ansys错误集

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接触问题的关键在于接触体间的相互关系,此关系又可分为在接触前后的法向关系与切向关系。

法向关系:
在法向,必须实现两点:1)接触力的传递。

2)两接触面间没有穿透。

ANSYS通过两种算法来实现此法向接触关系:罚函数法和拉格朗日乘子法。

1.罚函数法
是通过接触刚度在接触力与接触面间的穿透值(接触位移)间建立力与位移的线性关系:    接触刚度*接触位移=法向接触力
对面面接触单元17*,接触刚度由实常数FKN来定义。

穿透值在程序中通过分离的接触体上节点间的距离来计算。

接触刚度越大,则穿透就越小,理论上在接触刚度为无穷大时,可以实现完全的接触状态,使穿透值等于零。

但是显而易见,在程序计算中,接触刚度不可能为无穷大(否则病态),穿透也就不可能真实达到零,而只能是个接近于零的有限值。

以上力与位移的接触关系可以很容易地合并入整个结构的平衡方程组K*X=F中去。

并不改变总刚K的大小。

这种罚函数法有以下几个问题必须解决:
1)接触刚度FKN应该取多大?
2)接触刚度FKN取大些可以减少虚假穿透,但是会使刚度矩阵成为病态。

3)既然与实际情况不符合的虚假穿透既然是不可避免的,那么可以允许有多大为合适?
因此,在ANSYS程序里,通常输入FKN实常数不是直接定义接触刚度的数值,而是接触体下单元刚度的一个因子,这使得用户可以方便地定义接触刚度了,一般FKN取0.1到1中间的值。

当然,在需要时,也可以把接触刚度直接定义,FKN输入为负数,则程序将其值理解为直接输入的接触刚度值。

对于接近病态的刚度阵,不要使用迭代求解器,例如PCG等。

它们会需要更多的迭代次数,并有可能不收敛。

可以使用直接法求解器,例如稀疏求解器等。

这些求解器可以有效求解病态问题。

穿透的大小影响结果的精度。

用户可以用PLESOL,CONT,PENE来在后处理中查看穿透的数值大小。

如果使用的是罚函数法求解接触问题,用户一般需要试用多个FKN值进行计算,可以先用一个较小的FKN值开始计算,例如0.1。

因为较小的FKN有助于收敛,然后再逐步增加FKN值进行一系列计算,最后得到一个满意的穿透值。

FKN的收敛性要求和穿透太大产生的计算误差总会是一对矛盾。

解决此矛盾的办法是在接触算法中采用扩展拉格朗日乘子法。

此方法在接触问题的求解控制中可以有更多更灵活的控制。

可以更快的实现一个需要的穿透极限。

2.拉格朗日乘子法与扩展拉格朗日乘子法
拉格朗日乘子法与罚函数法不同,不是采用力与位移的关系来求接触力,而是把接触力作为一个独立自由度。

因此这里不需要进行迭代,而是在方程里直接求出接触力(接触压力)来。

Kx=F+Fcontact
从而,拉格朗日乘子法不需要定义人为的接触刚度去满足接触面间不可穿透的条件,可以直接实现穿透为零的真实接触条件,这是罚函数法所不可能实现的。

使用拉格朗日乘子法有下列注意事项:
1)刚度矩阵中将有零对角元,使有些求解器不克使用。

只能使用直接法求解器,例如波前法或系数求解器。

而PCG之类迭代求解器是不能用于有零主元问题的。

2)由于增加了额外的自由度,刚度阵变大了。

3)一个可能发生的严重问题,就是在接触状态发生变化时,例如从接触到分离,从分离到接触,此时接触力有个突变,产生chattering(接触状态的振动式交替改变)。

如何控制这种chattering,是纯粹拉格朗日法所难以解决的。

因此,为控制chattering,ANSYS采用的是罚函数法与拉格朗日法混合的扩展拉格朗日乘子法。

在扩展拉格朗日法中,可以采用实常数TOLN来控制最大允许穿透值。

还有最大允许拉力FTOL。

这两个参数只对扩展拉格朗日乘子法有效。

在扩展拉格朗日乘子法里,程序按照罚函数法开始,与纯粹拉格朗日法类似,用TOLN来控制最大允许穿透值。

如果迭代中发现穿透大于允许的TOLN值,(对178单元是TOLN,而对面面接触单元171-174则是FTOLN)则将各个接触单元的接触刚度加上接触力乘以拉格朗日乘子的数值。

因此,这种扩展拉格朗日法是不停更新接触刚度的罚函数法,这种更新不断重复,直到计算的穿透值小于允许值为止。

尽管与拉格朗日法相比,扩展拉格朗日法的穿透并不是零,与罚函数法相比,可能迭带次数会更多。

扩展拉格朗日法有下列优点:
1)较少病态,个接触单元的接触刚度取值可能更合理。

2)与罚函数法相比较少病态,与单纯的拉格朗日法相比,没有刚度阵零对角元。

因此在选择求解器上没有限制,PCG等迭代求解器都可以应用。

3)用户可以自由控制允许的穿透值TOLN。

(如果输入了TOLN,而使用罚函数法,则程序忽略它)
切向关系:
摩擦的处理与法向接触力类似。

由于摩擦是非对称的,使问题变的更为复杂。

ANSYS缺省是做对称求解,即使用对称求解器作近似求解。

但是可以改变几个选项强迫做非对称求解。

非对称求解更精确,但是计算量大许多。

决定接触刚度
所有的接触问题都需要定义接触刚度,两个表面之间渗量的大小取决了接触刚度,过大的接触刚度可能会引起总刚矩阵的病态,而造成收敛困难,一般来谘,应该选取足够大的接触刚度以保证接触渗透小到可以接受,但同时又应该让接触刚度足够小以使不会引起总刚矩阵的病态问题而保证收敛性。

程序会根据变形体单元的材料特性来估计一个缺省的接触刚度值,你能够用实常数FKN来为接触刚度指定一个比例因子或指定一个真正的值,比例因子一般在0.01和10之间,当避免过多的迭代次数时,应该尽量使渗透到达极小值。

为了取得一个较好的接触刚度值,又可需要一些经验,你可以按下面的步骤过行。

1、开始时取一个较低的值,低估些值要比高估些值好因为由一个较低的接触刚度导致的渗透问题要比过高的接触刚度导致的收敛性困难,要容易解决。

2、对前几个子步进行计算
3、检查渗透量和每一子步中的平衡迭代次数,如果总体收敛困难是由过大的渗透引起的(而不是由不平衡力和位移增量引起的),那么可能低估了FKN的值或者是将FTOLN的值取得大小,如果总体的收敛困难是由于不平衡力和位移增量达到收敛值需要过多的迭代次数,而不是由于过大的渗透量,那么FKN的值可能被高估。

4、按需要调查FKN或FTOLN的值,重新分析。

在有限元分析中,接触单元通常用来描述两物体相互接触或滑动的界面。

近年来,ANSYS开发了一系列的接触单元。

刚开始有节点对节点单元CONTAC12和CONTAC52,接着有节点对地单元CONTAC26,然后有节点对面单元CONTAC48和CONTAC49。

最近几年,我们引入一类面对面接触单元CONTA169和CONTA174,同时还有一种新的节点对节点单元CONTA178。

虽然接触单元的参数具有多样性,但我们在使用他们时可谨记重要的一点,他们具有一个共同的特点,即除了CONTA178的KEYOPT(2)=0或1外,所有的接触单元都有接触刚度。

在现实中实际上相邻结构之间只是一种空隙,但在有限元分析中,这种空隙是一带有刚度的接触单元,这是因为通过刚度矩阵来实
现接触算法的。

一些接触单元要求使用者输入刚度值,同时另外的接触单元若没有输入则使用缺省值。

分析工程师所面对的问题就是针对给定的条件确定一个合理的刚度值。

如果过高,问题将会不收敛,如果过低,可能得到错误的结果。

那么我们所面对的问题是怎样才能找到一个正确的刚度值?
我认为唯一的方法就是我们必须试用不同的值直到找到正确的值。

也就是刚开始我们应该使用一个较小的值,然后稳步的增加直到分析的结果不再有什么变化。

那么对于我们这一特定分析的问题,这一点就是我们所想要的合适值。

我们可举例说明,如图1所示,平行放置两个悬臂梁,并有少许的交迭,下面的左边固支,上面的右边固支,当在上面梁的自由端施加一个向下位移时,梁变形弯曲并接触下面的梁,然后一起向下运动。

用SOLID45单元划分梁,用TARGE170和CONTA174面面接触单元来描述相互作用。

在此基础上,把CONTA174单元的刚度从非常低变到非常高,从而来观察它对结果的影响和收敛的迭代次数。

图2说明了下梁自由端的偏移随接触单元刚度的变化情况,当刚度增加时,偏移量接近一个常数值(我们可以假定它是一个"正确"的结果。

)图3说明求解所需的迭代次数,当接触单元刚度增加时,求解所需的迭代次数也是增加的,并服从指数关系。

如果刚度过高,问题很有可能根本就不收敛。

图4说明在上梁自由端接触单元的渗透量,当刚度增加时,渗透量降低。

从这些图可知,当接触单元的刚度为10e6时,可获得合理精确的结果。

任何大于该值的刚度对下梁的偏移量没有什么影响,而求解所需的迭代数却显著的增加。

对于这个题目,10e6的刚度是很适合的。

但是,如果改变边界条件、网格密度、两梁之间的相对位置、材料特性或梁的几何形状,能获得满意结果的接触刚度值将是不同的。

比如,如果网格密度增加,则接触单元数将增加,每一个单元上的载荷将降低。

如果接触单元数增加两倍,一个合适的接触单元刚度值应为原来的一半。

由于每个题目都是不一样的,所以在求解之前并没有通用的方法来确定接触单元刚度的最佳值。

我们不得不试算一个我们认为合适的值然后查看计算结果。

一个有经验的分析工程师可能只查看一个计算结果来判定所取值的合适度,但对于大多数情况而言,最好用一个合理而不过度精确的刚度值进行第一次求解,然后用10倍于该值的刚度进行第二次求解,如果两者结果相差很小,而迭代数增加很多,那么我们则正好取得了曲线上的突变点,从而获得相当好的结果。

接触单元刚度问题仅仅是一个例子,即对于分析工程师来说,总是置疑于分析结果的正确与否是非常重要的,并要意识到数值仿真的局限性和潜在的假设及他们怎样影响所分析问题的结果。

There are 21 small equation solver pivot terms. ..................................................................... .................................................................... 第一个问题:说明结构刚度矩阵出现小主元。

如果矩阵D 的所有主元都是正的,这时结构的切线刚度矩阵正定,结构处于稳定状态;如果矩阵D 的主元有小于0 的,则切线刚度矩阵非正定,结构处于不稳定状态。

如果出现的小主元不多,说明可能是达到某个临界点,以后还可以继续求下去;如果出现的小主元很多,而且越来越多,说明这个结构即将破坏,比如出现大面积的塑性区,形成多个塑性铰等。

当|D |=0时,矩阵D 为奇异矩阵,非线性方程会产生奇异解,奇异解出现于可能产生不定解或非唯一解的分析中,求解方程的主元为负或零会产生这样的奇异解。

有些情况下,尽管遇到主元为负或零,仍需继续进行分析(特别是一些非线性分析中)。

(since a negative or zero pivot value can occur for a valid analysis.)
下述条件会引起求解过程出现奇异性:(The following conditions may cause singularities in the solution process: )
·约束条件不足
·模型中有非线性单元:如间隙元、滑动元、铰链元、缆束员等。

结构的一部分可能已经塌陷或分散了
·材料特性为负:如在瞬态热分析中规定的密度或温度
·连接点无约束,单元排列可能会引起奇异性。

例如:两个水平梁单元在连接点的垂直方向存在无约束自由度,在线性分析中,将会忽略加在该连接点的垂直载荷。

另外,考虑一个与梁单元或管单元垂直相连的无板面内的旋转刚度的壳单元,在连接点处不存在板面内的旋转刚度。

在线性分析中,将会忽略加在该点处的板面内力矩。

·屈曲。

当应力刚化效果为负(压缩)时,结构受载后变弱。

若结构变弱到刚度减小到零或为负值,就会出现奇异解,且结构已经屈曲。

会打印出“主元值为负”的消息。

·零刚度矩阵(在行或列上)。

如果刚度的确为零,线性或非线性分析都会忽略所加的载荷。

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NO.0098
NO.0003、 Coefficient ratio exceeds 1.0e8 - Check results.
这个大概是跟收敛有关,但是我找不到具体的原因。

好像这个coefficient是指刚度系数,
大多发生在接触定义不当和接触间隙过大倒置,
我作的一个模型,其中有一个弹簧combin39, 当定义两节点不当倒置弹簧不成立时就会出现这个warning,当调节好后,这个warning就会消失
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NO.0099
在三维计算时,出现这样的错误:Zero volume in element 212630,调试半天,也没弄明白是什么原因,大家帮帮忙!
模型上的尺寸差别太大,所以划分单元时出现了一些非常小的单元,或者是提示中的0体积单元。

我遇到过这个问题,想办法先把体切割一下再划分,不行只能修改前面的建模了。

我的当时是由于前面建模时没有注意,出现了一段非常短的
线,划分网格时就在那段非常小的线附近出现这样的问题,有时单元设置不好的话甚至不能划分网格。

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NO.00100
在计算时遇到Nagative or zero pivot;pivot value=0.0000000e+.000.不知
什么原因,且计算直接退出来了!
出现0主元,矩阵没法求解,所以退出了
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NO.00101
Memory available for solver = 522.38 MB
Memory required for in-core = 6435.80 MB
Optimal memory required for out-of-core = 758.20 MB
Minim ...
你用的稀疏矩阵求解器,是直接求解器,很耗资源,速度也不是很好,一般适用于10000~500000自由度的问题求解。

可以考虑用迭代求解器中的PCG或者JCG
求解器。

用命令EQSLV可以换求解器
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NO.00102
*** WARNING *** CP = 10.156 TIME= 19:17:20 Cumulative iteration 2 may have been solved using different model or boundary condition data than currently stored. POST1 results may be erroneous unless you RESUME from a Jobname.DB file for this substep.
我试过了,你可能当时ansys同时打开了两个db文件,或者你打开的db文件的文件名与你刚刚打开ansys时工作目录下定义的文件名不同
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NO.00103
模态分析:主要单元是solid95单元,共11万个单元。

模态分析时,中途中断,跳出错误提示:
*** ERROR *** CP = 1739.797 TIME= 16:31:41 Eigenvalue extraction failed due to a file access error. Possibly insufficient disk space.
磁盘空间不够!
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NO.00104
在用VSBA,ALL,6命令时出现错误:
Topological degeneracy detected for VSBA command Try modifying geometry slightly or loosening the tolerance(BTOL command),If BTOL is relaxed,be sure to change the tolerance back to the default after operation。

相减后产生退化单元,可能是面没有选择好,可以设置boolen 公差(使用BTOL 命令),如果公差已经很松弛了,在操作后恢复默认。

NO.00105
求解后出现如下错误提示,不知什么原因。

*** ERROR *** CP = 1299.000 TIME= 11:18:37
Large negative pivot value ( -9.196344763E-06 ) in Eqn.system. May be
because of a bad temperature-dependent material property used in the
model.
*** WARNING *** CP = 1299.141 TIME= 11:19:09
Smallest negative equation solver pivot term encountered at UX DOF of
node 74247. Check for an insufficiently constrained model.
NO.0001
ESYS is not valid for line element.
原因:是因为我使用LATT的时候,把“--”的那个不小心填成了“1”。

经过ANSYS的命令手册里说那是没有用的项目,但是根据我的理解,这些所谓的没有用的项目实际上都是ANSYS在为后续的版本留接口。

对于LATT,实际上那个项目可能就是单元坐标系的设置。

当我发现原因后,把1改成0——即使用全局直角坐标系,就没有WARNING了。

当然,直接空白也没有问题。

NO.0002
使用*TREAD的时候,有的时候明明看文件好好的,可是却出现*TREAD end-of-file in data read. 后来仔细检查,发现我TXT的数据文件里,分隔是采用TAB键分隔的。

但是在最后一列后面,如果把鼠标点上去,发现数据后面还有一个空格键。

于是,我把每个列最后多的空格键删除,然后发现上面的信息就没有了。

NO.0003
Coefficient ratio exceeds 1.0e8 - Check results.
这个大概是跟收敛有关,但是我找不到具体的原因。

我建立的一个桥梁分析模型,尽管我分析的结果完全符合我的力学概念判断,规律完全符合基本规律,数据也基本符合实际观测,但是却还是不断出现这个警告信息。

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NO.0004
*TREAD end-of-file in data read
txt中的表格数据不完整!
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NO.0005
No *CREATE for *END. The *END command is ignored
忘了写*END了吧,呵呵
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NO.0006
Keypoint 1 is referenced by only one line. Improperly connected line set for AL command
两条线不共点,尝试nummrg命令。

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NO.0007
L1 is not a recognized PREP7 command, abbreviation, or macro. This command will be ignored 还没有进入prep7,先:/prep7
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NO.0008
Keypoint 2 belongs to line 4 and cannot be moved
关键点2属于线4,移动低级体素时先移动高级体素!
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NO.0009
Shape testing revealed that 32 of the 640 new or modified elements
violate shape warning limits. To review test results, please see the
output file or issue the CHECK command.
单元形状奇异,在我的模型中6面体单元的三个边长差距较大,可忽略该错误
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NO.0010
用命令流建模的时候遇到的
The drag direction (from the keypoint on drag line 27 that is closest
to a keypoint KP of the given area 95) is orthogonal to the area
normal at that KP. Area cannot be dragged by the VDRAG command.
意思是拉伸源面的法向与拉伸路径垂直,不能使用VDRAG命令
出现的环境
ASEL,S,LOC,Z,143e-3
VDRAG,ALL, , , , , , 27
本意是按位置z=143e-3位置的面,然后沿编号27的线拉伸,出错,之前用该语句没有任何问题。

检查发现选面的命令多选了一些面,把挨着要选择面的一些面选进来了将该语句修改后没有问题ASEL,S,LOC,Z,143e-3,144e-3位置的最大最小值可能需要根据具体的模型调整.
NO.0011
我在计算三维的时候出现一个error,如图所示,不知道代表什么意思啊?是说我的内存不足么?请问各位大侠,碰到这种问题应该怎么解决呢?当选择自由划分网格的时候,怎么样能使默认最小的网格更小呢?
error:Meshing of volume 5 has been aborted because of a lack of memory. Closed down other processes and/or choose a larger element size, then try the VMESH command again. Minimum additional memory required=853MB
你划分的网格太细了,内存不足。

建议将模型划分为几个部分,分部分进行划分,可以减少内存使用,试一下!
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NO.0012
ring model建立时候遇到的。

请指教!Brick element 4731 has an aspect ratio of 1000, which exceeds the
warning limit of 20.
aspect ratio(方向率)是表征单元形状好坏的一个参数。

如果aspect ratio过大或者过小都表示单元形状很差。

一般单元形状差是指单元中出现了大的钝角(接近180度)或者很小的锐角(接近0度)。

(by wishangtian)
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NO.0013
CLEAR, SELECT, and MESH boundary condition commands are not possible
after MODMSH.
这个信息说的很明确,那就是在你定义过
有限元模型与实体模型的关系后(具体命令为MODMSH),不能再进行清除,选择或者划分边界条件的操作。

这是ANSYS里面系统自己规定的操作要求的。

(by wishangtian)
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NO.0014
说下我最近碰到的一个小粗心引起的ERR,就是在MAC文件中中文的注释前的感叹号必须是英文格式下输入的,如果是中文格式的,宏文件运行会出错
希望大家引以为戒,不要出现类似错误
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NO.0015
clear is not a recognized GEGIN command,abbreviation,or macro.
this command will be ingored.
那是因为打开了前处理,求解或者后处理,
先用FINISH命令,再用CLEAR就可以了
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NO.0016
solid model data is contaminated
实体模型被污染了(布尔操作中经常出现)
原因就是布尔操作中出现运算错误,实体模型被污染。

解决办法:
1、修补模型。

2、最好的还是重新建立模型。

3、还有一种方法是将模型用write命令写出来,然后用read命令读进去就好了。

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NO.0017
Mid-nodes of some elements have been modified to lie on straight edges
because of distortion with the original mid-nodes. This condition is
sometimes eliminated by tetrahedron element improvement when enabled.
Issue ESEL,,STRAIGHTENED to select such elements for listing or
plotting.
这是我遇到的一个警告,不知道什么意思,对我的后处理有影响吗,该如何处理,谢谢了(by littleming )
警告的意思:有些单元的中间节点被修改了,修改后位于直的单元边界上,这是由于单元发生扭曲。

这个警告可以忽略。

对计算精度有一定影响。

但是影响不大。

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NO.0018、
*** FATAL *** CP = 169.906 TIME= 15:50:03
Insufficient memory error during solution. Please reduce your problem
size or increase your system swapped space (refer to the Basic
Analysis Procedures Guide, Ch. 19).
*** FATAL *** CP = 172.344 TIME= 15:50:24
This model requires more scratch space than available, currently
8026545 words ( 31 MB). ANSYS was not able to allocate more memory to
proceed. Please shut down other applications that may be running or
increase the virtual memory on your system and rerun ANSYS. Problem
terminated.
************************************************************************ The above error is non-recoverable by ANSYS
ANSYS run terminated by the indicated error
Current data base saved if possible.
************************************************************************
我在计算过程中碰到过几次这样的错误,计算被迫中断。

模型最终的节点有100万左右,有时在别人的机子上可以计算下去(软件设置基本一样),但在我的机子上就会弹出这样的错误信息。

现在还不清楚具体原因,初步怀疑和机子的硬件有关系。

不知有人知道具体原因吗?
呵呵,今天找到原因所在了。

原来我的虚拟内存设置为“无分页文件”,现在改为“系统管理”,就不在出现计算内存不够的情况了。

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NO.0019
Keypoint 1 is referenced by only one line. Improperly connected line
set for AL command
原因是:使用AL命令时,你的所有线没有闭合。

既然要形成面,就必须要求所有的线围起来,形成闭合的回路。

再换一句话说就是上面的英文警告说的:每个关键点必须同时被两条线共用才能保证形成面。

如果有
关键点只被一条线使用,当然就不能形成面了。

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NO.0020
说说我遇到的问题吧~~,总结一些供大家分享,由于都是比较早的,所以英文原文的error,都不在了,所以我就顺便说一下英文意思就可以了,附上解决方法。

1.I/O设备口错误,I/O=26,错误,告诉你磁盘已满,让你清理磁盘。

但是实际问题的解决不是这样,是你的磁盘格式不对,将你的磁盘格式从FAT26改称NTFS的就可以了。

因为FAT26格式的要求你的单一文件不能大于4G。

但是我们一旦做瞬态或者是谐相应的时候都很容易超过这个数,所以系统抱错。

2.I/O设备口错误,I/O=9,错误,和上一个一样告诉你磁盘已满,让你清理磁盘。

但是实际问题是由于你的磁盘太碎了造成的,你只要进行磁盘碎片整理就可以了,这个问题就迎刃而解。

3.实体破坏。

这个问题好像遇到的朋友不是特别的,我觉得大部分是由于布尔操作造成,它是一个很很的方法,但是如果用不好,随之而来,也会带来麻烦,所以建议大家慎用布尔操作。

4.非对称单元,你在做模态求解的时候,出现错误,告诉你用非对称求解器或者是阻尼求解器做。

但实际上我觉得不是这个原因造成的,因为你选择了这两个求解器一般也是求不出来的。

主要原
因还是你的单元划分的不好,造成Jabbic矩阵奇异,所以最好可以重新划分单元。

5.plane单元只能划分平行于X—Y面的面,其余方向的会出错。

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NO.0021
question:
在用Area Fillet对两空间曲面进行倒角时出现以下错误:Area 6 offset could not fully converge to offset distance 10. Maximum error between the two surfaces is 1% of offset distance.请问这是什么错误?怎么解决?其中一个是圆柱接管表面,一个是碟形封头表面。

answer:
ansys的布尔操作能力比较弱。

如果一定要在ansys里面做的话,那么你试试看先对线进行倒角,然后由倒角后的线形成
倒角的面。

建议最好用UG、PRO/E这类软件生成实体模型然后导入到ansys。

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NO.0022
question:
There are 21 small equation solver pivot terms.;
SOLID45 wedges are recommended only in regions of relatively low
stress gradients.
第一个问题我自己觉得是在建立contact时出现的错误,但自己还没有改正过来;第二个也不知道是什么原因。

还有一个:initial penetration 4.44089×10E-6 was detacted between contact element 53928 and target element 53616;也是建立接触是出现的,也还没有接近。

唉,郁闷中!!
answer:
第一个问题:There are 21 small equation solver pivot terms.;
不是建立接触对的错误,一般是单元形状质量太差(例如有i接近零度的锐角或者接近180度的钝角)造成small equation solver pivot terms
第二个问题:SOLID45 wedges are recommended only in regions of relatively low
stress gradients.。

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