人教B版高中数学必修第四册11

分三种情况计算，比较大小得最短距离．
(3)(多选)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，已知直线AC1⊥平面α，
则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是(
)
A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正六边形
D．截面面积最大值为3 3
【答案】
ACD
方法归纳
多面体展开图问题的解题策略
11．1.3 多面体与棱柱
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
课程标准
1.认识棱柱及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构．
2．知道棱柱的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 多面体
(1)定义
由若干个____________所围成的几何体叫做多面体．
最简单的多面体由几个面所围成？
[提示] 四个．
知识点二
棱柱的结构特征
互相平行
定 有两个________的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都
义 互相平行的几何体
图
示
及
相
关
概
念
侧面
侧棱
底面：两个互相______的面
平行
侧面：底面以外的其余各面
公共边
侧棱：相邻两侧面的______
底面
顶点：侧面与底面的______
A1 M
②从B经M到C1的最短路线长及此时
的值．
AM
教材反思
1．本节课的重点是理解并掌握棱柱的定义和结构特征，难点是在描
述和判断几何体结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)有关棱柱结构特征的解题策略．
(2)绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．
3．本节课的易错点是理解棱柱的结构特征及其关系中出现偏差而致
平行
C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有五个面
【答案】
C
【解析】 对于A，B，D，显然是正确的；对于C，
与棱柱的定义比，没有说明各顶点都在平行的这两个面
上这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图
所示的几何体就不是棱柱．所以C错误．
状元随笔 判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣几何体的结
)
A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱
C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱
D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
答案：D
解析：选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底
面不是正方形，故排除选项A、B、C，所以选D.
是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻
合，给予排除．
跟踪训练1 下列关于棱柱的说法正确的个数是(
)
①四棱柱是平行六面体；②有两个面平行，其余各面都是平行四边
形的几何体是棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每
相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；④底面是正多
(1)由展开图复原几何体：首先想象出复原后的几何体，再将展开图
中的面、点标注到该几何体上．
(2)多面体表面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求平面上两点
间的最短距离问题．常见的解法是先把多面体的表面展开成平面图形，
再用平面几何知识求有关线段的长度．
跟踪训练3 (1)已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，
构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中
的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱
锥”“平行”等．
方法归纳
棱柱结构特征的辨析技巧
(1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各
面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边
3．(多选)下列叙述中正确的是(
)
A．棱柱的面中，至少有两个面相互平行
B．棱柱的各个侧面都是平行四边形
C．棱柱的两底面是全等的多边形
D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
答案：ABC
解析：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱．
定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱
【答案】
C
【解析】 直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底
面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，
故D错．
方法归纳
几种常见四棱柱的关系
跟踪训练2 一个棱柱是正四棱柱的条件是(
基 础 自 测
1．下列几何体中是棱柱的个数有(
)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
答案：D
解析：由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.
2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点(
A．四条侧棱、四个顶点
B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点
D．六条侧棱、八个顶点
)
答案：C
解析：由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点．
平面多边形
(2)相关概念(如图所示)
(3)凸多面体
把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面
___________________，则这样的多面体就叫做凸多面体．
都在这个平面的同一侧
状元随笔 长方体、正方体是多面体吗？
[提示] 是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围
成的，均满足多面体的定义．
公共顶点
高：过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另
一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)
侧面积：棱柱的所有侧面的面积之和
顶点
按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱……
分 依据侧棱与底面的关系分类：
类 ①直棱柱(侧棱与底面垂直)，特别地，底面是正多边形的直棱柱为正棱柱．
②斜棱柱(侧棱与底面不垂直)．
状元随笔 (1)棱柱的底面是固定不变的吗？
2a + 4a = 144，
∴S侧＝4×4×7＝112 (cm2)，
或S侧＝4×6×3＝72 (cm2)．
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2 cm，BC＝3 cm，CC1＝4 cm，
一只蚂蚁从A点沿着表面爬行到C1点参加某项活动，长方体6个面都可
爬行，蚂蚁前进的最短距离是多少？
[提示] 不一定．例如：正方体、长方体都是棱柱，它们的任何一
对对面都可以作为其底面．
(2)平行六面体是棱柱吗？写出{四棱柱}、{平行六面体}、{直平行
六面体}之间的包含关系？
[提示] 依据棱柱的定义可知，平行六面体是棱柱．
{四棱柱}、{平行六面体}、{直平行六面体}之间的包含关系为：{四
棱柱}⊇{平行六面体}⊇{直平行六面体}．
题型1 棱柱的概念
例1 (1)下列描述中，不是棱柱的结构特征的是(
A．有一对面互相平行
B．侧面都是四边形
C．相邻两个侧面的公共边都互相平行
D．所有侧棱都交于一点
【答案】
D
【解析】 由棱柱的结构特征知D错．
)
(2)下列关于棱柱的叙述，错误的是(
)
A．所有的棱柱两个底面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相
错．
公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱；正四棱柱，正六棱柱中，相对
的侧面都是互相平行的平面，故D错误．故选ABC.
4．一个棱柱至少有________个面；面数最少的棱柱有________个顶
5
6
9
点，有________条棱．
解析：面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．
课堂探究·素养提升
题型3 多面体的表面展开图
例3 (1)一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，
2；
则这个棱柱的侧面积为________cm
112或72
【解析】
设底面边长，侧棱长分别为a cm，l cm，
a = 4，
a = 6，
a2 + a2 + 2 = 9，
则൝ 2
∴ቊ
或ቊ
= 7，
= 3.
边形的棱柱是正棱柱．
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
解析：四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边
形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不
正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．
题型2 几种常见四棱柱的关系
例2 下列说法中正确的是(
)
A．直四棱柱是直平行六面体
则该长方体的表面积为(
)
A．22
B．20
C．10
D．11
答案：A
解析：所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点
B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记作M.求：
①三棱柱侧面展开图的对角线长；