§3.07 傅里叶变换的性质

jω0t
ω
O
ω0
ω
− ω0
O
ω
(ω0t) ↔1[F(ω + ω0) + F(ω −ω0)] f ( t )cos
4．应用
通信中调制与解调，频分复用。 通信中调制与解调，频分复用。
X
第
七．微分性质
时域微分性质
f (t) ↔F(ω) 则 ′(t) ↔jωF(ω) ， f
16 页
频域微分性质
f 若 (t) ↔F(ω), 则 (t) ↔jd F(ω) dω tf
X
第
五．时移特性
f 则 (t −t0 ) ↔F(ω)e−jωt0 ; 则 f (t +t0) ↔F(ω)e+jωt0 j[ϕ(ω)−ω t0 ] jϕ(ω) f 则 (t −t0 ) ↔ F(ω) ⋅ e F 若 (ω) = F(ω) e 幅度频谱无变化，只影响相位频谱， 幅度频谱无变化，只影响相位频谱， 右 −ωt0 相 ωt0 移 ωt0 左
X
第
3．说明
F(ω)
15 页
F(ω −ω0)
F(ω +ω0 )
O
域 e 时 f (t)乘 ,频 频 搬 右 ω0 域 谱 移 移 −jω0t e ,频 频 搬 左 ω0 时 f (t)乘 域 域 谱 移 移
可 导 以 出 j f ( t )sin(ω0t ) ↔ [F(ω + ω0) − F(ω −ω0)] 2 2
14 页
则
f (t)ejω0t ↔F(ω −ω0 ) −jω0t f (t)e ↔F(ω +ω0 )
∞
ω0为 数 注 ±号 常 ， 意
2．证明
[ F f (t)e ] = ∫ [ f (t)e ]e
jω0t jω0t −∞
∞ −∞
−jω t
dt
= ∫ f (t)e−j(ω−ω0 )t dt = F(ω −ω0)
X
第
三．奇偶虚实性
3.4的 傅里叶变换的表示”中曾介绍过。 在§3.4的“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。 1、f(t)是实函数 是 实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为 偶、奇函数 函数， 必为ω的实偶函数 若f(t)是实偶函数，F(ω)必为 的实偶函数 是实偶函数 必为
F(ω) = ∫
∞ −∞
X
第
二．线性性质
1．性质
f 若 1(t) ↔F (ω) , f2(t) ↔F (ω) 1 2
c 则 1 f1(t) + c2 f2(t) ↔c1F (ω) + c2F (ω) 1 2 c1, c2为 数 常
5 页
2 ．例3 - 7 - 3
1 1 1 F u(t) = + sgn(t) ↔ (ω) =π δ (ω) + 2 2 jω
例如
u(t) ↔
1 +πδ (ω) jω
1 +πδ (ω) =1 δ(t) ↔ jω jω δ′(t) ↔ jω
X
第
八．时域积分性质
f 若 (t) ↔F(ω)， 则
t
20 页
F(ω) ∫−∞ f (τ )dτ ↔πF(0)δ(ω) + jω t F(ω) F(0) = 0 ， f (τ ) dτ ↔ 时∫ −∞ jω
1
18 页
1
1 2
t
(1)
t
dt
o
o
o
t
X
第
2．频域微分性质
dF(ω) f 若 (t) ↔F(ω), 则 (t) ↔j tf dω dF(ω) 推广 或− jtf (t) ↔ dω dn F(ω) n (− jt) f (t) ↔ 或 dωn n t n f (t) ↔( j) Fn(ω)
19 页
1 u(t) ↔F(ω) 直 流 ↔π δ (ω) 2 1 1 1 ( 余 部 f2(t) = u(t) − = sgn t), u(t) ↔π δ (ω) + 下 分 2 2 jω 1 ′ f2(t)微 f2 (t) = δ (t) ↔1, f2(t) ↔ 分 jω d[u(t) − f1(t )] u(t ) f (t )
13 页
f 若 (t) ↔F(ω),
时移加尺度变换
f 若 (t) ↔F(ω) 则 (at ±t0 ) ↔ 1 Fω⋅ e f
a a t −jω 0 (t0 −at) ↔ 1 F−ω⋅ e a f 则 a a
X
t ±jω 0 a
第
六．频移特性
1．性质
若 f (t) ↔F(ω)
第
2、 f(t)是虚函数 ( 令 f (t ) = jg(t)
F(ω) =
+∞ −∞
7 页
jg(t )e− jωt dt ∫
=
+∞ −∞
∫ jg(t) cos(ωt )dt + ∫ g(t) sin(ωt )dt
−∞
+∞
虚部
实部
虚函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱仍为偶、奇 函数，但实部R(ω)为奇函数，虚部 X(ω)为偶函 数。
dF(ω) − jtf (t) ↔ dω dn F(ω) (− jt)n f (t) ↔ dωn
或
t f (t) ↔( j) Fn(ω)
n n
X
第
1．时域微分
f (t) ↔F(ω) 则 ′(t) ↔jωF(ω) ， f
般 况 一 情 下f
(n)
17 页
(t) ↔(jω)
n
F(ω)
F f n(t) 若 知 f (t)， F(ω) = 已 F 则 (jω)n
X
第 12 页
(3) a = −1
(t) → f (−t), F(ω) →F(−ω) = F*(ω) f
(t)为实函数时F(−ω) = F*(ω)共轭 f , 当 R(ω)为 函 , X(ω)为 函 偶 数 奇 数
F(−ω) = R(−ω) + j X(−ω) = R(ω) − j X(ω) = F*(ω)
6 页
f ( t )e
− jω t
d t = 2∫ f ( t )cosωt d t
0
∞
函数， 必为ω的虚奇函数 若f(t)是实奇函数，F(ω)必为 的虚奇函数 是实奇函数 必为
F(ω) = ∫
∞ −∞
f ( t )e− jω t d t = −2 j∫ f ( t )sin(ωt ) d t
0
∞
X
n
[
]
[
]
度 ω 幅 乘 F[ f ′(t)] = jωF(ω) : 相 增 , j →90o 位 加
注意
X
第
注意
如果f(t)中有确定的直流分量， 先取出单独求傅里叶 如果 中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶 中有确定的直流分量 变换，余下部分再用微分性质 部分再用微分性质。 变换，余下部分再用微分性质。
X
第
任意 f(t)，都具有如下性质 ，
8 页
F[ f ∗(t)] = F∗(−ω) F[ f ∗(−t)] = F∗(ω)
若 (t) ↔F(ω) 则 (−t) ↔F(−ω) f ， f 证明： 证明：
F[ f (−t)] = F(−ω)
由定义 可以得到
F[ f (t)] = ∫ f (t)e−jω t dt = F(ω)
(3) a = −1
f (t) → f (−t), F(ω) →F(−ω)。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 时域扩展，频带压缩。
f (t ) F(ω)
Eτ
10 页
E
−
τ
2
o
τ
2 t f 2
t
−
2 o 2 π π
ω
τ
2Eτ
π −
τ
2F(2 ) ω
E
π
−τ
o
τ
t
τ
o
τ
ω
脉冲持续时间增加a倍 变化慢了， 脉冲持续时间增加 倍，变化慢了，信号在频域的频 带压缩a倍 高频分量减少，幅度上升a倍 带压缩 倍。高频分量减少，幅度上升 倍。
奇偶虚实性实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶奇函数若ft是实偶函数f必为的实偶函数若ft是实奇函数f必为的虚奇函数77页页ft是虚函数虚函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱仍为偶奇函数但实部r为奇函数虚部x为偶函jgdt88页页由定义证明
§3.7 傅里叶变换的基本性质
青岛大学电子学系 2006.3
第
也可以记作： 也可以记作：
1 F(ω)⋅ +π δ (ω) jω
说明： 说明：教材中的其它例题请自学
X
∞ −∞ ∞
F[ f (−t)] = ∫ f (−t)e
−∞
−jω t
dt = ∫ f (u)e−j(−ω ) u du = F(−ω)
−∞
∞
X
第
四．尺度变换性质
1 ω 若 (t) ↔F(ω),则 (at) ↔ F , a为 零 常 f f 非 实 数 a a
9 页
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展 倍。 时域压缩，频域扩展a倍
X
第
时域压缩，频域扩展a倍 （2）a>1 时域压缩，频域扩展 倍。 ） f (2t ) 1
E
11 页
Eτ 2
t
ω F 2 2
τ o τ − 4 4
−
4 π
o
4 π
ω
τ
τ
持续时间短， 变化快 。 信号在频域高频分量增加 ， 频 持续时间短 ， 变化快。 信号在频域高频分量增加， 带展宽，各分量的幅度下降a倍 带展宽，各分量的幅度下降 倍。 此例说明： 信号的持续时间与信号占有频带成反比， 此例说明 ： 信号的持续时间与信号占有频带成反比 ， 有时为加速信号的传递， 要将信号持续时间压缩， 有时为加速信号的传递 ， 要将信号持续时间压缩 ， 则 要以展开频带为代价。 要以展开频带为代价。
3 页
X
第
一．对称性质
1．性质
f 若 (t) ↔F(ω)
f 若 (t)为 函 偶 数
4 页
F π 则 (t) ↔2 f (−ω)
则 (t) ↔2 f (ω) F π
2． 意义
F 若 (t)形 与 (ω)相 ， →t) 状 F 同 (ω
幅 差 π。 度 2 则 ( t )的 谱 数 状 F 频 函 形 与 f (t )形 相 ，特性 微分性质 线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
2 页
X
第
意义
傅里叶变换具有惟一性。 傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： •了解特性的内在联系； 了解特性的内在联系； 了解特性的内在联系 •用性质求 用性质求F(ω)； 用性质求 ； •了解在通信系统领域中的应用。 了解在通信系统领域中的应用。 了解在通信系统领域中的应用