高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.4.1 曲边梯形面积与定积分》8

o
错误!1－错误!1－错误!＝错误!
思考：以上过程中，函数f 能不能是其它曲线对应的函数？ 答：其它函数对应的过程都是一样的，只是计算时表达式有所不同。

S n ＝错误!S n ＝错误! 错误!1－错误!1－错误!＝错误!
求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．
思考: 在“近似代替”中，如果认为函数f ＝2
在区间[错误!，错误!]i ＝1,2，…，n 上的值近似地等于右端点错误!处的函数值f 错误!，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是错误!吗？取任意ξi ∈[错误!，错误!]处的函数值f ξi 作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？
答 以上方法都能求出S ＝错误!我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．
小结：在区间[错误!，错误!]i ＝1,2，…，n 上，取任意ξi ∈[错误!，错误!]处的函数值f ξi 作为近似值，结果都是一样的。

反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：1思想：以直代曲、逼近；2步骤：分割→近似代替→求和→取极限；3
o
A1,0
=2
O
B
关键：近似代替；4结果：分割越细，面积越精确．
（三）定积分的概念：
一般地，求由连续曲线=ff ≥0，直线=a 、=b 及轴所围成的曲边梯形的面积的方法是： 如
果
函数f 在区间[a ，b ]上连续，
用分点a ＝
)(1
i n
i f n a
b ξ∑=-⎰
b
a
dx
x f )(⎰
b
a
dx
x f )()(lim 1
i n
i n f n
a
b ξ∑
=+∞
→-dx
x f b
a
⎰
)( 特别地，当a =b 时，有⎰b
a
f (x )dx =0。

dx x f b a
）（⎰-)()
()()(为常数k dx x f k dx x kf b
a
b
a
⎰
⎰=⎰
⎰
⎰
±
=
±b
a
b
a
b
a
dx
x g dx x f dx x g x f )()()]()([)
()()()(b c a dx
x f dx x f dx x f c
a
b c
b
a
<<+=⎰⎰⎰
其中20
D ．若函数f 在区间[a ，b ]上连续且错误!f d>0，则函数f 在区间[a ，b ]上恒正 【答案】D
5．函数f ，g 均是连续函数，若错误!g d ＝3，错误!f d ＝1，错误!f d ＝－2，则错误![f ＋g ]d ＝________ 【答案】6
6．2021年江西九江期中计算：错误!－5d ＝________ 【答案】－6
7．比较错误! 错误!d 与错误! 错误!d 的大小． 【解析】设＝ 错误!，则错误!＋错误!＝1≥0． 设＝ 错误!，则错误!＋错误!＝1≥0．
∴错误! 错误!d 的几何意义是长半轴长为3，短半轴长为错误!的上半个椭圆的右半部分与轴、轴所围成的平面图形错误!的面积；
错误! 错误!d 的几何意义是长半轴长为3，短半轴长为错误!的上半个椭圆的右半部分与轴、轴所围成的平面图形错误!
O
a b
的面积．
∵错误!＞错误!，∴错误!错误!d＞错误!错误!d
能力提升
8．一辆汽车以v＝3t2的速度行驶，这辆汽车从t＝0到t＝3这段时间内所行驶的路程为
A．错误!B．1 C．3 D．27
【答案】D
【解析】∵＝错误!3t2d t＝错误!错误!2×错误!＝27×错误!，∴错误!3t2d t＝错误!27×错误!＝．
2－d的值为
A．错误! B．0 C．－错误!D．1
【答案】C
【解析】将[0,1]分成n等分，每个区间长度为错误!，则错误!错误!×错误!＝错误![02＋12＋…＋n－12]－错误![0＋1＋2＋…＋n－1]×错误!＝错误!×错误!－错误!×错误!×错误!＝－错误!＋错误!所以错误!2－d＝错误!错误!＝－错误!故选C．
10．一质点做变速直线运动，其瞬时速度为vt＝1＋错误!tt的单位：，v的单位：m/，则该质点从t＝1 到t＝4 这一时段中所经过的位移为________m
【答案】错误!
【解析】错误!错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!－错误!∴＝错误!错误!d t＝错误!错误!＝错误!
11．用定积分的几何意义求下列各式的值．
1错误!错误!d； 2in d
【解析】1由＝错误!，知2＋2＝4≥0，其图象如图．
则错误!错误!d等于圆心角为60°的弓形CDE的面积与矩形ABCD的面积之和．
∵S弓形＝错误!×错误!×22－错误!×2×2in错误!＝错误!－错误!，
S矩形＝AB·BC＝2错误!，
∴错误!错误!d＝2错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!
2∵函数＝in 在∈错误!上是奇函数，
∴函数＝in 分别与＝0，＝－错误!和＝0，＝错误!围成的图形的面积相等，即in d＝0。