高中数学知识点精讲精析 平行关系的判定
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中有着重要的作用。
本文将重点讨论向量的平行与垂直关系的判定及其在解题中的运用。
一、向量的平行关系判定两个向量平行的判定方法有多种，我们可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向相同且长度成比例：若向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=k*b（k为非零实数），则向量a与向量b平行。
例如，已知向量a=2i+3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=2*(2i+3j)，因此向量a与向量b平行。
2. 内积为零：若向量a与向量b的内积等于零，即a·b=0，则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的内积为a·b=(3i-2j)·(2i+3j)=6-6=0，因此向量a与向量b垂直。
二、向量的垂直关系判定两个向量垂直的判定方法同样有多种，我们也可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向互为相反且长度成比例：若向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-k*b（k为非零实数），则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=-2i-3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-2*(2i+3j)，因此向量a与向量b垂直。
2. 外积为零：若向量a与向量b的外积等于零，即a×b=0，则向量a与向量b 平行或共线。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的外积为a×b=(3i-2j)×(2i+3j)=13k，由于外积不等于零，因此向量a与向量b不平行也不垂直。
三、运用示例向量的平行与垂直关系在解题中有着广泛的应用。
下面通过几个具体的题目来说明。
题目一：已知向量a=3i-4j，向量b=-2i-6j，判断向量a与向量b的关系。
高一数学平行关系知识点
高一数学平行关系知识点平行关系是数学中重要的概念之一，它在几何学、代数学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍高一数学中的平行关系知识点，包括平行线的定义、性质以及平行线的判定方法。
一、平行线的定义在几何学中，两条直线被称为平行线，当且仅当它们在平面上没有公共的交点，且在无穷远处永不相交。
记作l || m，其中l和m为直线的名称。
二、平行线的性质1. 平行线具有传递性：如果直线l || m，且直线m || n，则直线l || n。
2. 平行线具有对称性：如果直线l || m，则直线m || l。
3. 平行线具有反身性：任意一条直线都和自身平行。
4. 平行线具有等价关系：如果直线l || m，且直线m || n，则直线l || n。
三、平行线的判定方法1. 利用对应角相等：如果两条直线l和m之间的对应角相等或互补（和为180度），则l || m。
2. 利用平行线的特性：如果一条直线与两个平行线分别交于两个不同点，并且得到的两个对应角相等，则该直线与这两条平行线平行。
3. 利用转折线的干涉定理：如果一条横穿两个平行线的转折线与其中一条平行线的交点与另一条平行线的交点分别形成等角，则这两条直线平行。
四、平行线的应用平行线在数学中有着广泛的应用，尤其在几何学和代数学中常常被用于证明和求解问题。
1. 平行线的应用于几何证明中，可以用于判定线段之间的关系，如全等三角形中的对应线段平行、角平分线上的切线平行等。
2. 平行线的应用于平面图形的性质研究中，如平行四边形、梯形等的性质可以通过平行线的关系进行推导和证明。
3. 平行线的应用于代数方程中，如解线性方程组时，可以利用平行线的关系来判断是否有无解或唯一解。
综上所述，高一数学中的平行关系知识点涵盖了平行线的定义、性质与判定方法，并介绍了平行线在几何学和代数学中的应用。
通过熟练掌握和灵活运用平行线的相关知识，可以提高解题的效率和准确性，为数学学习打下坚实的基础。
高中平行定理和判定定理
高中平行定理和判定定理高中平行定理和判定定理一、高中平行定理平行线是初中数学学习的重点内容之一，而在高中数学中，平行线更是升级为了一个重要的研究对象。
在高中数学中，我们需要掌握的不仅仅是如何判断两条直线是否平行，还需要了解一些关于平行线的性质和定理。
其中，最基础也最重要的就是高中平行定理。
1、定义在直角坐标系上，如果两条直线斜率相等，则这两条直线互相平行。
2、证明（1）设两条直线分别为l1:y=kx+b1和l2:y=kx+b2（k≠0）。
（2）若l1与l2互相平行，则它们的斜率相等：k1=k2。
（3）若k1=k2，则有：$$\frac{y-y_0}{x-x_0}=k_1=\frac{y-y_0'}{x-x_0'} $$（4）移项得：$$y-y_0=k_1(x-x_0)\\y-y_0'=k_1(x-x_0')$$（5）整理得：$$y=kx+b\\y=kx+b'$$其中，$$b=y_0-kx_0\\b'=y_0'-kx_0'$$因此，两条直线的解析式为：$$l1:y=kx+b1\\l2:y=kx+b2$$斜率相等，即k1=k2，所以b1≠b2。
因此，两条直线互相平行。
3、应用高中平行定理是判断两条直线是否平行的重要依据。
它可以应用于各种数学问题中，如证明三角形的顶点是否在同一条直线上、证明四边形是否为平行四边形等。
二、高中平行判定定理高中平行判定定理是指根据图形特征来判断两条直线是否平行的方法。
在实际问题中，我们常常需要快速准确地判断两条直线是否平行，这时就需要使用高中平行判定定理。
1、定义如果在一个三角形内，有一条边与另一条边不重合且不共线，则这两条边所对的角相等，则另外一边与这两边所对的角所夹成的角也相等。
2、证明（1）如图，在△ABC内部作DE∥BC，则有∠ADE=∠ABC和∠AED=∠ACB。
（2）因为DE∥BC，所以有：$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$（3）将AE和EC分别代入上式得：$$\frac{AD}{DB}=\frac{AB}{BC}\\\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}$$（4）由于AB≠AC，所以有：$$\frac{AD}{DB}=\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}$$（5）整理得：$$AB=AC$$因此，∠ABC=∠ACB。
高考数学平行垂直知识点
高考数学平行垂直知识点高考数学中的平行垂直知识点高考是每个学生都无法绕过的一道坎。
而在这道坎上，数学一直被视为是考试重点科目之一。
其中，平行和垂直是数学中非常重要的概念和知识点。
在高考中，我们经常会遇到与平行垂直相关的问题。
本文将深入探讨高考数学中的平行垂直知识点。
一、平行线及其判定平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
在高中数学中，我们通常通过两个条件来判断两条直线是否平行：同一平面内，有且只有一对内角相等；同一平面内，有且只有一对对应角相等。
这两个条件可以帮助我们判定平面内任意两条直线的平行关系。
除了判定平行关系外，我们还经常会遇到一些与平行线相关的问题。
例如，两条平行线所夹的角等于180°减去这两条平行线与另一直线的两个内角，这个公式被广泛应用于解决许多与平行线夹角有关的题目。
二、垂直线及其判定垂直线是指在同一个平面上，相交沿特定角度交相垂直的两条直线。
在高中数学中，我们通常通过两个条件来判断两条直线是否垂直：两条直线的斜率乘积为-1；同一平面上，一条直线与另一直线的两个内角相加等于二直角的度数（90°）。
在实际应用中，我们还经常会用到垂直线的性质。
例如，在求解垂直线段的问题中，我们可以利用勾股定理来计算两条垂直线段之间的关系。
此外，我们还会遇到一些根据垂直线的性质来推论的问题，需要我们根据给定条件进行推断。
三、平行线与垂直线的性质平行线和垂直线在几何中有许多重要的性质。
其中，平行线的性质主要包括：平行线之间的夹角相等；两个平行线被一条横穿线切割，所形成的对应角、内错角以及同旁内角是相等的。
这些性质在解题过程中经常会被用到，它们帮助我们更好地理解平行线的特性。
垂直线的性质则包括：垂直直线之间的夹角为直角（90°）；两条直线互相垂直，其中一条直线上的一条直线与另一条直线上的互相垂直。
这些性质在解决垂直问题时也起着重要的作用，它们可以帮助我们确定直角关系并简化问题。
高中数学高考总复习---直线、平面平行的判定和性质知识讲解及考点梳理
例 1、【高清课堂：直线、平面平行的判定与性质例 1】 如图所示，已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。 证明：PQ//平面 BCC1B1
【证明】方法一：如图，取 B1B 中点 E,BC 中点 F，连接 PE、QF、EF， 因为在三角形 A1B1B 中，P、E 分别是 A1B 和 B1B 的中点，
举一反三： 【变式】（2015 春 澄城县期末）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形， ED⊥面 ABCD，连结 AC，AC∩BD=O， （Ⅰ）求证：面 BCF∥面 AED； （Ⅱ）求证：AO 是四棱锥 A﹣BDEF 的高．
【证明】（Ⅰ）在矩形 BDEF 中，FB∥ED， ∵FB 不包含于平面 AED，ED 平面 AED， ∴FB∥平面 AED， 同理，BC∥平面 AED， 又 FB∩BC=B， ∴平面 FBC∥平面 EDA． （Ⅱ）解：∵ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∵ED⊥面 ABCD，AC 面 ABCD，
2
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2、 符号语言： 3、 面面平行的另一性质： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
符号语言：
．
要点诠释：
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化
归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行 化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。 【典型例题】
。
考点四、平面与平面平行的性质 4、 平行平面的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
平行线及其判定知识点总结
平行线及其判定知识点1：平行线的定义及平面内两直线的位置关系定义:在同一平面内，的两条直线叫做平行线，直线a，b平行，记作。
在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系: 。
说明1(1)在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行与相交两种，若没有特别说明，“重合”视为一条直线。
(2)平常所说的“两条射线平行，两条线段平行”都是指它们所在的直线平行(3)平行线的定义有三个特征：一是在同一平面内；二是两条直线；三是不相交。
三者缺一不可。
例题：下列说法中，正确的是（）A.两条不相交的直线叫做平行线B.一条直线的平行线有且只有一条C.若直线a∥b，b∥c，则a∥eD.若两条线段不相交，则它们互相平行【分析】根据平行线的定义、平行公理的推论来判断【解析】A选项中缺少“在同一平面内”这个条件，故A选项错误。
若没有其条件限制，一条直线的平行线有无数条，故B选项错误。
平行于同一直线的两条直线平行，故C选项正确。
根据平行线的定义可知D选项错误.故选C知识点2：平行公理平行公理：经过一点.有且只有一条直线与这条直线平行。
（注意：①平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，它和垂线的性质不同②“有且只有＂强调直线的存在性和唯一性）如图，经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行·Pa例题：下列说法正确的是（）A.在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行C.经过一点有且只有一条线段与已知线段平行D.过一点有且只有一条直线与己知直线垂直【解析】A选项中“在同一平面内”这个条件，不影响后半向的对错。
“过直线外一点有一条直线与已知直线平行”说的是存在性，即过直线外一点肯定有一条直线与已知直线平行，故A选项正确。
B选项错误，因为若经过直线上一点，则没有直线与已知直线平行。
C选项错误，道理同B选项。
D选项错误，因为缺少“在同一平面内”这个大前提，D选项中结论不成立，如图，AB，BC，BD是正方体的三条棱，它们两两垂直，且都经过点B，若把AB看作已知直线，则经过点B有两条直线BC，BD与已知直线AB垂直知知识点3：平行公理的推论平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也。
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。
高中数学知识点精讲精析 平行关系的性质
1.5.2 平行关系的性质（一）直线与平面平行的性质1.性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2.直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行.（二）平面与平面平行的性质1.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.2.平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面.3.平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，那么夹在这两个平面之间的平行线段相等.4.平面与平面平行的性质：平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.4.两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”.用符号表示是：α∥β，a α，则a ∥β.5.如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”.用符号表示是：α∥β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a ∥b.6.一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.这个定理可用于证线面垂直.用符号表示是：α∥β，a ⊥α，则a ⊥β.7.夹在两个平行平面间的平行线段相等.8.过平面外一点只有一个平面与已知平面平行.9.两平行平面的距离及求法两个平行平面的距离：我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离平行线间的距离说明：两个平行平面的公垂线段都相等.[例1] 下列说法正确的是（ ）.A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B. 平行于同一平面的两条直线平行C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行答案：D[例2]在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.A. α.β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l .m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l .m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β答案：D[例3] 如右图，在正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，M .N .P 分别是 C 1C .B 1C 1.C 1D 1 d =的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明：连结B1D1，∵P.N 分别是D1C1.B1C1 的中点，∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN 不在平面A1BD 上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD. 又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD. [例4] 下列说法正确的是（）.A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行答案：C[例5]下列说法正确的是（）.A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行答案：D。
北师大版高一数学必修2《平行关系的判定》
5.1 平行关系的判定知识点一、直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒.要点诠释：（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件：①直线a 在平面α外，即a α⊄；②直线b 在平面α内，即b α⊂；③直线a ，b 平行，即a ∥b ．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．（2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．知识点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 图形语言：若a α⊂、b α⊂，a b A =，且//a β、//b β，则//αβ. 符号语言：要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面面平行．知识点三、平面与平面平行的判定定理的推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
题型讲解：题型一：直线与平面平行的判定利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的步骤：找→在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线↓证→证明已知直线平行于找到（作出）的直线↓结论→由判定定理得出结论例1：如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点。
求证：EF//平面A1DG。
解题模板：利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形的性质、三角形中位线、平行公理等找平行线。
题型二：判定平面与平面平行的常用方法1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行。
高一数学必修2第二单元知识点：直线、平面平行的判定及其性质
高一数学必修2第二单元知识点：直线、平面平行的判定及其性质(实用版)编制人：__审核人：__审批人：__编制单位：__编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如工作总结、述职报告、心得体会、工作计划、演讲稿、教案大全、作文大全、合同范文、活动方案、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!And, this store provides various types of practical materials for everyone, such as work summaries, job reports, insights, work plans, speeches, lesson plans, essays, contract samples, activity plans, and other materials. If you want to learn about different data formats and writing methods, please pay attention!高一数学必修2第二单元知识点：直线、平面平行的判定及其性质数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，本店铺准备了高一数学必修2第二单元知识点，希望你喜欢。
平行线及其判定知识点总结
平行线及其判定知识点总结平行线，是解析几何中比较基础的一个概念。
几何上，两个直线如果在同一平面内不相交，则称这两条直线平行。
平行线具有很多性质和特点，也有很多的判定方法。
在数学考试中，平行线常常与其他几何概念联系在一起，考查学生对几何性质的掌握和理解。
本文将从各个角度总结平行线及其判定知识点。
一、平行线的定义平行线的定义是：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
这个定义是解析几何中最基础的概念之一，也是其他关于平行线的定义和性质的基础。
二、平行线的性质1. 平行线上的所有点到另一条直线的距离相等。
2. 两条平行线的任意一组对应角都相等。
3. 平行线与另一条直线之间的对应角相等。
4. 平行线所夹区域的内部角和是180度。
5. 如果两条直线与同一直线相交，使得相邻角的和等于180度，则这两条直线是平行线。
以上这些性质都是与平行线紧密相关的。
在解决几何问题时，这些性质能够帮助我们推导出其他几何关系。
三、平行线的判定方法1. 相关角判定法如果两条直线与同一直线相交，使得相邻角的和等于180度，则这两条直线是平行线。
此时，相邻角被称为“内错角”。
如图，直线L1和L2相交于直线a，相邻角∠1和∠2相加为180度，因此L1 || L2。
2. 平行线夹角判定法在一个平行四边形中，两组对角线是相互平分的。
如果一条线段与一个平行四边形的两条对角线相交，且这两个角相等，则这条线段与平行四边形的另一条边平行。
如图，设∠DAB = ∠DCB，则AB || CD。
3. 垂线判定法如果两条直线在同一平面内，并且任意一条直线上有一点垂直于另一条直线，那么这两条直线是平行的。
如图，直线a上的点C垂直于直线b，因此a || b。
4. 距离判定法如果两条直线在同一平面内，且它们上面的任何一条平行线距离相等，则这两条直线是平行的。
如图，AB = CD，因此直线AB || 直线CD。
5. 三角形内部角和判定法如果一个三角形的两个角分别与一条直线相交，那么这条直线与另一个角的对边边平行，当且仅当这两个角的和等于180度。
高中平行定理和判定定理
高中平行定理和判定定理1. 简介高中数学中，平行定理和判定定理是平行线相关的重要定理，它们在几何证明和问题求解中起着重要的作用。
本文将对这两个定理进行详细的介绍和探讨。
2. 平行定理平行定理是指在平面几何中，若两条直线被一条平行线所截断，那么截断所得的对应线段之比相等。
平行定理主要有以下几个方面的内容：2.1 基本定理基本定理是平行定理的核心内容，它表明如果两条直线被一条平行线所截断，那么截断所得的对应线段之比相等。
具体而言，设直线AB和CD被直线EF所截断，若AE/EB = CF/FD，那么AB // CD。
2.2 线段比例定理线段比例定理是平行定理的一种推论，它表明如果两条直线被一条平行线所截断，那么截断所得的两对对应线段之比相等。
具体而言，设直线AB和CD被直线EF所截断，若AE/EB = CF/FD，且AE/CF = EB/FD，那么AB // CD。
2.3 倍数定理倍数定理是平行定理的另一种推论，它表明如果两条直线被一条平行线所截断，那么截断所得的两对对应线段之比相等的倍数也相等。
具体而言，设直线AB和CD被直线EF所截断，若AE/EB = CF/FD，那么AE/CF = EB/FD。
3. 判定定理判定定理是指在平面几何中，若两条直线之间的夹角与一条已知直线的夹角相等，则这两条直线平行。
判定定理主要有以下几个方面的内容：3.1 基本定理基本定理是判定定理的核心内容，它表明如果两条直线之间的夹角与一条已知直线的夹角相等，则这两条直线平行。
具体而言，设直线AB与直线CD之间的夹角等于直线EF与直线CD之间的夹角，那么AB // EF。
3.2 互补定理互补定理是判定定理的一种推论，它表明如果两条直线之间的夹角与一条已知直线的补角相等，则这两条直线平行。
具体而言，设直线AB与直线CD之间的夹角等于直线EF与直线CD的补角，那么AB // EF。
3.3 相关定理判定定理还有一些相关定理，它们根据具体的条件和要求进行推导和应用。
高三数学平行线定理知识点
高三数学平行线定理知识点在高中数学中，平行线定理是一个重要的知识点。
它涉及到平行线与直线和角度的关系，通过理解和掌握这些定理，我们可以更好地解决平行线相关的问题。
本文将介绍一些常见的平行线定理，包括平行线的判定定理、平行线的性质定理以及平行线与直线的截距定理。
一、平行线的判定定理平行线的判定定理是我们判断两条线是否平行的基础。
根据平行线的定义，我们可以得到以下几个平行线的判定定理：1. 两条直线被一组平行线所截断时，它们是平行线。
也就是说，如果两条直线的截距比相等，那么它们就是平行线。
2. 相交线被一组平行线所截断时，分切线段成相等的部分比相等时，它们是平行线。
3. 若一条线与两条平行线相交，那么它与这两条平行线的交点的两个对内角相等。
这个定理也被称为同位角定理。
以上几个定理给出了平行线的具体判定条件，掌握了这些定理，我们便能够准确地判断给定线段或角之间的平行关系。
二、平行线的性质定理平行线的性质定理是平行线理论的重要组成部分，通过它们，我们可以推导出一些附加的结论。
1. 平行线内的任意一对同位角相等，即同位角定理的逆定理。
2. 平行线外的任意一对同位角相等，即同位旁定理。
3. 两条平行线被一组相交线截得的内部对应角、外部对应角互为补角。
这些定理的掌握是解决平行线问题的基础，通过运用这些定理，我们可以快速推导出平行线相关问题的解答。
三、平行线与直线的截距定理平行线与直线的截距定理是对平行线相关问题的一种重要应用。
这个定理是从平行线的定义中推导出来的。
根据平行线的定义，如果两条平行线分别与同一条直线相交，那么它们与这条直线截取的线段比相等。
基于这个定理，我们可以应用它来解决各种几何问题。
例如，在求解平面几何的图形面积时，我们可以利用平行线与直线的截距定理将一些复杂的图形转化为简单的几何形式，从而求得准确的面积值。
综上所述，平行线定理是高中数学中一个重要的知识点。
通过学习和掌握这些定理，我们能够准确地判断平行线的关系，推导出一系列的附加结论，并应用它们来解决各种几何问题。
高中数学 第一章立体几何初步1.5.1 平行关系的判定
平行平面间距离公式及应用
平行平面间距离公式
若两平面$pi_1:Ax+By+Cz+D_1=0$ 和$pi_2:Ax+By+Cz+D_2=0$平行， 则它们之间的距离$d$为 $d=frac{|D_1D_2|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。
应用
利用平行平面间距离公式，可以求解 两个平行平面之间的距离，进而解决 与距离相关的问题，如点到平面的距 离、两个平行平面之间的线段长度等 。
著等。
了解平行关系在数学领域的应用 和发展，拓宽自己的知识面和视
野。
尝试理解和掌握一些高级的数学 方法和技巧，提高自己的数学素
养和能力。
思考如何将所学知识应用到实际生活中
思考平行关系在建筑、工程、物理等 领域的应用，如平行线在建筑绘图中 的应用、平行面在机械设计中的应用 等。
通过实践和应用，加深对平行关系知 识的理解和掌握，提高自己的实践能 力和创新能力。
要的应用价值。
03
应用
利用平行关系和相应的性质，可以在几何证明中简化问题、构造辅助线
或辅助平面，从而找到解决问题的突破口。同时，平行关系也是解决一
些复杂几何问题的重要工具之一。
04
典型例题分析与解答
判断两直线是否平行例题
分析
要证明两条直线平行，可以通过证明它们所在的两个平面平行来实现。
解答
连接$BD$和$AC$，由于$E,F$是$AB,BC$的中点，所以$EF parallel AC$。又因为$AC parallel A_{1}D_{1}$（正方体对棱平行），所以$A_{1}D_{1} parallel EF$。
Байду номын сангаас
平行判定的三个方法判断
平行判定的三个方法判断嘿，咱今儿就来讲讲平行判定的三个方法！这可真是个有意思的事儿啊。
你想想看，那两条线就像是两个小伙伴，要是它们能平行地往前走，那多和谐呀！第一个方法呢，就像是给它们设定了一个特别的规则。
如果同位角相等，嘿，那这两条线就有很大可能是平行的啦！就好比说两个小伙伴有着同样的喜好，那他们大概率能一起愉快地玩耍，对吧？再来说说第二个方法，内错角相等。
这就好像是这两条线在前进的路上遇到了一些小状况，但是它们处理问题的方式一样，那它们不就很合拍嘛，自然也就平行啦！就像两个小伙伴面对困难有着相同的应对办法，那他们肯定能并肩前行呀。
还有第三个方法，同旁内角互补。
这就有点像是两个小伙伴相互补充，一个强的地方另一个稍弱，但是合起来就特别完美，这样的他们不也能一起顺顺利利地走下去嘛，那这两条线也就平行咯！你说这是不是很神奇？通过这么几个小小的条件就能判断两条线是不是平行。
这就跟我们认识新朋友一样，通过一些细节就能知道和这个人是不是能合得来。
在生活中，我们也经常会遇到类似的情况呀。
比如说找合作伙伴，我们也得看看彼此的理念、做事方法是不是能契合，就像判断两条线平行一样。
如果不契合，那可能就会走很多弯路，甚至会闹矛盾呢。
再比如我们选择职业的时候，也得看看这个职业和我们自身的条件、兴趣是不是相符，这不也是一种类似平行判定的过程嘛。
总之啊，平行判定的这三个方法可不只是在数学里有用，在我们的生活中也能找到它们的影子呢！它们就像是给我们提供了一种思考的方式，让我们能更准确地去判断和选择。
所以啊，可别小看了这小小的平行判定方法哟！它们能带给我们的启发可多着呢！你现在是不是对这三个方法有了更深刻的理解呀？是不是觉得数学其实也挺有趣的呢？。
高中数学同步教学 平行关系的判定
推出l∥β.
探究一
探究二
探究三
反思感悟1.在判断线面平行、面面平行时,两个判定定理是重要
的依据,必须要对两个判定定理的条件做到全面、深刻的理解,忽
视条件,容易导致判断错误.
2.明确空间直线与平面、平面与平面的位置关系的分类是解决
所以不一定有l∥α.
(2)正确.由于平面α内任何一条直线平行于平面β,可在平面α内选
两条相交直线,则这两条相交直线都与平面β平行,由平面与平面平
行的判定定理可得两个平面平行.
(3)错误.当l∥α,且l∥β时,可能有α∥β,但也可能有α与β相交,事实上,
与两个相交平面的交线平行的直线与两个平面都是平行的.
§5
平行关系
5.1
平行关系的判定
Hale Waihona Puke 课 标 阐 释思1.理解直线与平面平行的判定定
理、平面与平面平行的判定定理.
2.能熟练应用两个判定定理解决
线面平行、面面平行的证明问题.
维
脉
络
1.直线与平面平行的判定定理
(1)文字叙述:若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该
直线与此平面平行.
(2)符号表示:若直线l⊈平面α,直线b⫋α,l∥b,则l∥α.
(3)图形表示:如图所示.
(4)作用:线线平行⇒线面平行.
做一做1 如图所示,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若
.求证MN∥平面BCD.
=
分析:线面平行的证明通常转化为线线平行,即要在平面BCD内
找一条直线平行于MN,由条件显然要证明MN∥BD.
高二数学两个平面平行的判定和性质人教版知识精讲
高二数学两个平面平行的判定和性质人教版【本讲教育信息】 一. 教学内容：两个平面平行的判定和性质二. 重点、难点： 1. 两个平面的位置关系 （1）平行：没有公共点 （2）相交：有一条公共直线 2. 判定方法（1）βαβαα//,//,//⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂p b a b a b a（2）βαβα//,,,//,//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫='⋂'=⋂⊂''⊂''Q b a p b a b a b a b b a a（3）βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l （4）βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫3. 性质 （1）αβαβα////a ⇒⎭⎬⎫⊂ （2）b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα（3）βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l // 4. 距离a 、b 异面α⊂a ，β//a ，β⊂b ，α//b∴ ),(),(),(),(βααβd b d a d b a d ===推论：已知βα//，任取α⊂a ，β⊂b ，且a 与b 不平行，即a 、b 异面∴ ),(),(βαd b a d =【典型例题】[例1] γαβα//,//，求证：γβ//证：γβγββαα////⎪⎭⎪⎬⎫⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l l 同理作[例2] βα//，求证：l 与α、β所成线面角相等。
证：（1）βα⊥⇒⊥l l 均︒90 （2）α⊂l 或βα////l l ⇒或β⊂l （3）l 与α、β斜交于A 、Bl P ∈，过P 作PC α⊥于C 交β于D ，连AC 、BD BC AC //⇒PBD PAC BD AC PB PA ∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫方向相同////[例3] βα//，线段GH 、GD 、HE 交α、β于A 、B 、C 、D 、E 、F ，若GA=9，AB=12，BH=16，72=∆AEC S ，求BFD S ∆。
证：FBD EAC BF AE H HA HE BD AC G GH GD ∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒=⋂⇒=⋂////方向相同219//==⇒GB GA BD AC BDAC 2816//==⇒HA HB AE BF BF AE 434773sin 21sin 21=⋅=⋅⋅⋅⋅=∆∆B BD BF AAE AC S S BFD AEC ∴ 96=∆BFD S[例4] 长方体1AC 中，3=AB ，11==BB BC（1）求证：面//1ACD 面B C A 11 （2）求：d （面1ACD ，面B C A 11）证： （1）⎪⎭⎪⎬⎫⇒⇒⇒=B C A AC B C A AD BC AD D C AB 111111111////////面同理面B C A ACD 111//面面⇒（2）∴ d （面ACD 1，面A 1C 1B ）=d （B ，面ACD 1）d =（D ，面1ACD ）721=（见前期内容）[例5] a ，b 异面，存在α、β，α⊂a ，α//b ，β⊂b ，β//a ，求证：βα//。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.5.1 平行关系的判定
（一）直线与直线平行的判定方法
1.利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；
2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 推理模式：
3.判定方法：○1○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2○2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直.
4.利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；
5.利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；
6.利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；
7.利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
8.利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行.
a l a l l ////⇒⎪⎭⎪
⎬⎫=⋂⊂βαβα
,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒α a
b
（二）直线与平面平行的判定方法
1.利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；
2.利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）.
3.利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面.
（三）平面和平面平行的判定方法
1.利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；
2.利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；
符号表示：
a β
b β
a ∩
b = P β∥α a ∥α b ∥α
3.证明两平面平行的方法：
（1）利用定义证明.利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾. （2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行.用符号表示是：a ∩b ，a α，b α，a ∥β，b ∥β，则α∥β.
（3）垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：a ⊥α，a ⊥β则α∥β. （4）平行于同一个平面的两个平面平行.
//,////αβαγβγ⇒
4.利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；
5.利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．
6.利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
例1 如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD//平面EFGH.
证明：∵EH // FG , EH Ë平面BCD ，FG Ì平面BCD ，
∴EH // 平面BCD .
又∵EH 在平面ABD内，∴EH // BD .
又∵ EH 在平面 EFGH内 , BD 不在平面 EFGH内 ,
∴ BD // 平面 EFGH .
点评：转化思维链是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行”. 此题属于教材（必修②人教A 版）中第64 页的3 题的演变, 同样还可证 AC // 平面EFGH . 例2.正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN
求证：MN∥平面BEC
分析：证线面平行⇐线线平行，需找出面BEC 中与MN 证法（一）：
作NK ∥AB 交BE 于K ，作MH ∥AB 交BC 于H ∴MH ∥NK
∵ABCD 与ABEF 是两个有公共边AB 的正方形 ∴它们是全等正方形 ∵AM=FN ∴CM=BN
又∠HCM=∠KBN ，∠HMC=∠KNB ∴△HCM ≌△KBN ∴MH=NK ∴MHKN 是平行四边形 ∴MN ∥HK ∵HK ⊂平面BEC MN ⊄平面BEC ∴MN ∥平面BEC
证法（二）：分析：利用面面平行⇒线面平行 过N 作NP ∥BE ，连MP ，∵NP ∥AF ∴FN/FB=AP/AB ∴AM=FN ，AC=BF ∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC ∴MP ∥BC ∴平面MNP ∥平面BCE ∴MN ∥平面BCE
例3（1）空间三条直线两两相交可确定几个平面？
（2）空间四条平行直线可确定几个平面？
（3）空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面？ 答案：（1）1个或3个
（2）1个，4个或6个 （3）1个，3个或4个
[例2]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E.F 分别为棱BC.C1D1 的中点. 求证：
EF ∥平面BB1D1D.
证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则OE ∥DC ， OE=1/2DC. ∵ DC ∥D1C1， DC=D1C1 ， F 为D1C1 的中点，
∴ OE ∥D1F ， OE=D1F ， 四边形D1FEO 为平行四边形.
F E
N K
A P B
M H
D C
∴ EF∥D1O.
又∵ EF不在平面BB1D1D， D1O不在平面BB1D1D，
∴ EF∥平面BB1D1D.
例4 已知直线l//平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（）.
A.平行
B. 异面
C. 相交
D. 平行或异面
答案;D。