四川省成都市成华区重点中学2023届高三上学期10月月考数学(理)试题及答案

成华区重点中学2022-2023学年高三上学期10月月考
理科数学
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4. 考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i 是虚数单位，复数Z 满足()2i 12i z +⋅=-+，则z =（ ） A. i
B. 1
C.
35
D.
53
2. 已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}
24B x x =≤，则A B =（ ）
A. []2,2-
B. (]2,1-
C. [)2,3-
D. ∅
3. sin109cos296cos71sin64︒︒+︒︒=（ ）
A.
12
B.
2
C.
D. 1
4. 要得到2()sin 43
g x x π⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭
的图象，只需要将22
()cos 2sin 2f x x x =-的图象（ ） A. 向左平移24
π
个单位长度
B. 向右平移24
π
个单位长度
C. 向左平移
12π
个单位长度 D. 向右平移
12
π
个单位长度
5. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，()
F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足OP OF =，且4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）
A.
22
1255x y += B.
22
14525x y +=
C.
22
13010
x y += D.
22
13616
x y += 6. 如图是某多面体的三视图，尺寸如图，则该几何体的体积是（ ）
A.
132
B.
203
C.
476
D.
72
7. 已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）
A. )
2()ln
1f x x x =+
B. ()cos f x x x =
C. ()e e 2sin x
x
f x x -=--
D. ()sin f x x x =
8. 设0.2a =，ln1.4b =，sin0.2c =，则（ ） A. a b c <<
B. c b a <<
C. c a b <<
D. b c a <<
9. 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △满足2AB =，
90ACB ∠=︒，PA 为球O 的直径且4PA =，则点P 到底面ABC 的距离为（ ）
A.
2 B. 22 C.
3 D. 3
10. 某小区因疫情需求，物业把招募的5名志愿者分配到3处核酸采样点，每处采样点至少分配1名，则不同的分配方法共有（ ） A. 150种
B. 180种
C. 200种
D. 280种
11. 已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()11f x f x -=+.若()12f =，则
20221
()k f k ==∑（ ）
A. 2022
B. 0
C. 2
D. －2
12. 已知抛物线1C ：2
12y x =的焦点为F ，圆2C ：2
2
60x y x +-=，过点F 的直线l 与
抛物线1C 交于A ，B 两点，与圆2C 交于M ，N 两点，且点A ，M 在同一象限，则
4AM BN +的最小值为（ ）
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 二项式6
1x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为_________.
14. 某地有60000名学生参加考试，考试后数学成绩X 近似服从正态分布()
2110,N σ，若
()901100.45P X ≤≤=，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为_________.
15. 已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直
线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则双曲线C 的离心率为_________.
16. 已知函数()e ln(1)(1)1x
f x k x k x =++-+-，当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，则k 的
取值范围是_________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“3＋1＋2”模式选科参加高考；“3”’为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目.
（1）为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750名学生中随机抽样调查了100名学生，得到如下部分数据分布：
选物理方向
选历史方向
合计 男生 30 40 女生 合计
50
100
请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；
（Ⅱ）记已选物理方向的甲、乙两名同学在“4选2”的选科中所选的相同的选科门数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
附：()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d +++-+=，n a b c d =+++.
()20P K k ≥
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 为PC 的中点.
（Ⅰ）求证：PA ∥平面MBD ；
（Ⅱ）若2PA AB AD ===，120BAD ∠=︒，求二面角B AM D --的正弦值. 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足112a =，21a =，()211
2
n n n a a a ++=+. （Ⅰ）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.
20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2
1l ：
30x y +-=与椭圆C 相交于A ，B 两点，且4AB =.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线2l ：10x y --=与椭圆C 相交于P ，Q 两点，求证：A ，B ，P ，Q 四点在同一个圆上.
21.（本小题满分12分）已知函数()2cos sin f x ax ax x x =--. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[]0,π上的最大值； （Ⅱ）当0x >时，()0f x ≥，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分.考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C
的参数方程为
2x y t
⎧⎪=⎨
=⎪⎩t 为参数），直线l
的极坐标方程为cos 4πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P 在曲线C 上，点Q 在直线l 上，求PQ 的最小值及此时点P 的坐标. 23. [选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知0a >，0b >，0c >，函数
()f x x a x b c =++-+的最小值为2.
（Ⅰ）求a b c ++的值； （Ⅱ）求证：1119
4
a b b c c a ++≥+++.
成华区重点中学2022-2023学年高三上学期10月月考
理科数学参考答案
1. B
2. C
3. B
4. A
5. D
6. A
7. B
8. C
9. D 10. A 11. C 12. B 13. 15 14. 3000 15. 2 16. (],1-∞
17. 解：（Ⅰ）根据题意可得，列联表如下：
由于2
K 的观测值2100(30402010)50
16.66710.828406050503
k ⨯⨯-⨯=
=≈>⨯⨯⨯， 所以有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关. （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，
22422244C C 1(0)C C 6P ξ===，12432244C A 2(1)C C 3P ξ===，2
4
22
44C 1(2)C C 6
P ξ===. ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
16 23 16
所以121()0121636
E ξ=⨯
+⨯+⨯=. 18.（Ⅰ）证明：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接OM .
由已知可得，O 为AC 的中点. 又M 为PC 的中点，所以PA OM ∥. 又OM ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ， 所以PA ∥平面MBD .
（Ⅱ）解：由题意可得，平行四边形ABCD 为菱形，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 在菱形ABCD 中，因为2AB AD ==，120BAD ∠=︒， 所以2AC =，3OB =由已知，得(
)
3,0,0B
，()0,1,0C ，()
3,0,0D -，()0,1,0A -，()0,0,1M ，
所以()3,1,0BA =--，()3,0,1BM =-
，(
)3,1,0DA =
-，(
)
3,0,1DM =
.
设平面MBA 的法向量(),,m x y z =，
则00m BA m BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3030x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，即33y x
z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令1x =，则33
y z ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，
所以平面MBA 的法向量(1,3,3m =-. 同理可得，平面MDA 的法向量(1,3,3n =-，
所以cos ,135
77m n m n m n
-⋅=
=
=-⨯⋅，
则26
sin ,7
m n =
故二面角B AM D --的正弦值为7
. 19.（Ⅰ）证明：因为()2112n n n a a a ++=
+，11
2
a =，21a =， 所以()21112n n n n a a a a +++-=--，211
2
a a -=，
故数列{}1n n a a +-是首项为12，公比为1
2
-的等比数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，1
1111222n n
n n a a -+⎛⎫
⎛⎫-=⋅-=-- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，
故当2n ≥时，()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+
+-
1
11
1112215(1)12
63212n n n ---⎡⎤
⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭
-⎢⎥⎣⎦
=+=-⨯⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
. 当1n =时，也满足1
1
5(1)632n n n a ---=-⨯， 故数列{}n a 的通项公式为1
1
5(1)632n n n a ---=-⨯.
20.（Ⅰ）解：设()11,A x y ，()22,B x y .
由已知可得，椭圆C 的方程为22
2212x y b b
+=，
由22
221230x y b b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得22
3121820x x b -+-=， 则124x x +=，2
121823
b x x -=，
所以()
22
12123
24443
b x x x x AB -=⋅
+-==，解得26b =，
所以椭圆C 的方程为
22
1126
x y +=. （Ⅱ）证明：如图，设AB 的中点为M ，PQ 的中点为N ，连接AN ，BN . 由（Ⅰ）可知，()2,1M . 设()33,P x y ，()44,Q x y .
由22
112610x y x y ⎧+
=⎪⎨⎪--=⎩
，得234100x x --=， 所以3443x x +=，34103
x x =-， 所以21,33N ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭，()
2
3434417
243
x P x x x Q =⋅+-=
. 由已知可得，直线2l 为AB 的中垂线，且2
2
214221333MN ⎛
⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以2
2
2
244221722332A P B M Q NA N N B ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=， 所以A ，B ，P ，Q 四点在以PQ 为直径的圆上.
另解一：设AB 的中点为M ，则4MA MB ⋅=. 由（Ⅰ）可知，()2,1M .
设直线2l
的参数方程为2212
x t
y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数）.
将直线2l 的参数方程代入
22
1126
x y +=
，得23120t +-=， 则124t t =-，得4MP MQ ⋅=， 所以MP MQ MA MB ⋅=⋅， 所以A ，B ，P ，Q 四点在同一个圆上. 另解二：设经过A ，B ，P ，Q 四点的曲线系为
()22(1)(3)2120x y x y x y λ--+-++-=，
表示圆的必要条件为121λλ+=-，即2λ=.
当2λ=时，A ，B ，P ，Q 四点共圆，此圆为22
2168339x y ⎛
⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
21. 解：（Ⅰ）当1a =时，()2cos sin f x x x x x =--，()22cos sin f x x x x '=-+. 当[]0,x π∈时，()2(1cos )sin 0f x x x x '=-+≥， 所以()f x 在[]0,π上单调递增， 所以max ()()3f x f ππ==.
（Ⅱ）由已知可得，()00f =，()2(cos sin )cos f x a a x x x x '=---，则()01f a '=-. ①若1a ≥，则()2cos sin f x x x x x ≥--，
由（Ⅰ）可知，当[]0,x π∈时，()()00f x f ≥=；
当(),x π∈+∞时，2cos sin (1cos )(sin )0x x x x x x x x --=-+->， 所以()0f x ≥恒成立.
②若0a ≤，则()2cos sin (1cos )sin f x ax ax x x ax x ax x =--=-+-，
当0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x <，不符合题意. ②若01a <<，因为0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()(21)sin cos 0f x a x ax x ''=++≥， 所以()f x '在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增， 又2022f a ππ⎛⎫⎛⎫'=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，(0)0f '<， 所以存在00,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，()00f x '=， 所以当()00,x x ∈时，()0f x '<，
所以()f x 在()00,x 上单调递减，
所以()()00f x f <=，不符合题意.
综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞.
22. 解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程，得221(0)12x t x =-≥，2
24
y t =， 所以曲线C 的普通方程为22
1(0)124
x y x +=≥. 由直线l 的极坐标方程，得cos sin 80ρθρθ+-=.
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得直线l 的直角坐标方程为80x y +-=. （Ⅱ）由题意，可设点P
的坐标为(),2sin αα，22π
π
α-≤≤，
则点P 到直线l
的距离d ==. 当6π
α=
时，min d =
所以min PQ =P 的坐标为()3,1.
23.（Ⅰ）解：因为0a >，0b >，0c >，
所以()()()f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，
所以()f x 的最小值为a b c ++，
所以2a b c ++=.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，2a b c ++=，且a ，b ，c 都是正数， 所以[]11111119()()()44
a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++≥ ⎪++++++⎝⎭， 当且仅当23
a b c ===
时，等号成立， 所以11194a b b c c a ++≥+++得证.。