精研细磨｜双曲线焦点三角形全解析

双曲线的焦点三⾓形，
其实本没打算去写的。

毕竟，
很多时候，
它和椭圆的焦点三⾓形那么相似。

可是想想，
毕竟客观题还是会考，
觉得还是要写个简单点、
但更直观点的东西。

所以，
今天的主要⽬标就是记忆了。

⽆题……
定义当然是和椭圆⼀样的了。

焦点三⾓形ΔP F1F2：
双曲线的上⼀点（⾮实轴端点）与两个焦点构成的三⾓形称为焦点三⾓形。

其中∠F1P F2为顶⾓θ，F1F2为底边。

焦点三⾓形三边关系
因为焦点三⾓形的顶点在双曲线上，
因此⼀定会满⾜双曲线定义的。

则有：||P F1|-|P F2||=2a.
当然，
⼀定还有|P F1|-|P F2|<|F1F2|的。

焦点三⾓形顶⾓
和椭圆的封闭性不同，
双曲线是个开放型曲线。

因此，
焦点三⾓形的顶⾓θ，
虽也是⼀个变量，
但变化规律就有点简单了。

从图中不难看出，
点P从顶点处出发时，
顶⾓θ应该是⼀直越来越⼩的。

因此：0°<θ<180°
看，
并没有椭圆中那么烦琐。

因为记得椭圆⾥，
要寻找⾓的最⼤值，
似乎还要⽤到余弦定理的吧。

焦点三⾓形的⾯积记得椭圆中，
结合定义及余弦定理，
推导出了椭圆焦点三⾓形的⾯积公式。

那个我⼀真以为，
真的很美的的式⼦。

那么在双曲线⾥，
会不会也有这么美好的结论呢？
看看这个结论，
就觉得很有点意思了。

原来，
两个曲线的焦点三⾓形⾯积，
真的是有很强的可⽐性的。

椭圆、双曲线，定义中⼀加、⼀减，
却原来，
⾯积竟会是⼀乘⼀除的。

当然，
为了更好地利⽤这个⾯积，
和椭圆⼀样，
使⽤时也会经常的，
将之与点P的纵坐标结合在⼀起。

从⽽建⽴了，
⾯积与坐标之间的深厚友谊。

当然，
你也别忘了，
利⽤内切圆半径与⾯积的关系，
也可以实现⾯积与内切圆半径之间的，
相互转换了。

焦点三⾓形与离⼼率椭圆中，
焦点三⾓形与离⼼率之间是有关系的。

这种关系，
可以从⼏何与代数两个⾓度去分别去刻画。

在双曲线中，
如果你愿意分析，
其实也有类似的结论.
①离⼼率的代数解释:
②离⼼率的⼏何解释:
③离⼼率与底⾓：
焦点三⾓形内⼼与旁⼼三⾓形有三个旁⼼和⼀个内⼼，
⽽旁⼼，
名如其⼼，
真的是在三条边的旁边，
⼀边⼀个⼼。

右焦半径所对旁⼼轨迹
左焦半径所对旁⼼轨迹其实，
旁⼼的轨迹确实还是挺⿇烦的。

细⼼如你，
能从图中看出两腰所对旁⼼的轨迹特征么?
如果仔细观察,
可以得到下⾯这些挺有意思的结论:
①左旁⼼轨迹为左侧两⽀双曲线;
右旁⼼轨迹为右侧两⽀双曲线。

②顶点位于左⽀：
左旁⼼张⼝⼩,右旁⼼张⼝⼤；
顶点位于右⽀：
右旁⼼张⼝⼩,左旁⼼张⼝⼤.
③底边所对旁⼼:
顶点在左⽀时，旁⼼轨迹为x=a，
顶点在右⽀时，旁⼼轨迹为x=-a。

④内⼼：
顶点在右侧时，内⼼轨迹为x=a；
顶点在左侧时，内⼼轨迹为x=-a。

顶⾓平分线垂线过焦点做焦点三⾓形顶⾓平分线的垂线，
垂⾜⼜会怎么样呢？
嗬嗬，
了不得，
垂⾜的轨迹竟是个圆！
可是冷静点，
从数量关系着⼿分析，
证明其实简单的。

毕竟，
只是两条直线的交点。

那么，
你能试下这个结论的证明么？
焦点三⾓形重⼼
椭圆中，
焦点三⾓形的重⼼，
轨迹依然是椭圆。

其实主要原因，
是因为重⼼公式的线性特征。

那么双曲线⾥，
重⼼的轨迹也是类似的.
焦点三⾓形外⼼
因为y轴是F1F2的中垂线，
所以，
理所当然的，
外⼼就在y轴上了。

只是因为有渐近线的限制，
外⼼的轨迹，
其实也只能是⼀条线段⽽已。

⽽且端点是空⼼的。

焦点三⾓形光学性质和椭圆类似，
从焦点发出的光线，
经双曲⾯反射后，
反射光线的反向延长线，
⼀定会经过另⼀个焦点的。

光
线
反
射
法
线
与
切
线
显然的，
曲线在顶点P处的⾓平分线，
便是在点P处的切线了。

嗯，
求⾓平分线⽅程时
如果利⽤切线与⾓平分线的这种关系，是不是很爽歪歪呢！。