高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编及解析

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》高考复习知识点
一、选择题
1．把15个相同的小球放到三个编号为123
，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（）
A．18B．28C．38D．42
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．
【详解】
根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123
，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，
则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，
将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有
2 887
28 2
C
⨯
==种不同的放法，
即有28个不同的符合题意的放法；
故选B．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．
2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A．2 B．3 C．10 D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.
【详解】
设阴影部分的面积是s ，由题意得
，选C.
【点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
3．若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A ．252
B ．70
C ．256x
D ．256x -
【答案】B
【解析】
由题意可得26n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44445881()70T C x C x
===，故选B.
4．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）
A ．100种
B ．60种
C ．42种
D ．25种
【答案】C
【解析】
【分析】
给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数.
【详解】
甲可有3种安排方法，
若甲先安排第1社区，
则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1343C C ⋅；
第2社区2个、第3社区安排2个，共2242C C ⋅； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11
41C C ⋅；
故所有安排总数为1322114342413()42C C C C C C ⨯⋅+⋅+⋅=. 故选：C.
【点睛】
本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
5．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）
A ．314
B ．27
C ．928
D ．1928
【答案】A
【解析】
【分析】
列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率.
【详解】
根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种. 故632814
p =
=. 故选：A .
【点睛】 本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；
（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23y
x =-； （4）“1x ≥”是“12x x +
≥”的充分不必要条件. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根
据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；
（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质
和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23y
x =-是正确；
（4）中，当1x ≥时，可得12x x +
≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x
+
≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )
A ．85
B ．65
C ．45
D ．25
【答案】B
【解析】
【分析】 由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5
X B ，由此能求出()D X ．
【详解】 由题意知，3~(5,)3
X B m +， 3533
EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5
X B ∴， 336()5(1)555
D X ∴=⨯⨯-=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
8．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ）
A ．78
B ．34
C ．12
D ．14
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率.
【详解】
解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，
学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤，
家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，
要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，
则相当于565.5 6.5
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即求y x ≥的概率， 如图所示：
约束条件对应的可行域面积为：1，
则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228
-⨯⨯=， 所以对应的概率为：7
7818
=， 即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：
78
. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.
9．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.
B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.
C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.
D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．
【详解】
由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．
故选D．
【点睛】
本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．
10．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为
（）
A ．－233
B ．10
C ．20
D ．233
【答案】A
【解析】
【分析】
对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案．
【详解】
对等式两边进行求导，得：
2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4，
令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5；
又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，
∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233．
故选A ．
【点睛】
本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．
11．若随机变量()23,X N σ
:，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ） A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3 【答案】A
【解析】
【分析】
由正态密度曲线的对称性得出()()15125P X P X ≤≤=-≥，由此可得出结果.
【详解】
由于()23,X N σ:，则正态密度曲线关于直线3x =对称，
所以()()15125120.20.6P X P X ≤≤=-≥=-⨯=，故选A.
【点睛】
本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.
12．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（ ）
A ．16
B ．15
C ．14
D ．13
【答案】B
【解析】
【分析】
五边形ABEFD 的面积52S =
，阴影Ω的面积为12，得到概率. 【详解】
不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222
S =+=，阴影Ω的面积为12， 故所求概率为11215
22P ==+， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.
13．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件．
其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件
A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723
=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．
1
12
B．
1
14
C．
1
15
D．
1
18
【答案】C
【解析】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两
个不同的数，共有2
1045
C=种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不
同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31
=
4515
，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
15．
3
3
ax
⎛
⎝⎭
的展开式中，第三项的系数为1，则
1
1a
dx
x
=
⎰（）
A．2ln2B．ln2C．2D．1【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据二项式定理求出a，把a的值带入
11a
dx x
⎰即可求出结果.【详解】
解题分析根据二项式
3
3
ax
⎛
-
⎝⎭
的展开式的通项公式得
2
21
213
3
()
4
a
T C ax x
+
⎛
==
⎝⎭
.
Q 第三项的系数为1，1,44a a ∴=∴=， 则4411111d d
ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰. 故选：A
【点睛】
本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k k k n T a b -+=.属于中等题.
16．已知()929012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92
B ．94
C ．93
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】
求出二项式()913x -展开式的通项为()193r r r T C x +=⋅-，可知当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++⋯+的值.
【详解】
二项式()913x -展开式的通项()193r
r r T C x +=⋅-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，
因此，()9
90191314a a a ⎡⎤++⋯+=-⨯-=⎣⎦. 故选：B.
【点睛】
本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
17．在二项式26()2a x x
+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A ．146π
+ B ．146π- C ．4π D ．16
【答案】B
【解析】
【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积．
【详解】
（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162r r r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4
462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝15，解得a ＝2． 曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为
()1223100111-x-x |442346
dx x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
18．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L ，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）
A ．32x +，232s +
B ．3x ，23s
C ．32x +，29s
D ．32x +，292s + 【答案】C
【解析】
【分析】
由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由平均数的计算公式，可得数据12100,,,x x x L 的平均数为1231001()100
x x x x x =
++++L 数据1210032,32,,32x x x +++L 的平均数为： 121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100
x x x x x x x ++++++=++++⨯=+L L ， 数据12100,,,x x x L 的方差为2222121001[()()()]100
s x x x x x x =-+-++-L ， 数据1210032,32,,32x x x +++L 的方差为：
222121001{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100
x x x x x x +-+++-++++-+L 2222121001[9()9()9()]9100
x x x x x x s =-+-++-=L 故选C.
【点睛】
本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．二项式51(2)x x -的展开式中含3x 项的系数是
A ．80
B ．48
C ．−40
D ．−80 【答案】D
【解析】
512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C r r r r r r r r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
n n n n ， 令523r -=，1r =，所求系数为145C 280-=-n ，故选D .
20．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）．
A ．0.378
B ．0.3
C ．0.58
D ．0.958
【答案】D
【解析】
分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.
详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =，
恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=，
恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=，
∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．
点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.。