22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--1

1.5 全称量词与存在量词1.5.1 全称量词与存在量词
课标解读课标要求素养要求
1.理解全称量词、全称量词命题的定义.
2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存
在量词命题，并会判断它们的真假.
1.数学抽象——能判断全称量词命题、存在量
词命题.
2.数学运算——能借助全称量词命题、存在量
词命题的真假求解相关问题.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做①全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为②∀x∈
M,p(x) .
要点二存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做③存在量词，并用符号“∃”表示含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为④∃x∈
M,p(x) .
自主思考
1.短语“都是”“都不是”“不都是”中哪几个是全称量词?
答案：提示“都是”“都不是”是全称量词.
2.“所有的正方形都是相似四边形”是全称量词命题吗?
答案：提示是全称量词命题.
3.短语“至多有一个”是存在量词吗?
答案：提示不是.因为“至多有一个”包含了不存在的情形.
4.“有些整数的平方不是正整数”是存在量词命题吗?试用符号语言表示.
答案：提示是存在量词命题.符合语言:∃x∈Z,x2∉N∗.
名师点睛
1.常见的全称量词：“所有”“任意一个”“一切”“每一个”等.
2.常见的存在量词：“存在”“有的”“有一个”“有些”“对某些”等.
3.存在量词命题中不一定要含有存在量词.含有存在量词“存在”“有一个”的命题或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
4.有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.如“菱形的对角线互相垂直平分”应理解为“所有的菱形的对角线互相垂直平分”.
互动探究·关键能力
探究点一全称量词命题与存在量词命题的判断
精讲精练
例判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
（1）自然数的平方大于或等于零;
（2）有的一次函数的图象经过原点;
（3）所有的二次函数的图象的开口都向上.
答案：（1）全称量词命题.
（2）存在量词命题.
（3）全称量词命题.
解题感悟
全称量词命题与存在量词命题的判断
迁移应用
1.下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分;
②梯形有两条边平行;
③存在一个菱形它的四条边不相等.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：①②是全称量词命题，③是存在量词命题.
探究点二全称量词命题与存在量词命题真假的判断
精讲精练
例判断下列命题的真假：
（1）任意两个面积相等的三角形一定相似;
（2）∃x,y为正实数使x2+y2=0;
（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
（4）∀x∈N,x2＞0.
答案：（1）因为面积相等的三角形不一定相似，所以它是假命题.
（2）当x 2+y 2=0 时，x =y =0 ，所以不存在x,y 为正实数使x 2+y 2=0 故是假命题.
（3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，该命题是真命题.
（4）因为0∈N,02=0 ，所以命题“∀x ∈N,x 2＞0 ”是假命题.
解题感悟
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
（1）全称量词命题真假的判断：
要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x) 成立;但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M 中的一个元素x 0 ，p(x 0) 不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）.
（2）存在量词命题真假的判断：
要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x 0 ，使p(x 0) 成立即可；反之，这一存在量词命题就是假命题.
迁移应用
1.判断下列命题的真假：
（1）∃x ∈Z,x 3＜1;
（2）对任意的a,b ∈R, 都有a 2+b 2−2a −2b +2＜0;
（3）若整数m 是偶数，则m 是合数.
答案：（1）因为−1∈Z
且(−1)3=−1＜1
所以“∃x ∈Z,x 3＜1 ”是真命题.
（2）因为a 2+b 2−2a −2b +2=(a −1)2+(b −1)2≥0,
所以该命题是假命题.
（3）2是偶数，但2是质数，故该命题是假命题.
探究点三 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围
精讲精练
例 已知集合A ={x|−2≤x ≤5},B ={x|m +1≤x ≤2m −1} 且B ≠⌀ ，若命题p ：“∀x ∈A,x ∈B ”是真命题则实数m 的取值集合是 .
答案：⌀
解析：因为命题p ：“∀x ∈A,x ∈B ”是真命题所以A ⊆B 又B ≠⌀ ，
所以{m +1≤2m −1,
m +1≤−2,2m −1≥5,
无解， 故实数m 的取值集合是⌀ .
解题感悟
解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式组求参数的取值范围问题进行求解.
迁移应用
1.若命题“∃x＞1，使ax−3＜0”是真命题,则实数a的取值范围是.
答案：{a|a＜3}
解析：当a≤0时,显然存在x＞1，使ax−3＜0;
当a＞0时,结合一次函数图象知,需满足x=1时,ax−3＜0，得a＜3，故0＜a＜3 .
综上所述,实数a的取值范围是{a|a＜3}.
2.（2021山东泰安高一期末）已知命题p：∃x0＞0,x0+a−1=0，若p为假命题,则实数a的取值范围是 .
答案：{a|a≥1}
解析：由题意得x0=1−a，
因为命题p为假命题,
所以只需1−a≤0，解得a≥1.
评价检测·素养提升
1.下列命题是“∀x∈R,x2＞3”的另一种表述方式的是( )
A.有一个x∈R，使得x2＞3
B.有无数个x∈R，使得x2＞3
C.任选一个x∈R，都有x2＞3
D.不存在x∈R，使得x2＜3
答案：C
2.（多选）下列命题中为存在量词命题的是( )
A.所有的整数都是有理数
B.三角形至少有两个锐角
C.有些三角形是等腰三角形
D.正方形都是菱形
答案：B; C
3.下列命题中为全称量词命题的是( )
A.有些实数没有倒数
B.矩形都有外接圆
C.存在一个实数与它的相反数的和为0
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
答案：B
4.命题p：“∃x∈R,x2+2x+5=0”是（填“全称量词命题”或“存在量词命题”）,它是命题（填“真”或“假”）.
答案：存在量词命题; 假
5.若命题“∃x∈R,x2−4x+a=0”为真命题,求实数a的取值范围.
答案：∵命题“∃x∈R,x2−4x+a=0”为真命题,∴方程x2−4x+a=0存在实数根,则Δ=(−4)2−4a≥0，解得a≤4.故实数a的取值范围是{a|a≤4}.
课时评价作业
基础达标练
1.下列命题中,不是全称量词命题的是( )
A.任何一个实数乘0都等于0
B.任意一个负数都比零小
C.每一个正方形都是矩形
D.一定存在没有最大值的二次函数
答案：D
2.（2020辽宁大连市一○三中学高一月考）下列四个命题中的真命题为( )
A.∀x∈R,x2−1=0
B.∃x∈Z,3x−1=0
C.∀x∈R,x2+1＞0
D.∃x∈Z,1＜4x＜3
答案：C
3.（2020山东济宁鱼台第一中学高一月考）下列命题是存在量词命题的是( )
A.整数n是2和5的倍数
B.存在整数n，使n能被11整除
C.若3x−7=0，则x=7
3
D.∀x∈M,p(x)
答案：B
4.（2020山东北镇中学高一月考）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
＞2
D.存在一个负数x，使1
x
答案：B
解析：锐角三角形中的内角都是锐角,所以A为假命题;
易知B为存在量词命题,当x=0时,x2=0成立,所以B为真命题;
因为√3+(−√3)=0，所以C为假命题;
＜0，所以D为假命题．
对于任何一个负数x，都有1
x
故选B.
5.给出下列三个命题:①∀x∈R,x2+2≠0;②矩形都不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1.其中全称量词命题是（填序号）.
答案：①②
6.（2020湖北恩施高一检测）对任意x＞2022,x＞a恒成立,则实数a的取值范围
是.
答案：a≤2022
7.能够说明“存在两个不相等的正数a,b，使得a−b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为.
答案：(1
2,1
3
)（答案不唯一）
8.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
（1）∀x∈N,2x+1是奇数;
（2）存在一个x∈R,使得1
x−1
=0;
（3）对任意实数a,|a|＞0;
（4）有一个实数x,使得x2−x−2=0.
答案：（1）是全称量词命题.因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.
（2）是存在量词命题.因为不存在x∈R,使得1
x−1
=0成立,所以该命题是假命题.
（3）是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|＞0不都成立,因此,该命题是假命题.
（4）是存在量词命题.因为当x=2时,x2−x−2=0成立,所以该命题是真命题.
9.已知命题p:∀x＞0,x+a−1≠0是真命题,求实数a的取值范围.
答案：∵∀x＞0,x+a−1≠0是真命题,
∴x≠1−a,∴1−a≤0,即a≥1,
∴a的取值范围是a≥1.
素养提升练
10.（多选）（2020辽宁盘锦第二高级中学高一检测）下列命题错误的是( )
A.∃x∈R,|x|+1−x=0
B.存在一个最大的内角等于60∘的三角形
C.若一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形
D.每一个素数都是奇数
答案：A; C; D
解析：当x≥0时,|x|+1−x=1≠0,当x＜0时,|x|+1−x=−2x+1=0,即x=1
2
＞0,不满足题意,故方程无解,所以A命题错误;
等边三角形的最大的内角等于60∘,所以B命题正确;
对角线相等的四边形可以是矩形、正方形、梯形,所以C命题错误;
2是素数,但不是奇数,所以D命题错误.
故选ACD.
11.已知A ={x|1≤x ≤2} ,命题“∀x ∈A,x 2−a ≤0 ”是真命题的一个充分不必要条件是
( )
A.a ≥4
B.a ≤4
C.a ≥5
D.a ≤5
答案： C
解析：该命题是真命题,等价于a ≥(x 2)max ,x ∈A ={x|1≤x ≤2} .因为x 2 在1≤x ≤2 上的最大值是4,所以a ≥4 .因为a ≥4⇏a ≥5,a ≥5⇒a ≥4 ,故选C.
12.（2020北京八一中学高一月考）给出下列命题：①∃x ∈Z ,使x 3＜1 ;②∃x ∈Q ,使x 2=2 ;③∀x ∈N,x 3＞x 2; ④∀x ∈R,x 2+x +1＞0 .其中正确的命题的序号是 . 答案： ①④
解析：①∃x ∈Z, 使x 3＜1, 如当x =−1 时,(−1)3=−1＜1 ,所以命题①正确;
②x 2=2 ,则x =±√2 ,此时x 为无理数,所以命题②不正确;
③当x =1 时,x 3=x 2 ,所以命题③不正确;
④因为x 2+x +1=(x +12)2+34≥34＞0 ,所以命题④正确. 所以正确的命题为①④.
13.（2020山东莘县实验中学高一检测）若存在x ∈R ,使ax 2+2x +a ＜0 ,则实数a 的取值范围是 .
答案： {a|a ＜1}
解析：当a ≤0 时,显然存在x ∈R ,使ax 2+2x +a ＜0 ;
当a ＞0 时,需满足a(x +1a )2+a −1a ＜0 ,则a −1a ＜0 ,解得−1＜a ＜1 ,故0＜a ＜1 . 综上所述,实数a 的取值范围是{a|a ＜1} .
14.若∀x ∈R ,函数y =x 2+mx −1−a 的图象和x 轴恒有公共点,求实数a 的取值范围． 答案：因为函数y =x 2+mx −1−a 的图象和x 轴恒有公共点,
所以Δ=m 2+4(1+a)≥0 恒成立,
即m 2+4a +4≥0 恒成立．
设y 1=m 2+4a +4, 则Δ1=02−4(4a +4)≤0, 可得a ≥−1 .
综上所述,实数a 的取值范围是{a|a ≥−1} ．
创新拓展练
15.已知函数y 1=x 12,y 2=−2x 2−m, 若∀x 1∈{x|−1≤x ≤3},∃x 2∈{x|0≤x ≤2}, 使得y 1≥y 2, 求实数m 的取值范围.
解析：命题分析 本题考查全称量词命题与存在量词,考查逻辑推理的核心素养. 答题要领 将原问题转化为y 1 的最小值大于等于y 2 的最小值问题.
答案：详细解析因为x 1∈{x|−1≤x ≤3},x 2∈{x|0≤x ≤2},
所以y 1∈{y|0≤y ≤9},y 2∈{y|−4−m ≤y ≤−m},
又因为∀x1∈{x|−1≤x≤3},∃x2∈{x|0≤x≤2},使得y1≥y2,所以y1的最小值大于等于y2的最小值,
即−4−m≤0,
所以m≥−4.
方法感悟根据含量词命题的真假求参数取值范围的方法：
（1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.
（2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围.
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
课标解读课标要求素养要求
1.通过实例总结含有一个量词的命题与它
们的否定在形式上的变化规律.
2.能正确地对含有一个量词的命题进行否
定.
1.数学抽象—能写出全称量词命题与存在量
词命题的否定并判断真假.
2.数学运算—能根据全称量词命题与存在量
词命题的否定求参数的取值范围.
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一全称量词命题的否定
对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:
全称量词命题:∀x∈M,p(x),,它的否定:①∃x∈M,¬p(x).也就是说,全称量词命题的否定是②存在量词命题.
要点二存在量词命题的否定
对含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:
存在量词命题:∃x∈M,p(x),它的否定:③∀x∈M,¬p(x).也就是说,存在量词命题的否定是④全称量词命题.
自主思考
1.命题“∀x∈R,|x−1|≥0”的否定是什么?
答案：提示∃x∈R,|x−1|<0.
2.命题“存在两个不全等的三角形,它们的面积相等”的否定是什么?
答案：提示任意两个不全等的三角形,它们的面积不相等.
名师点睛
1.一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题.
2.含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
互动探究·关键能力
探究点一全称量词命题的否定
精讲精练
例写出下列命题的否定,并判定其真假．
（1）所有分数都是有理数;
（2）所有能被5整除的整数都是奇数;
（3）p:∀x∈N∗,2x＞0.
答案：（1）存在一个分数不是有理数.假命题．
（2）存在一个能被5整除的整数不是奇数.真命题.
（3）¬p:∃x∈N∗,2x≤0.假命题.
解题感悟
1.对全称量词命题进行否定时要做到“两变”：一变量词,即把全称量词变为存在量词;二变结论,即否定结论.
2.对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后再进行否定
迁移应用
1.（2021天津第三中学高一期末）命题“∀x＞0,x2−2x+1≥0”的否定是( )
A.∃x＞0,x2−2x+1＜0
B.∀x＞0,x2−2x+1＜0
C.∃x≤0,x2−2x+1＜0
D.∀x≤0,x2−2x+1＜0
答案：A
2.（2020福建厦门一中高一月考）命题“∀x∈R,x3+2＜3x”的否定是. 答案：∃x∈R,x3+2≥3x
解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题,得命题“∀x∈R,x3+2＜3x”的否定是“∃x∈R,x3+2≥3x”.
探究点二存在量词命题的否定
精讲精练
例写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
（1）p：∃x＞1,使x2−2x−3=0;
（2）p：有些素数是奇数;
（3）p：有些平行四边形不是矩形.
答案：（1）¬p：∀x＞1,x2−2x−3≠0.¬p为假命题.
（2）¬p：所有的素数都不是奇数.¬p为假命题.
（3）¬p：所有的平行四边形都是矩形.¬p为假命题.
解题感悟
1.对存在量词命题进行否定时,首先把存在量词改为全称量词,然后对判断词进行否定,可以结合命题的实际意义进行表述.
2.存在量词命题的否定是全称量词命题,对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后再进行否定.
迁移应用
1.（2021湖南永州高一期末）命题“存在实数x,使x＞1”的否定是( )
A.对任意实数x,都有x＞1
B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x,使x≤1
答案：C
2.写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
（1）有些三角形是锐角三角形;
（2）∃x,y∈Z,使得√2x+y=3.
答案：（1）命题的否定：“所有的三角形都不是锐角三角形”,命题的否定为假命题.
（2）命题的否定：“∀x,y∈Z,√2x+y≠3”.
∵当x=0,y=3时,√2x+y=3,
∴命题的否定是假命题.
评价检测·素养提升
1.（2021山东潍坊高一期末）命题p：∀x∈R,x2≥1的否定是( )
A.∀x∈R,x2＜1
B.∃x∈R,x2＜1
C.∀x∉R,x2≥1
D.∃x∉R,x2＜1
答案：B
2.（2021黑龙江大庆实验中学高一检测）设命题p:所有正方形都是平行四边形,则¬p为( )
A.所有正方形都不是平行四边形
B.有的平行四边形不是正方形
C.有的正方形不是平行四边形
D.不是正方形的四边形不是平行四边形
答案：C
3.（2021江苏连云港高一期末）命题“∃x∈R,x2+x+1≤0”的否定是. 答案：∀x∈R,x2+x+1＞0
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“∃x∈R,x2+x+1≤0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1＞0”.
4.命题“每个函数都有最大值”的否定是 .
答案：有些函数没有最大值
课时评价作业
基础达标练
1.（2020北京首师大附中高一期中）已知命题p：∃c＞0,方程x2−x+c=0有解,则¬p为( )
A.∀c＞0,方程x2−x+c=0无解
B.∀c≤0,方程x2−x+c=0有解
C.∃c＞0,方程x2−x+c=0无解
D.∃c≤0,方程x2−x+c=0有解
答案：A
2.（2020山东济南第一中学高一检测）命题“∀a∈R,一元二次方程x2−ax−1=0有实根”的否定是( )
A.∀a∉R,一元二次方程x2−ax−1=0没有实根
B.∃a∉R,一元二次方程x2−ax−1=0没有实根
C.∃a∈R,一元二次方程x2−ax−1=0没有实根
D.∃a∈R,一元二次方程x2−ax−1≠0没有实根
答案：C
3.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是( )
A.¬p:∃x∈R,x2+1≠0
B.¬p:∀x∈R,x2+1=0
C.p是真命题,¬p是假命题
D.p是假命题,¬p是真命题
答案：C
4.（2021安徽合肥高一期末）全称量词命题“对于任意正奇数n,所有不大于n的正奇数的和
)2”的否定为( )
都是(n+1
2
)2
A.对于任意正奇数n,所有不大于n的正奇数的和都不是(n+1
2
)2
B.对于任意正奇数n,所有不大于n的正奇数的和都大于(n+1
2
)2
C.存在正奇数n,使得所有不大于n的正奇数的和不是(n+1
2
)2
D.存在正奇数n,使得所有不大于n的正奇数的和是(n+1
2
答案：C
5.关于下列命题的否定说法错误的是( )
A.p：∀x∈R,x＞0;¬p：∃x∈R,x≤0
B.p：∃x∈R,x2≤−1;¬p：∀x∈R,x2＞−1
C.p：∃x＜2,x＜1;¬p：∀x＜2,x＞1
D.p：∀x∈R,x2+1≠0;¬p：∃x∈R,x2+1=0
答案：C
6.（2020山东滕州第一中学高一检测）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定
是.
答案：存在一个能被2整除的数不是偶数
7.命题p:“有的三角形是直角三角形”,则p的否定是,p的否定是（填“真”或“假”）命题.
答案：所有的三角形都不是直角三角形; 假
8.（2021河南新乡高一检测）命题“∀x∈R,∃n∈N∗,使得n≥2x+1”的否定
是.
答案：∃x∈R,∀n∈N∗,使得n＜2x+1
9.写出下列命题的否定,并判断其真假.
（1）p:∀x∈R,x2−x+1
4
≥0;
（2）q:所有的正方形都是矩形;
（3）r:∃x∈R,x2+2x+2≤0;
（4）p：无论m取何实数,方程x2+mx−1=0必有实数根.
答案：（1）¬p:∃x∈R,x2−x+1
4
＜0.
因为∀x∈R,x2−x+1
4=(x−1
2
)2≥0,所以¬p是假命题.
（2）¬q:有的正方形不是矩形.易知¬q是假命题.
（3）¬r:∀x∈R,x2+2x+2＞0.
因为∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1＞0,
所以¬r是真命题.
（4）¬p：存在一个实数m,使方程x2+mx−1=0没有实数根．因为该方程的判别式Δ=m2+4＞0恒成立,
所以¬p为假命题．
素养提升练
10.下列命题的否定是真命题的是( )
A.三角形角平分线上的点到角两边的距离相等
B.所有的平行四边形都不是菱形
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.3是方程x2−9=0的一个根
答案：B
11.（2021天津南开中学高一检测）命题“∀a,b＞0,a+1
b ≥2和b+1
a
≥2至少有一个成立”
的否定为( )
A.∀a,b＞0,a+1
b ＜2和b+1
a
＜2至少有一个成立
B.∀a,b＞0,a+1
b ≥2和b+1
a
≥2都不成立
C.∃a,b ＞0,a +1b ＜2 和b +1a ＜2 至少有一个成立
D.∃a,b ＞0,a +1b ≥2 和b +1a ≥2 都不成立 答案： D
12.已知命题“∃x ∈R, 使4x 2+(a −2)x +
a 216≤0 ”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.0≤a ≤4
C.a ≥4
D.a ＞1
答案： D
解析：因为命题“∃x ∈R, 使4x 2+(a −2)x +
a 216≤0 ”是假命题,所以命题“∀x ∈R, 使4x 2+(a −2)x +a 216＞0 ”是真命题,
即4(x +
a−28)2+a 216−(a−2)216＞0, 则a 216−(a−2)216＞0, 解得a ＞1, 故选D.
13.已知命题:“∃x ∈{x|1≤x ≤2}, 使x 2+2x +a ≥0 ”为真命题,则实数a 的取值范围是 .
答案： a ≥−8
解析：因为x 2+2x =(x +1)2−1,1≤x ≤2, 所以3≤x 2+2x ≤8 ,由题意得a +8≥0, 所以a ≥−8 .
创新拓展练
14.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛,四人在成绩公布前做出了如下预测：
甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中;
乙说：我不会获奖,丙获奖;
丙说：甲和丁中有一人获奖;
丁说：乙的猜测是对的.
成绩公布后表明,四人中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不相符.已知有两人获奖,则获奖的是( )
A.甲和丁
B.甲和丙
C.乙和丙
D.乙和丁
答案： D
解析：易知乙、丁的预测要么同时与结果相符,要么同时与结果不相符,若乙、丁的预测与结果相符,则甲、丙的预测与结果不相符,矛盾,故乙、丁的预测与结果不相符,从而获奖的是乙和丁,故选D.。