
根据非负数性质得
1
cos0,1tan0
2
A B
-=-=，根据三角函数定义求出∠A=60°，
∠B=45°，根据三角形内角和定理可得.【详解】
因为()21cos 1tan 02A B -
+-= 所以1cos 0,1tan 02A B -
=-= 所以1cos ,tan 12
A B == 所以∠A=60°，∠B=45°
所以∠C=180°-∠A-∠B=75°
故答案为：75°
【点睛】
考核知识点：特殊锐角三角函数．熟记特殊锐角三角函数值是关键．
三、解答题
21．（1）5.02；（2）QOP αβ∠=+ ；(3)2.71
【分析】
（1）过O 作OA ⊥PM ，与MP 的延长线交于点A ，根据互余角的性质求得∠OPA =70°，再解直角三角形得AP ，进而求AM ；
（2）根据切线的性质求出∠OPC 和∠OQB 的度数，再通过邻补角的性质求得∠PCB 和∠QBC ，最后根据五边形的内角和求得∠POQ ；
（3）过O 作OD ⊥NQ ，与NQ 的延长线交于点D ，仿（1）题方法求得DQ ，再由圆心O 距离地面的高度减去DQ 便可得QN ．
【详解】
（1）过O 作OA ⊥PM ，与MP 的延长线交于点A ，连接OP ，如图1，
则OP =3cm ，∠OAP =90°，
∵CP 是⊙O 的切线，
∴∠OPC =90°，
∴∠PCM +∠MPC =90°，∠APO +∠MPC =90°，
∴∠APO =∠PCM =70°，
∴PA =OP •cos70°≈3×0.34=1.02（cm ），
∴圆心O 距离地面的高度：AM =AP +PM =1.02+4=5.02（cm ）；
（2）∵BQ 与CP 都是⊙O 的切线，
∴∠OPC =∠OQB =90°，
∵∠PCM=α，∠QBN=β，
∴∠PCB=180α︒-，∠QBC=180β︒-，
∴∠POQ =540°﹣90°﹣90°﹣(180α︒-)﹣(180β︒-)=αβ+，
∴∠POQ =7040110αβ+=︒+︒=︒；
（3）过O 作OD ⊥NQ ，与NQ 的延长线交于点D ，如图3，
按（1）的方法得，∠OQD =∠NBQ =40°，
∴DQ =OQ •cos40°≈3×0.77=2.31（cm ），
由（1）知，圆心O 距离地面的高度5.02cm ，DN=5.02cm
∴QN =DN -DQ =5.02﹣2.31=2.71（cm ）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线性质，多边形内角和定理，正确构造直角三角形是解题的关键所在．
22．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）由90C DBF ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，推出DBF DAC ∠=∠，由此即可证明；
（2）先证明AD BD =，由ACD △∽BFD △，得1AC AD BF BD
==，即可解决问题． 【详解】
（1）证明：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，
∴90BDF ADC BEC ∠=∠=∠=︒，
∴90C DBF ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，
∴DBF DAC ∠=∠，
∴ACD △∽BFD △． （2）∵tan 1ABD ∠=，90ADB ∠=︒，
∴
1AD BD
=， ∴AD BD =，
∵ACD △∽BFD △，
∴1AC AD BF BD
==， ∴3BF AC ==．
【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
23．152.2
【分析】
过点A 作AD BC ⊥于点D ，根据仰角和俯角的定义得到BAD ∠和CAD ∠的度数，利用特殊角的正切值求出BD 和CD 的长，加起来得到BC 的长．
【详解】
解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，
根据题意，30BAD ∠=︒，60CAD ∠=︒，66AD m =，
3tan 3066223BD AD m =⋅︒==， tan 60663663CD AD m =⋅︒==，
223663883152.2BC m =+=≈．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握利用特殊角的三角形函数值解直角三角形的方法．
24．223BC =+ 【分析】
如图，过A 点作AD ⊥BC 于D 点，把一般三角形转化为两个直角三角形，然后分别在两个直角三角形中利用三角函数，即可求出BC 的长度．
【详解】
解：过点A 作AD BC ⊥于点D ，如图所示．
在Rt △ABD 中，90ADB ∠=︒，45B ∠=︒，22AB = ∴2sin 222AD BD AB B ==⋅∠==． 在Rt ACD △中，90ADC ∠=︒，30C ∠=︒，2AD =，
∴24AC AD ==，323CD ==
∴223BC BD CD =+=+
【点睛】
本题主要考查了利用直角三角形解斜三角形，考查了三角函数的运用，解答本题的关键是熟练运用三角函数求解．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）5
【分析】
（1）连结OB ，根据圆周角定理得到∠ABC=90°，证明△AOP ≌△BOP ，得到
∠OBP=∠OAP ，根据切线的判定定理证明；
（2）连结AE ，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE=90°，证明EA 平分∠PAD ，根据三角形的内心的概念证明即可；
（3）根据余弦的定义求出OA ，证明△PAO ∽△ABC ，根据相似三角形的性质列出比例式，
计算即可．
【详解】
（1）证明：连结OB ，
∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ABC ＝90°，
∵AB ⊥PO ，
∴PO ∥BC
∴∠AOP ＝∠C ，∠POB ＝∠OBC ，
OB ＝OC ，
∴∠OBC ＝∠C ，
∴∠AOP ＝∠POB ，
在△AOP 和△BOP 中，
OA OB AOP POB PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOP ≌△BOP （SAS ），
∴∠OBP ＝∠OAP ，
∵PA 为⊙O 的切线，
∴∠OAP ＝90°，
∴∠OBP ＝90°，
∴PB 是⊙O 的切线；
（2）证明：连结AE ，
∵PA 为⊙O 的切线，
∴∠PAE +∠OAE ＝90°，
∵AD ⊥ED ，
∴∠EAD +∠AED ＝90°，
∵OE ＝OA ，
∴∠OAE ＝∠AED ，
∴∠PAE ＝∠DAE ，即EA 平分∠PAD ，
∵PA 、PB 为⊙O 的切线，
∴PD 平分∠APB
∴E 为△PAB 的内心；
（3）解：∵∠PAB +∠BAC ＝90°，∠C +∠BAC ＝90°，
∴∠PAB ＝∠C ，
∴cos ∠C ＝cos ∠PAB
在Rt △ABC 中，cos ∠C ＝
BC AC ＝1AC ，
∴AC ，AO ＝
2， ∵△PAO ∽△ABC ， ∴PO AO AC BC
=，
∴PO ＝AO AC
BC ⋅＝21
5． 【点睛】
本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．钟楼AB 的高度约为56m
【分析】
作DF ⊥AB 于F ，根据矩形的性质得到FB ＝DE ＝10，DF ＝BE ，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【详解】
解：作DF ⊥AB 于F ，
设AB ＝xm ，
∵FB ⊥EB ，DE ⊥EB ，DF ⊥AB ，
∴四边形FBED 为矩形，
∴FB ＝DE ＝10，DF ＝BE ，
∴AF ＝10﹣x ，
在Rt △AFD 中，∠ADF ＝45°，
∴DF ＝AF ＝x ﹣10，
在Rt △ABC 中，∠ACB ＝53°，tan ∠ACB ＝
AB BC ， ∴BC ＝3tan 4
AB x ACB ≈∠， 由题意得，BE ﹣BC ＝CE ，即x ﹣10﹣
34x ＝4， 解得，x ＝56，
答：钟楼AB 的高度约为56m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。