高考数学总复习 考前三个月 小题满分练8 理

小题满分练8
1．(2017·扬州期末)已知集合A ＝{x |x ≤0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝________. 答案 {－1,0}
解析 根据交集的定义，A ∩B ＝{x |x ≤0}∩{－1,0,1,2}＝{－1,0}． 2．双曲线x 24－y 2
5＝1的离心率为________．
答案 32
解析 因为a 2＝4，b 2＝5，所以c 2＝a 2＋b 2
＝9，离心率e ＝c a ＝32
.
3．从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)，得到的数据为160,162,159,160,159，则该组数据的方差s 2
＝________. 答案 65
解析 由题干条件可得x ＝
160＋162＋159＋160＋1595＝160，所以s 2
＝15(4＋1＋1)＝65
.
4．(2017·苏州期末)一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为________． 答案 0.4
解析 设“目标受损但未完全击毁”为事件A ，则其对立事件A 是“目标未受损或击毁目标”．P (A )＝1－P (A )＝1－(0.4＋0.2)＝0.4. 5．如图所示，该伪代码运行的结果为__________．
S ←0 i ←1
While S ≤20
S ←S ＋i i ←i ＋2
End While Print i 答案 11
解析 第一次循环，S ＝1，i ＝3；第二次循环，S ＝1＋3＝4，i ＝5；第三次循环，S ＝4＋5＝9，i ＝7；第四次循环，S ＝9＋7＝16，i ＝9；第五次循环，S ＝16＋9＝25，i ＝11，此时
S >20，故输出i ＝11.
6．已知平面向量a ，b 满足(a ＋b )·(2a －b )＝－4，且|a |＝2，|b |＝4，则a 与b 的夹角为________． 答案
π3
解析 由题意可得(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2
－b 2
＋a ·b ＝8－16＋a ·b ＝－4，解得a ·b ＝4，
所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π
3
.
7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________． 答案 (－2,0)∪(2，＋∞)
解析 当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，解得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2.综上，不等式f (x )<0的解集是
(－2,0)∪(2，＋∞)．
8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为________． 答案 20
解析 设正五棱锥高为h ，底面正五边形的角为108°， 底面正五边形中心到边距离为tan54°，
h ＝
12tan54°，则此正五棱锥体积为13×5×12×2×tan54°×12tan54°
＝20.
9．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________． 答案
3＋1
2
解析 设AB ＝BC ＝2c ，则由余弦定理可得CA ＝AB 2
＋BC 2
－2AB ×BC co s120°＝23c .根据双曲线的定义可得CA －CB ＝2a ，即23c －2c ＝2a ，所以(3－1)c ＝a ，故双曲线的离心率
e ＝c a ＝3＋12
. 10．若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3n －1
a n ＝n
2
，其前n 项和为S n ，则S n ＝________.
答案 34⎝
⎛
⎭⎪⎫1－13n
解析 因为a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3
n －1
a n ＝n 2
，
所以当n ≥2时有a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2
a n －1＝n －12
，
两式作差得3
n －1
a n ＝1
2
，
所以a n ＝12·1
3
n －1，
又因为当n ＝1时，a 1＝1
2适合此式，
所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝12·1
3n －1，
所以S n ＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13n 1－13
＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－13n .
11．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
3－x 的值为________．
答案 5
9
解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1
－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1－19＝89，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
3－x ＝－13＋89＝59.
12．已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，m ，n ∈R ，则(m －2)2
＋(n －2)2
的取值范围是________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，8 解析 因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →
，所以
m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞0，n ＞0，
m ＋n ＜1，
作出不等式组表示的平面区域如图所
示．因为(m －2)2
＋(n －2)2
表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2,2)的距离的平方．因为点
A 到直线m ＋n ＝1的距离为
|2＋2－1|2＝32
，故⎝ ⎛⎭⎪⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)
2
＋(n －2)2
的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，8.
13．椭圆x 24＋y 2
3
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，
Q 两点，则△F 1PQ 的内切圆面积的最大值是________．
答案
9π16
解析 令直线l ：x ＝my ＋1，
与椭圆方程联立消去x ，得()3m 2
＋4y 2
＋6my －9＝0，
可设P ()x 1，y 1，Q ()x 2，y 2， 则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－9
3m 2＋4.
可知1F PQ S V ＝1
2F 1F 2||y 1－y 2
＝
()y 1＋y 22－4y 1y 2
＝12
m 2＋1
()3m 2＋42
，
又m 2＋1()3m 2＋42
＝1
9()m 2
＋1＋
1
m 2
＋1
＋6≤116
， 故1F PQ S V ≤3.
三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍， 则内切圆半径r ＝
12F PQ
S V 8
≤34，其面积的最大值为9π16
. 14．已知函数f (x )的定义域为R ，若存在常数k ，使|f (x )|≤k
2017|x |对所有实数都成立，
则称函数f (x )为“期望函数”，给出下列函数： ①f (x )＝x 2
；②f (x )＝x e x
；③f (x )＝x
x 2
－x ＋1
；
④f (x )＝x
e x ＋1
.
其中函数f (x )为“期望函数”的是________．(写出所有符合条件的函数序号) 答案 ③④
解析 ①假设函数f (x )＝x 2
为“期望函数”，则|f (x )|＝|x 2
|≤k
2017|x |，当x ≠0时，k ≥
2017|x |，因此不存在k ，因此假设错误，即函数f (x )＝x 2
不是“期望函数”；②假设函数
f (x )＝x e x 为“期望函数”，则|f (x )|＝|x e x |≤
k
2017
|x |，当x ≠0时，k ≥2017e x
，因此不存在k ，因此假设错误；③假设函数f (x )＝
x
x 2－x ＋1为“期望函数”，|f (x )|＝
|x |⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －122＋34≤4
3|x |，
当x ≠0时，对任意的k 2017≥43，都有|f (x )|≤k 2017|x |成立，故正确；④假设函数f (x )＝x
e x
＋1
为“期望函数”，|f (x )|＝|x |e x ＋1≤k
2017
|x |对所有实数都成立，故正确．故答案为③④.。