2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市双城区九年级(上)期末数学试卷

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市双城区九年级（上）期
末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.一元二次方程x2+3x=0的根是（）
A. 或
B. 或
C.
D.
2.关于x的一元二次方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足（）
A. B. 且 C. 且 D.
3.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）
A. B. C. D.
4.对于二次函数y=（x-2）2+3的图象，下列说法正确的是（）
A. 开口向下
B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标是
D. 与x轴有两个交点
5.下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
6.⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）
A. 点A在圆上
B. 点A在圆内
C. 点A在圆外
D. 无法确定
7.下列说法中，正确的是（）
A. 不可能事件发生的概率为0
B. 随机事件发生的概率为1
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 投掷一枚质地均匀的硬币20000次，正面朝上的次数一定是10000次
8.若点（3，-4）是反比例函数y=-图象上的一点，则此图象一定经过点（）
A. B. C. D.
9.在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中
任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（）
A. B. C. D.
10.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则
∠BCD的度数为（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.已知3是关于x的方程x2-2a+1=0的一个解，则4a的值是______．
12.抛物线y=5x2+3x-1向下平移4个单位长度后的函数解析式为______．
13.在直角坐标系中，点M（5，7）关于原点O对称的点N的坐标是（x，y），则x+y=______．
14.抛掷一枚均匀的硬币，前5次都正面朝上，则第6次正面朝上的概率是______．
15.已知反比例函数的图象经过点P（4，-5），则在每个象限中，其函数值y随x的增
大而______．
16.已知⊙O的半径r=acm，弦AB=acm，则∠AOB的度数是______．
17.扇形弧长为5πcm，面积为60πcm2，则扇形半径为______．
18.一个半径为5cm的圆内接正六边形的面积等于______．
19.点A，B，C在⊙O上，∠ABO=31°，∠ACO=39°，则∠BOC的度数为______．
20.如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A
按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、
B1在同一条直线上，那么旋转角的度数是______．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
21.解方程
（1）x2-4x-3=0
（2）（x-2）2=9
四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
22.已知抛物线y=x2+（b-2）x+c经过点M（-1，-2b）．
（1）求b+c的值．
（2）若b=4，求这条抛物线的顶点坐标．
23.如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点
A的坐标为（0，3），D为⊙C在第一象限内的一点且
∠ODB=60°．
求：（1）求线段AB的长及⊙C的半径；
（2）求B点坐标及圆心C的坐标．
24.某商场将每件进价为70元的某种商品原来按每件90元出售，一天可售出100件．后
来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润______元．
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元，
①若商场经营该商品一天要获利润2210元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？
25.如图，点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（4，0）．点C的坐标为（0，-1）．
（1）请在直角坐标系中画出△ABC绕着点C逆时针旋转90°后的图形△A′B′C；
（2）直接写出：点A′的坐标（______，______），点B′的坐标（______，______）．
26.学校选学生会正副主席，需要从甲班的2名男生1名女生（男生用A，B表示，女
生用a表示）和乙班的1名男生1名女生（男生用C表示，女生用b表示）共5人中随机选出2名同学．
（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名同学来自不同班级的概率；
（3）求2名同学恰好1男1女的概率．
与x轴相交于A，B两点．
（1）若点A的坐标为（-4，0），求点B的坐标．
（2）若已知a=1，点A的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐
标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线
于点D，求线段QD长度的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：提公因式得x（x+3）=0，
解得x1=0，x2=-3，
故选：A．
提公因式后化为一元一次方程解答．
本题考查了解一元一次方程--因式分解法，熟悉提公因式法是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．由方程有实数根可知根的判别式b2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】
解：由已知得：，
解得：a≥1且a≠5．
故选C．
3.【答案】C
【解析】
解：A、y=x+3是一次函数，故此选项错误；
B、y=ax2+bx+c（a≠0），故此选项错误；
C、y=t2-2t+2，一定为二次函数，故此选项正确；
D、y=x2+，不是整式，故此选项错误．
故选：C．
直接利用二次函数的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
4.【答案】C
【解析】
解：A、二次函数y=（x-2）2+3的图象，开口向上，故此选项错误；
B、对称轴是直线x=2，故此选项错误；
C、顶点坐标是（2，3），故此选项正确；
D、与x轴没有交点，故此选项错误；
故选：C．
直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，正确结合二次函数解析式分析是解题关键．
5.【答案】B
【解析】
解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．
本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的对称性进行判断．
6.【答案】B
【解析】
解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
7.【答案】A
【解析】
解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；
B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；
C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币20000次，正面朝上的次数可能为10000次，所以D选项错误．
故选：A．
根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P （A）=0对选项进行判定；
本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P （A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
8.【答案】A
【解析】
解：∵点（3，-4）是反比例函数y=-图象上的一点，
∴此图象一定经过点（2，-6），
故选：A．
直接利用反比例函数图象上点的坐标特点得出答案．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确利用横纵坐标的乘积不变是解题关键．
9.【答案】B
【解析】
解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球和3个黑球，∴从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是．
故选：B．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
10.【答案】A
【解析】
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，
∴∠A=90°-∠ABD=35°，
∴∠BCD=∠A=35°．
故选：A．
首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，由直角三
角形的性质，求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．
此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助
线的作法，注意直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所
对的圆周角相等定理的应用．
11.【答案】
【解析】
解：设方程的另一个解为m，
根据题意得：
3m=，
解得：m=，
a=+3，
解得：a=，
4a=，
故答案为：．
设方程的另一个解为m，根据“3是关于x的方程x2-2a+1=0的一个解”，结合一元二次方程根与系数的关系，得到关于m的一元一次方程，求得m的值，
再结合一元二次方程根与系数的关系，得到关于a的一元一次方程，求出a的值，从而求出4a的值，即可得到答案．
本题考查一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
12.【答案】y=5x2+3x-5
【解析】
解：抛物线y=5x2+3x-1向下平移4个单位长度后的函数解析式为：y=5x2+3x-5．故答案为：y=5x2+3x-5．
直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的平移变换，正确记忆平移规律是解题关键．
13.【答案】-12
【解析】
解：点M（5，7）关于原点O对称的点N的坐标是（x=-5，-7），
∴x=-5，y=-7，
则x+y=-12，
故答案为：-12．
根据关于原点对称的点的坐标特点求出x、y，计算即可．
本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
14.【答案】
【解析】
解：∵硬币由正面朝上和朝下两种情况，并且是等可能，
∴第6次正面朝上的概率是，
故答案为：．
根据概率的意义解答．
本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义并明确硬币只有正反两个面是解决本题的关键．
15.【答案】增大
【解析】
解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），
∵反比例函数图象过点（4，-5），
∴把（4，-5）代入得-20=k＜0，
根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．
此题考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．
反比例函数图象的性质：
（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；
（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．
16.【答案】60°
【解析】
解：∵⊙O的半径为acm，弦AB的长也是acm，
∴△AOB是等边三角形
∴∠AOB=60°．
故答案为：60°．
由题意知，△AOB是等边三角形，所以∠AOB=60°．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用了等边三角形的判定和性质：三边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三角均为60°
17.【答案】24cm
【解析】
=lr
解：∵S
扇形
∴240π=•20π•r
∴r=24 （cm）
故答案为24cm．
=lr，把对应的数值根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S
扇形
代入即可求得半径r的长．
此题主要考查了扇形的面积公式，弧长公式，解此类题目的关键是掌握住扇
=lr．
形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S
扇形
18.【答案】cm2
【解析】
解：连接正六边形的中心与各个顶点，
得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是5，
因而面积是×5×=cm2，
因而正六边形的面积cm2．
故答案为cm2．
解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
本题考查了正多边形和圆的知识，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．
19.【答案】140°
【解析】
解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
在△OAB中，OA=OB，
则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×31°=62°，
同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2×39°=78°，
故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°，
故答案为：140°
过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．
20.【答案】125°
【解析】
解：∵∠B=35°，∠C=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=55°，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB1等于旋转角，且∠BAB1=180°-55°=125°，
∴旋转角的度数为125°．
故答案为125°．
先利用互余计算出∠BAC=90°-∠B=55°，再根据旋转的性质得到∠BAB1等于旋转角，根据平角的定义得到∠BAB1=125°，所以旋转角的度数为125°．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
21.【答案】解：（1）x2-4x=3，
x2-4x+4=7，
（x-2）2=7，
x-2=±，
所以x1=2+，x2=2-；
（2）x-2=±3，
所以x1=5，x2=-1．
【解析】
（1）利用配方法得到（x-2）2=7，然后利用直接开平方法解方程；
（2）两边开方得到x-2=±3，然后解一元一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-配方法分：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了直接开平方法解方程．
22.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+（b-2）x+c经过点M（-1，-2b），
∴-2b=1-（b-2）+c，
则-2b=1-b+2+c，
故b+c=-3；
（2）当b=4时，
y=x2+2x+c，
把（-1，-8）代入得：
-8=1-2+c，
解得：c=-7，
故y=x2+2x-7
=（x+1）2-8，
则这条抛物线的顶点坐标为：（-1，-8）．
【解析】
（1）直接把M点代入求出b+c的值即可；
（2）把b=4代入，首先得出M点坐标，进而得出c的值，进而得出顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质以及配方法求二次函数顶点坐标，正确得出c的值是解题关键．
23.【答案】解：（1）∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°
∴∠OAB=60°，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直径，
∴∠OBA=30°，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径r=3；
（2）过C点作CE⊥OB于E，
在Rt△OAB中，∠OBA=30°，
∴OB=AB=×6=3，
∴B的坐标为：（3，0），
由垂径定理得：OE=OB=，
∵AC=BC，OE=BE，
∴CE=OA=×3=
∴C的坐标为（，）．
【解析】
（1）在Rt△OAB中，只要证明∠OAB=∠ODB=60°，利用直角三角形30度角性质即可解决问题．
（2）过C点作CE⊥OB于E，利用三角函数求出OB的长，再利用垂径定理以及三角形中位线定理求出CE即可解决问题
本题考查圆综合题、垂径定理、圆周角定理、坐标与图象的性质、三角形中位线定理、解题的关键是熟练掌握性质定理．
24.【答案】2000
【解析】
解：
（1）100×（90-70）=2000
（2）设：商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①依题意得：
（90-70-x）（100+10x）=2210，
解得：x1=3，x2=7．
经检验：都是方程的解，且符合题意
答：商店经营该商品一天要获利润2270元，则每件商品应降价3元或7元．②依题意得：y=（90-70-x）（100+10x）
y=-10x2+100x+2000=-10（x-5）2+2250
a=-10＜0，函数在顶点处有最大值，
即：当x=5时，商店所获利润最大．
本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式：y=（90-70-x）（100+10x），再依据函数的增减性求得最大利润．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．
25.【答案】-4 2 -1 3
【解析】
解：（1）如图所示：
；
（2）由（2）可得，
点A′的坐标（-4，2），点B′的坐标（-1，3）．
故答案为：-4，2，-1，3．
（1）利用旋转的性质，找出各个关键点的对应点，连接即可；
（2）根据（1）得到的图形即可得到所求点的坐标．
本题考查了坐标与图形的变化-旋转，作出图形，利用数形结合求解更加简便．
共有种等可能的结果；
（2）因为2名同学来自不同班级的情况有12种，
所以2名同学来自不同班级的概率为：=；
（3）因为2名同学恰好1男1女的情况有12种，
所以2名同学恰好1男1女的概率为：=．
【解析】
（1）首先根据题意列表，由表格求得所有等可能的结果；
（2）由选出的是2名同学来自不同班级的情况，然后由概率公式即可求得；（3）由选出的是2名同学恰好1男1女的情况，然后由概率公式即可求得．
此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27.【答案】解：（1）∵对称轴是直线x=-1，点A的坐标为（-4，0），且A，B关于对称轴对称，
∴B（2，0）；
（2）①∵对称轴是直线x=-1，点A的坐标为（-3，0），且A，B关于对称轴对称，
∴B（1，0），即OB=1，
∵a=1，
∴抛物线解析式y=（x-1）（x+3）=x2+2x-3；
当x=0时，y=-3，
∴点C（0，-3），即OC=3，
∴S△BOC=OB×OC=，
设P（x，x2+2x-3），
∴S△POC=×3×|x|，
∵S△POC=4S△BOC，
∴|x|=4×，
∴x=±4，
∴P（4，21），（-4，5）；
②∵点A（-3，0），点C（0，-3），
∴直线AC解析式y=-x-3，
∴设点Q（m，-m-3）（-3≤m≤0），
则点D（m，m2+2m-3），
∴QD=-m-3-（m2+2m-3）=-（m+）2+，
∴当m=-时，QD的最大值为．
【解析】
（1）根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，可求B点坐标；
（2）①根据题意可求抛物线解析式，可求△BOC的面积，根据S△POC=4S△BOC，可求P点坐标；
③求出直线AC解析式，设点Q（m，-m-3）（-3≤m≤0），则点D（m，m2+2m-3），根据二次函数的最值求法，可求QD的最大值．
本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．。