辽宁省大连市普兰店第九中学高一数学理联考试卷含解析

辽宁省大连市普兰店第九中学高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，
且
，则
．
参考答案： 0
2. 对于任意的直线l 与平面
，在平面
内必有直线
m ，
使m 与l （ ）
A ．平行
B ．相交
C ．垂直
D ．互为异面直线 参考答案： C
3. 为了使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值， 则ω的最小值是( )．
A ．98π B. π C. π D ．100π
参考答案：
B 略 4. 不等式
的解集为（ ）
A ．[2，3]
B ． [-1，6]
C ．
D ．
参考答案：
A 略
5. 在△ABC 中，a=3，b=，c=2，那么B 等于（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
参考答案：
C
【考点】HR ：余弦定理．
【分析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案．
【解答】解：根据余弦定理得cosB===
B∈（0，180°） ∴B=60° 故选C ． 6. 已知定义在
上的函数
和
，其图象如下图所示：
给出下列四个命题： ①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根 ③方程
有且仅有5个根 ④方程
有且仅有4个根
来源:学#科#网 其中正确命题的序号是（ ）[
A ．①②③
B . ②③④
C . ①②④
D . ①③④
参考答案：
D 略
7. 设a=log 3，b=（）0.2，c=2，则（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜a ＜c
参考答案：
A
【考点】对数值大小的比较；指数函数单调性的应用．
【分析】易知a＜0 0＜b＜1 c＞1 故 a＜b＜c
【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，
∴有a＜b＜c
故选A．
8. 三个数之间的大小关
系是（）
A．a<c<b B．a<b<c C．b<a<c D．b<c<a
参考答案：
C
略
9. 已知直线3x+（3a﹣3）y=0与直线2x﹣y﹣3=0垂直，则a的值为（）
A．1 B．2 C．4 D．16
参考答案：
B
【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】利用直线与直线垂直的性质求解．
【解答】解：直线3x+（3a﹣3）y=0与直线2x﹣y﹣3=0垂直，
∴=﹣1
解得a=2，
故选：B
10. 已知直线l过点P（2，﹣1），且与直线2x+y﹣l=0互相垂直，则直线l的方程为（）A．x﹣2y=0 B．x﹣2y﹣4=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0
参考答案：
B
【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】根据题意设出直线l的方程，把点P（2，﹣1）代入方程求出直线l的方程．
【解答】解：根据直线l与直线2x+y﹣l=0互相垂直，设直线l为x﹣2y+m=0，又l过点P（2，﹣1），
∴2﹣2×（﹣1）+m=0，
解得m=﹣4，
∴直线l的方程为x﹣2y﹣4=0．
故选：B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列说法正确的是．
①任意，都有；②函数有三个零点；
③的最大值为1；④函数为偶函数；
⑤函数y= f(x)的定义域为[1，2]，则函数y=f（2x）的定义域为[2，4]．
参考答案：
②③
12. 已知，则_________________.
参考答案：
解析：由，得，即，
所以.
13. 函数f（x）=log2（x2+x）则f（x）的单调递增区间是．
参考答案：
（0，+∞）
【考点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质．
【分析】令u=x2+x，则y=log2u，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．【解答】解：函数f（x）=log2（x2+x）的定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），
令u=x2+x，
则y=log2u为增函数，
当x∈（﹣∞，﹣1）时，u=x2+x为减函数，此时f（x）=log2（x2+x）为减函数，
当x∈（0，+∞）时，u=x2+x为增函数，此时f（x）=log2（x2+x）为增函数，
即f（x）的单调递增区间是（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）
【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，难度中档．
14. ．函数f (x)＝的定义域为______________．
参考答案：
x<3/2
略
15. 若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．
①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；
④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．
参考答案：
②
16. 函数在区间上的最大值为3，则实数的值为______.
参考答案：
或
【分析】
分别在、和三种情况下，利用单调性得到最大值点，利用最大值构造方程求得. 【详解】①当时，，不满足题意
②当时，为开口方向向上，对称轴为的二次函数
当时，，解得：
③当时，为开口方向向下，对称轴为的二次函数
当时，，解得：
本题正确结果：或
【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数值的问题，考查了分类讨论的数学思想；易错点是忽略二次项系数是否为零和开口方向的讨论.
17. O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是．（把你认为正确的序号全部写上）
①动点P满足=++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P 点集合中；
④动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P 点集合中．
⑤动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．
参考答案：
②③④⑤
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由=++，得出++=，P是△ABC的重心，判断①错误；
由=+λ（+）（λ＞0），得出=λ（+），与∠BAC的平分线所在向量共线，判断②正确；
由=+λ（+）（λ＞0），得出=λ（+），=
（+），判断③正确；
由=+λ（+）（λ＞0），得出=λ（+），=0，判断④正确；
由=+λ（+）（λ＞0），得出E为BC的中点，且=λ
（+），⊥，判断⑤正确．
【解答】解：对于①，动点P满足=++，∴ =+，
∴++=，∴P是△ABC的重心，
∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误；
对于②，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），
∴=λ（+），
又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，
∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；
对于③，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），
∴=λ（+）；
过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sinB=|sinC=AD，
∴=（+），向量+与BC边的中线共线，
因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；
对于④，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），
∴=λ（+），∴=λ（+）=λ（||﹣||）=0，
∴⊥，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；对于⑤，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），
设=，则E为BC的中点，则=λ（+），
由④知（+）=0，得=0，∴⊥；
∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；
∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．
故正确的命题是②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．
【点评】本题综合考查了向量形式的三角形的外心、重心、内心、垂心的性质及其向量运算和数量积运算，考查了数形结合的思想方法，属于难题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f
（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．参考答案：
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（1）令f（a+b）=f（a）f（b）式中a=b=0，根据f（0）≠0，可求出f（0）的值；
（2）由于当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，当x＜0时，﹣x＞0，f（0）=f（x）?f （﹣x），利用互为倒数可知，结论成立．
【解答】证明：（1）因为f（a+b）=f（a）f（b），
令式中a=b=0得：f（0）=f（0）f（0），因f（0）≠0，
所以等式两同时消去f（0），得：f（0）=1．
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，所以只需证明当x＜0时，f（x）＞0即可．
当x＜0时，﹣x＞0，f（0）=f（x）?f（﹣x），因为f（﹣x）＞1，所以0＜f（x）＜1，
故对任意的x∈R，恒有f（x）＞0．
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了特殊值法的应用，解题的关键是如何取值，属于中档题．
19. 已知实数x,y满足:
，求xy的最小值.
参考答案：
由于，故，从而
，
故.
20. 已知数列的前项和.
（1）求证数列是等差数列；
（2）设是数列的前项和，求；
（3）设，数列的前项和为，求证.参考答案：
（1）见解析（2）（3）见解析
解析：解：(1)证明：①
当时，②
①-②得：即，等式两边同除得：,数列是等差数列…4分（2），,由（1）=
,…6分
=
错位相减易求…8分
（3）=…9分
=
=…12分
易求
=…13分
显然单增，又>0，,即…14分
略
21. 在中，角的对边分别为. 已知
（1）若，，求的面积；
（2）若的面积为，且，求的值.
参考答案：
（1）；（2）．
【分析】
（1）先根据计算出与，再利用余弦定理求出b边，最后利用
求出答案；
（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为与的关系式，再结合面积求出c 的值。

【详解】解：（1）因为，
所以．又，
所以．
因为，，且，
所以，
解得，
所以．
（2）因为，由正弦定理，得．
又，所以．
又，得，所以，所以．
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题。

22. 已知单调递增的等比数列{a n}满足,且是的等差中项.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设,求满足不等式的最大正整数k的值.
参考答案：解：（Ⅰ）依题意解得
数列的通项公式是
（Ⅱ）
=
的最大正整数。