中考数学 圆与相似 培优 易错 难题练习(含答案)附详细答案

中考数学圆与相似培优易错难题练习(含答案)附详细答案
一、相似
1．在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ，，直接写出tan∠CEB的值．
【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB=∠BNC=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBN=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠AMB=∠NBC，
∴△ABM∽△BCN
（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.
∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，
∴∠BAP=∠CPM=∠C，
∴MP=MC
∵tan∠PAC=，
设MN=2m,PN=m,
根据勾股定理得，PM=,
∴tanC=
（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，
过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB=90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴ =
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴，
设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，
∵AB=AE，AG⊥BE，
∴EG=BG=4m，
∴GH=BG+BH=4m+3n，
∴，
∴n=2m，
∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC= =
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN；
（2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由
tan∠PAC=,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得
从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出
再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；
（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=,过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出
，同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC于点H，过点C作CD⊥AC，连接AD，点M为AC上一点，且AM=CD，连接BM交AH于点N，交AD于点E．
（1）若AB=3，AD= ，求△BMC的面积；
（2）点E为AD的中点时，求证：AD= BN ．
【答案】（1）解：如图1中，
在△ABM和△CAD中，∵AB=AC，∠BAM=∠ACD=90°，AM=CD，∴△ABM≌△CAD，
∴BM=AD= ，∴AM= =1，∴CM=CA﹣AM=2，∴S△BCM= •CM•BA= ×23=3．
（2）解：如图2中，连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．
∵AE=ED，∠ACD=90°，∴AE=CE=ED，∴∠EAC=∠ECA，∵△ABM≌△CAD，∴∠ABM=∠CAD，∴∠ABM=∠MCE，∵∠AMB=∠EMC，∴∠CEM=∠BAM=90°，
∴△ABM∽△ECM，∴，∴，∵∠AME=∠BMC，∴△AME∽△BMC，∴∠AEM=∠ACB=45°，∴∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，∴∠PEQ=∠AEC，∴∠AEQ=∠EQC，∵∠P=∠EQC=90°，∴△EPA≌△EQC，∴EP=EQ，∵EP⊥BP，EQ⊥BC
∴BE平分∠ABC，∴∠NBC=∠ABN=22.5°，∵AH垂直平分BC，∴NB=NC，∴∠NCB=∠NBC=22.5°，∴∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，∴△ENC的等腰直角三角形，∴NC= EC，∴AD=2EC，∴2NC= AD，∴AD= NC，∵BN=NC，∴AD= BN．
【解析】【分析】（1）首先利用SAS判断出△ABM≌△CAD，根据全等三角形对应边相等得出BM=AD= ，根据勾股定理可以算出AM，根据线段的和差得出CM的长，利用
S△BCM= •CM•BA即可得出答案；
（2）连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=CE=ED，根据等边对等角得出∠EAC=∠ECA，根据全等三角形对应角相等得出∠ABM=∠CAD，从而得出∠ABM=∠MCE，根据对顶角相等及三角形的内角和得出∠CEM=∠BAM=90°，从而判断出△ABM∽△ECM，由相似三角形对应边成比例得出BM∶CM= AM∶EM,从而得出BM∶AM= CM∶EM，根据两边对应成比例及夹角相等得出△AME∽△BMC，故∠AEM=∠ACB=45°，∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，故∠PEQ=∠AEC，∠AEQ=∠EQC，又∠P=∠EQC=90°，故△EPA≌△EQC，故EP=EQ，根据角平分线的判定得出BE平分∠ABC，故∠NBC=∠ABN=22.5°，根据中垂线定理得出NB=NC，根据等腰三角形的性质得出∠NCB=∠NBC=22.5°，故∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，△ENC的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NC= EC，根据AD=2EC，2NC= AD，AD= NC，又BN=NC，故AD= BN．
3．如图，在中，，于点，点在上，
且，连接．
（1）求证：
（2）如图，将绕点逆时针旋转得到（点分别对应点），设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：在Rt△AHB中，∠ABC=45°，
∴AH=BH，
在△BHD和△AHC中，
，
∴△BHD≌△AHC，
∴
（2）解：方法1:如图1，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴HD=HF，∠AHF=30°
∴∠CHF=90°+30°=120°，
由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=30°，
∴CG⊥AE，
∴点C，H，G，A四点共圆，
∴∠CGH=∠CAH，
设CG与AH交于点Q，
∵∠AQC=∠GQH，
∴△AQC∽△GQH，
∴，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，由（1）知，BD=AC，
∴EF=AC
∴
即：EF=2HG．
方法2:如图2，取EF的中点K，连接GK，HK，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，∴HD=HF，∠AHF=30°
∴∠CHF=90°+30°=120°，
由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，
∴∠GAH=∠HCG=30°，
∴CG⊥AE，
由旋转知，∠EHF=90°，
∴EK=HK= EF
∴EK=GK= EF，
∴HK=GK，
∵EK=HK，
∴∠FKG=2∠AEF，
∵EK=GK，
∴∠HKF=2∠HEF，
由旋转知，∠AHF=30°，
∴∠AHE=120°，
由（1）知，BH=AH，
∵BH=EH，
∴AH=EH，
∴∠AEH=30°，
∴∠HKG=∠FKG+∠HKF=2∠AEF+2∠HEF=2∠AEH=60°，
∴△HKG是等边三角形，
∴GH=GK，
∴EF=2GK=2GH，
即：EF=2GH．
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AH=BH，然后由SAS判断出△BHD≌△AHC，根据全等三角形对应角相等得出答案；
（2）方法1:如图1，根据旋转的性质得出HD=HF，∠AHF=30°根据角的和差得出∠CHF=90°+30°=120°，由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，根据等腰三角形若顶角相等则底角也相等得出∠GAH=∠HCG=30°，根据三角形的内角和得出CG⊥AE，从而得出点C，H，G，A四点共圆，根据圆周角定理同弧所对的圆周角相等得出∠CGH=∠CAH，根据对顶角相等得出∠AQC=∠GQH，从而得出△AQC∽△GQH，根据全等三角形对应边成比例得出 A C∶ H G = A Q∶ G Q = 1 ∶sin 30 ° = 2，根据旋转的性质得出EF=BD，由（1）知，BD=AC，从而得出EF=AC
EF=BD，由E F∶ H G = A C∶ G H = A Q∶ G Q = 1∶ sin 30 ° = 2得出结论；
方法2:如图2，取EF的中点K，连接GK，HK，根据旋转的性质得出HD=HF，∠AHF=30°根据角的和差得出∠CHF=90°+30°=120°，由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，根据等腰三角形若顶角相等则底角也相等得出∠GAH=∠HCG=30°，根据三角形的内角和得出CG⊥AE，由旋转知，∠EHF=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出
EK=HK= EF，EK=GK= EF，从而得出HK=GK，根据等边对等角及三角形的外角定理得出∠FKG=2∠AEF，∠HKF=2∠HEF，由旋转知，∠AHF=30°，故∠AHE=120°，由（1）知，BH=AH，根据等量代换得出AH=EH，根据等边对等角得出∠AEH=30°，∠HKG=∠FKG+∠HKF=2∠AEF+2∠HEF=2∠AEH=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△HKG是等边三角形，根据等边三角形三边相等得出GH=GK，根据等量代换得出EF=2GK=2GH。

4．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC
于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．
【答案】（1）证明：∵ ED=BD，
∴∠B=∠BED．
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°．
∵ EF⊥AB，
∴∠BEF=90°．
∴∠BED+∠GEF=90°．
∴∠A=∠GEF．
∵∠G是公共角，
∴△EFG∽△AEG
（2）解：作EH⊥AF于点H．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴tanA= = ，
∴在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA= = ,
∵△EFG∽△AEG，
∴ ,
∵ FG=x，
∴ EG=2x，AG=4x．
∴ AF=3x．
∵ EH⊥AF，
∴∠AHE=∠EHF=90°．
∴∠EFA+∠FEH=90°．
∵∠AEF=90°，
∴∠A+∠EFA=90°,
∴∠A=∠FEH,
∴ tanA =tan∠FEH,
∴在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH= = ,∴ EH=2HF,
∵在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA= = ，∴ AH=2EH，
∴ AH=4HF，
∴ AF=5HF，
∴ HF= ，
∴EH= ，
∴y= FG·EH= x· = 定义域：（0<x≤ ）
（3）解：当△EFD为等腰三角形时，
①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，
∵∠BED=∠EFH，
∴∠BEH=∠AHG，
∵∠ACB=∠AEH=90°，
∴∠CEF=∠HEF，即EF为∠GEH的平分线，
则ED=EF=x，DG=8−x，
∵anA= ，
∴x=3，即BE=3；
②若FE=FD, 此时FG的长度是 ;
③若DE=DF, 此时FG的长度是 .
【解析】【分析】（1）因为ED=BD，所以∠B=∠BED．根据等角的补角相等可得∠A=∠GEF，而∠G是公共角，所以由相似三角形的判定可得△EFG∽△AEG；
（2）作EH⊥AF于点H．∠AEF=∠ACB=90°，∠A是公共角，所以可得AEF ACB，所以可得比例式，,由（1）得△EFG∽△AEG，所以可得比例式，,因为FG=x，所以EG=2x，AG=4x．则AF=3x，由同角的余角相等可得∠A=∠FEH,所以tanA =tan∠FEH,在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH=,所以EH=2HF,在Rt△AEH中，同理可得AH=2EH，所以AH=4HF，AF=5HF，HF=x ，则EH= x ，△EFG
的面积y= FG·EH=x· x=,自变量的取值范围是0<x≤ ；
（3）当△EFD为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，易得FG=3；
②若FE=FD, 易得FG=；
③若DE=DF, 易得FG=.
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），点B 在x轴上，点B的坐标为（3，0），抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线上的一点，当S△PAB= S△ABC时，求点P的坐标；
（3）若点N由点B出发，以每秒个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，秒后，点M 也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程．
【答案】（1）解：将点A（﹣1，2），C（3，2），代入抛物线y=﹣x2+bx+c中，
得，解得
∴抛物线y=﹣x2+2x+5.
（2）解：∵点A（-1,2），B（3,0），C（3,2），
∴BC⊥x轴，AC=4，BC=2，
∴，
∴
设直线AB为y=mx+n,
将点A（-1,2），B（3,0），代入可得，解得，∴直线AB为y=
，
设点P（x，），过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，则M（x，），
∴PM= ，
∴
即，
∴或，解得，
则点P .
（3）解：当时，如图1，点N在BC的线段上，BN= ，BM= ，
∵MN⊥AB，∴，
又∵A（-1,2），B（3,0），C（3,2），
∴AC∥x轴，BC∥y轴，
∴∠ACB=90°，
∴，
∴
又∵∠MBN=∠ACB=90°，
∴△BNM~△CAB，
∴，则，
解得t= .
当时，点N在线段AC上，如图2，MN与AB交于点D，BM=
,
由A（-1,2），B(3,0)，得AB= ，设AD=a，则BD= ,
∵∠ADN=∠ACB=90°, ∠DAN=∠CAB,
∴△ADN~△ACB，
∴；
则 = ，则a=
∵∠BDM=∠ACB=90°, ∠DBM=∠CAB,
∴△BDM~△ACB，
∴ =
，
则
解得 .
综上， .
【解析】【分析】（1）将点A（﹣1，2），C（3，2），代入抛物线y=﹣x2+bx+c中，联立方程组解答即可求出b和c的值；（2）由A（-1,2），B（3,0），C（3,2）可求出直线AB 的解析式和，从而求出 .设PP（x，），过点P作PN⊥x
轴，交直线AB于点M，则M（x，），可得
代入求出P的横坐标x的值，再代入抛物线的解析式求出点P的纵坐标；（3）首先要明确时间t表示点N运动的时间，由点M，N的速度可求出它们当到达终点时的时间t，取其中的较小值为t所能取到的最大值；由点M只在线段OB上运动，点N在线段BC和线段AC上运动，则要分成两部分进行讨论，当点N在线段BC上时和当点N在线段AC上时，并分别求出相应时间t的取值范围；结合相似三角形的判定和性质得到相应边成比例，列方程解答即可.
6．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；②推断： AG∶BE的值为：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD于点H．若AG=6，GH=2 ，则BC=________．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形
（2）解：连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
=cos45°= 、 =cos45°= ，
∴ = ，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG= BE
（3）
【解析】【解答】（1）②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故答案为：；
（ 3 ）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴，
设BC=CD=AD=a，则AC= a，
则由得，
∴AH= a，
则DH=AD﹣AH= a，CH= = a，
∴由得，
解得：a=3 ，即BC=3 ，
故答案为：3 ．
【分析】（1）①根据正方形的性质得出∠BCD=90°，∠BCA=45°，根据垂直的定义及等量代换得出∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形CEGF是矩形，根据三角形的内角和得出∠CGE=∠ECG=45°，根据等角对等边得出EG=EC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形CEGF是正方形；②根据正方形的性质得出GE∥∥CD，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出GE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出GC∶EC＝AG∶BE，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出GC∶EC=，从而得出答案；
（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，根据余弦函数的定义得出
,,从而判断出△ACG∽△BCE，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论线段AG与BE之间的数量关系为AG= BE ；
（ 3 ）根据∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，由邻补角定义得出∠BEC=135°，根据△ACG∽△BCE，得出∠AGC=∠BEC=135°，故∠AGH=∠CAH=45°，然后判断出△AHG∽△CHA，根据相似三角形对应边成比例得出AG∶AC＝GH∶AH＝AH∶CH，设BC=CD=AD=a，则AC= a，根据比例式得出关于AH的方程，求解AH的值，根据DH=AD ﹣AH表示出DH，根据勾股定理表示出CH，根据前面的比例式得出关于a的方程，求解得出a的值，从而得出BC的值。

7．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB 对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE
（1）求证:直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；
①求证:△CBH∽△OBC；
②求OH+HC的最大值.
【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG是⊙O的切线；
（2）证明：①∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB，
∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
解：②由△CBH∽△OBC可知：
∵AB=8，
∴BC2=HB•OC=4HB，
∴HB= ，
∴OH=OB-HB=
∵CB=CH，
∴OH+HC=
当∠BOC=90°，
此时BC=
∵∠BOC＜90°，
∴0＜BC＜
令BC=x
∴OH+HC= = =
当x=2时，
∴OH+HC可取得最大值，最大值为5
【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，
从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：
，所以HB= ，
由于BC=HC，所以OH+HC=
利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
8．已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，以AD为对角线作正方形AEDF，DE 交AB于点M，DF交AC于点N，连结EF，EF分别交AB、AD、AC于点G、点O、点H.
（1）求证：EG=HF；
（2）当∠BAC=60°时，求的值；
（3）设 ,△AEH和四边形EDNH的面积分别为S1和S2，求的最大值.
【答案】（1）解：在正方形AEDF中，OE=OF，EF⊥AD，
∵AD⊥BC，
∴EF∥BC，
∴∠AGH=∠B，∠AHG=∠C，
而AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AGH=∠AHG，
∴AG=AH，
∴OG=OH，
∴OE-OG=OF-OH，
∴EG=FH
（2）解：当∠BAC=60°时，△ABC为正三角形，
∵AD⊥EF，
∴∠OAH=30°，
∴，
设OH=a，则OA=OE=OF= a，
∴EH=（）a，HF=（）a，
∵AE∥FN，
∴△AEH∽△NFH，
∴，
∵EF∥BC，
∴△AOH∽△ADC，
∴，
∴CD=2a，
易证△HNF∽△CND，
∴，
∴
（3）解：设EH=2m，则FH=2km，OA= EF=（k+1）m，
∴S1=（k+1）m2，
由（2）得，△AEH∽△NFH，
∴S△HNF=k2S1=k2（k+1）m2，
而S△EDF=OA2=（k+1）2m2，
∴S2=S△EDF - S△HNF =（k+1）2m2 -k2（k+1）m2=（-k2+k+1）（k+1）m2，
∴ =-k2+k+1，
∴当k= 时，最大= .
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质，正方形的性质易证△AGH为等腰三角形，通过“三线合一”可得OG=OH，即可得证；（2）由等边三角形的性质可设OH=a，则OA=OE=OF= a，则EH=（）a，HF=（）a，
根据相似三角形判定易证△AEH∽△NFH，△AOH∽△ADC，△HNF∽△CND，然后通过相似
三角形的对应边成比整理即可得解；（3）设EH=2m，则FH=2km，OA= EF=（k+1）m，分别得到S1、S△HNF和S△EDF关于k，m的表达式，再根据S2=S△EDF - S△HNF得到S2的表达
式，进而得到关于k的表达式，通过配方法即可得解.
二、圆的综合
9．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在∠=∠．
OD上DCE B
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若CD=10，2
tan 3
B =
，求半圆的半径．
【答案】（1）见解析；(2)413 【解析】
分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；
（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.
详解：（1）证明：如图，连接CO .
∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB =90°.
∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠， ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径， ∴CE 是半圆的切线. （2）解：设AC =2x ， ∵在Rt △ACB 中，2
tan 3
AC B BC ==, ∴BC =3x . ∴()()
22
2313AB x x x =
+=.
∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°.
∴△
AOD ∽△ACB . ∴
AC AO
AB AD
=. ∵1132OA AB x =
=，AD =2x +10, ∴
1
132210
13x
x x =
+. 解得 x =8. ∴13
8413OA =
⨯=. 则半圆的半径为413.
点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.
10．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC （1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】
（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出
60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】
（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ， ∴OE CD ⊥， ∴90CEO ∠=︒，
又∵OC BE P ，
∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA
∴OEB OBE ∠=∠， ∴COE COA ∠=∠， 又∵OC=OC ，OA=OE ， ∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC 为⊙O 的切线；
（2）解：∵四边形FOBE 是菱形， ∴OF=OB=BF=EF ， ∴OE=OB=BE ，
∴OBE ∆为等边三角形， ∴60BOE ∠=︒， 而OE CD ⊥， ∴30D ∠=︒． 故答案为30． 【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.
11．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，CB ∥PO ． （1）判断PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若AB=6，CB=4，求PC 的长．
【答案】（1）PC 是⊙O 的切线，理由见解析；（23
52
【解析】
试题分析：（1）要证PC 是⊙O 的切线，只要连接OC ，再证∠PCO=90°即可．
（2）可以连接AC ，根据已知先证明△ACB ∽△PCO ，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC 的长．
试题解析：（1）结论：PC 是⊙O 的切线． 证明：连接OC ∵CB ∥PO
∴∠POA=∠B ，∠POC=∠OCB
∴∠OCB=∠B
∴∠POA=∠POC
又∵OA=OC，OP=OP
∴△APO≌△CPO
∴∠OAP=∠OCP
∵PA是⊙O的切线
∴∠OAP=90°
∴∠OCP=90°
∴PC是⊙O的切线．
（2）连接AC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°（6分）
由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC
∵∠ACB=∠PCO
∴△ACB∽△PCO
∴
∴．
点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．
12．如图1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD﹣DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_____cm．（用含t的代数式表示）
（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．
【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣3
8
t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=
10
3
s．
【解析】
分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s，即可求出DP；
（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根据MN∥BC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；
（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2c m/s的速度不断增大，
r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8﹣t=1+0.2t，从而可求得t的值．
详解：（1）由勾股定理可知：AB=22
AC BC
=10．
∵D、E分别为AB和BC的中点，
∴DE=1
2AC=4，AD=
1
2
AB=5，
∴点P在AD上的运动时间=5
5
=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t﹣1）s．
∵DE段运动速度为1c m/s，∴DP=（t﹣1）cm．
故答案为t﹣1．
（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．
当正方形的边长大于DP时，重叠部分为五边形，
∴3＞t﹣1，t＜4，DP＞0，∴t﹣1＞0，
解得：t＞1，∴1＜t＜4．
∵△DFN∽△ABC，∴DN
FN
=
AC
BC
=
8
6
=
4
3
．
∵DN =PN ﹣PD ，∴DN =3﹣（t ﹣1）=4﹣t ， ∴
4t FN -=43，∴FN =344
t -（）
， ∴FM =3﹣
344t -（）=34
t
， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ，
∴S =
12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣3
8t 2+3t +3（1＜t ＜4）． （3）①当圆与边PQ 相切时，如图：
当圆与PQ 相切时，r =PE ，由（1）可知，PD =（t ﹣1）cm ， ∴PE =DE ﹣DP =4﹣（t ﹣1）=（5﹣t ）cm ． ∵r 以0.2c m/s 的速度不断增大，∴r =1+0.2t ， ∴1+0.2t =5﹣t ，解得：t =
103
s ． ②当圆与MN 相切时，r =CM ．
由（1）可知，DP =（t ﹣1）cm ，则PE =CQ =（5﹣t ）cm ，MQ =3cm ， ∴MC =MQ +CQ =5﹣t +3=（8﹣t ）cm ， ∴1+0.2t =8﹣t ，解得：t =
356
s ． ∵P 到E 点停止，∴t ﹣1≤4，即t ≤5，∴t =35
6
s （舍）． 综上所述：当t =
10
3
s 时，⊙O 与正方形PQMN 的边所在直线相切．
点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．
13．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t（s）（0＜t＜20）．
（1）当点H落在AC边上时，求t的值；
（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，
1
2
t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．
【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=
2
2
2
9?(02)
7
5050(210)
2
40400?(1020)
t t
t t t
t t t
⎧<≤
⎪
⎪
-+-<≤
⎨
⎪
-+<<
⎪⎩
；②100cm2．
【解析】
试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；
（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）
2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；
②分两种情形分别列出方程即可解决问题．
试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2
如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．
综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．
（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2
如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣1
2
（5t﹣10）2=﹣
7
2
t2+50t﹣50．
如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣
1
2
（30﹣3t
）2=﹣7
2
t2+50t﹣50．
如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．
综上所述：S=
2
2
2
9?(02)
7
5050(210)
2
40400?(1020)
t t
t t t
t t t
⎧<≤
⎪
⎪
-+-<≤
⎨
⎪
-+<<
⎪⎩
．
②如图7中，当0＜t≤5时，
1
2
t+3t=15，解得：t=
30
7
，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，
1
2
t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．
综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2
点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．
14．如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若已知AE=9，CF=4，求DE长；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，求tan∠AFE的值及GD长．
【答案】（1）证明见解析（2）DE=6（318367
-
【解析】
试题分析：（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠1=∠2，得到»»
DE DF
=，根据垂径定理得到OD⊥EF，根据平行线的性质得到OD⊥BC，于是得到结论；
（2）连接DE，由»»
DE DF
=，得到DE=DF，根据平行线的性质得到∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）过F作FH⊥BC于H，由已知条件得到∠1=∠2=∠3=∠4=30°，解直角三角形得到
FH=1
2
DF=
1
2
×6=3，3227
CF HF
-=，根据三角函数的定义得到
tan ∠AFE=tan ∠C=
7
HF CH =
；根据相似三角形到现在即可得到结论． 试题解析：（1）连接OD ， ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠1=∠2，
∴»»DE
DF =， ∴OD ⊥EF ， ∵EF ∥BC ， ∴OD ⊥BC ， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）连接DE ，
∵»»DE
DF =， ∴DE=DF ， ∵EF ∥BC ， ∴∠3=∠4， ∵∠1=∠3， ∴∠1=∠4， ∵∠DFC=∠AED ， ∴△AED ∽△DFC ，
∴AE DE DF CF =，即94DE
DE =， ∴DE 2=36， ∴DE=6；
（3）过F 作FH ⊥BC 于H ， ∵∠BAC=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
∴FH=
1
2
DF=1
62⨯=3，
∴
=， ∵EF ∥BC ， ∴∠C=∠AFE ，
∴tan ∠AFE=tan ∠C=
7
HF CH =
； ∵∠4=∠2．∠C=∠C ， ∴△ADC ∽△DFC ， ∴
AD CD
DF CF
=， ∵∠5=∠5，∠3=∠2，
∴△ADF ∽△FDG ，
∴
AD DF DF DG =， ∴CD DF CF DG =，即3376DG
+=， ∴DG=
18367-．
点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.
15．如图所示，ABC ∆内接于圆O ，CD AB ⊥于D ；
（1）如图1，当AB 为直径，求证：OBC ACD ∠=∠；
（2）如图2，当AB 为非直径的弦，连接OB ，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；
（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于E ，交CD 于点F ，连接ED ，且2AD BD ED =+，若3DE =，5OB =，求CF 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）
145
【解析】
【分析】 （1）根据圆周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据圆周角定理求出∠BOC=2∠A ，求出∠OBC=90°-∠A 和∠ACD=90°-∠A 即可； （3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，在AD 上取DG=BD ，延长CG 交AK 于M ，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，求出关于a 的方程，再求出a 即可．
【详解】
（1）证明：∵AB 为直径，
∴
ACB 90∠=︒， ∵CD AB ⊥于D ， ∴ADC 90∠=︒，
∴OBC A 90∠∠+=︒，A ACD 90∠∠+=︒，
∴OBC ACD ∠∠=；
（2）成立，
证明：连接OC ，
由圆周角定理得：BOC 2A ∠∠=，
∵OC OB =，
∴()()11OBC 180BOC 1802A 90A 22∠∠∠∠=
︒-=︒-=︒-， ∵ADC 90∠=︒，
∴ACD 90A ∠∠=︒-，
∴OBC ACD ∠∠=；
（3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，
∵AE BC ⊥，CD BA ⊥，
∴
AEC ADC 90∠∠==︒，
∴BCD CFE 90∠∠+=︒，BAH DFA 90∠∠+=︒，
∵CFE DFA ∠∠=，
∴BCD BAH ∠∠=，
∵根据圆周角定理得：BAH BCH ∠∠=，
∴BCD BAH BCH ∠∠∠==，
∴由三角形内角和定理得：CHE CFE ∠∠=，
∴CH CF =，
∴EH EF =，
同理DF DK =，
∵DE 3=，
∴HK 2DE 6==，
在AD 上取DG BD =，延长CG 交AK 于M ，则AG AD BD 2DE 6=-==，
BC GC =，
∴MCK BCK BAK ∠∠∠==，
∴CMK 90∠=︒，
延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，
则NAK 90CMK ∠∠=︒=，
∴CM //AN ，
∵NCK ADK 90∠∠==︒，
∴CN //AG ，
∴四边形CGAN 是平行四边形，
∴AG CN 6==，
作OT CK ⊥于T ，
则T 为CK 的中点，
∵O 为KN 的中点， ∴1OT CN 32=
=， ∵OTC 90∠=︒，OC 5=，
∴由勾股定理得：CT 4=，
∴CK 2CT 8==，
作直径HS ，连接KS ，
∵HK 6=，HS 10=，
∴由勾股定理得：KS 8=， ∴3tan HSK tan HAK 4∠∠=
=， ∴1tan EAB tan BCD 3
∠∠==， 设BD a =，CD 3a =， ∴AD BD 2ED a 6=+=+，11DK AD a 233=
=+， ∵CD DK CK +=， ∴13a a 283
++=，
解得：
9
a
5 =，
∴113
DK a2
35
=+=，
∴2614
CF CK2DK8
55
=-=-=．
【点睛】
本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．
16．如图，是大半圆的直径，是小半圆的直径，点是大半圆上一点，与小半圆交于点，过点作于点.
（1）求证：是小半圆的切线；
（2）若，点在上运动（点不与两点重合），设，.
①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②当时，求两点之间的距离.
【答案】（1）见解析；（2）①，，②两点之间的距离为
或.
【解析】
【分析】
（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM 是△AOP的中位线即可．
（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．
②当y=3时，得到-x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．
【详解】
（1）连接，如图1所示
∵是小半圆的直径，
∴即
∵
∴
∵
∴
∴，
∵
∴，
∴
∴.，即
∵经过半径的外端，且
∴直线是小半圆的切线.
（2）①∵，，
∴
∴
∴∽
∴
∴
∵,,，
∴
当点与点重合时，；当点与点重合时，∵点在大半圆上运动（点不与两点重合），∴
∴与之间的函数关系式为，
自变量的取值范围是.
②当时，
解得,
Ⅰ当时，如图2所示
在中，
∵，
∴，
∴
∵，
∴是等边三角形
∵
∴
∴
.
Ⅱ当时，如图3所示，
同理可得
∵
∴
∴
过点作，垂足为，连接，如图3所示∵，
∴
同理
在中，
∵，
∴
综上所述，当时，两点之间的距离为或.
【点睛】
考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．。