【沪科版】高中数学必修五期末试题(带答案)

一、选择题
1．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a b
a b
+--的最小值是（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
2．已知正数x ，y 满足1431
x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．
53
B ．2
C ．
73
D ．6
3．设正数m ，n ，2m n u +=，222v m n mn =++，则2
u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的最大值是（ ） A ．
1
4
B ．
13
C ．
12
D ．1
4．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2
B ．1
C ．2
D ．22 5．在ABC 中，30A =︒，BC 边上的高为1，则ABC 面积的最小值为（ ） A ．25-
B ．23-
C ．23+
D ．25+
6．如图，四边形ABCD 中，CE 平分ACD ∠，23AE CE ==，3DE =
，若
ABC ACD ∠=∠，则四边形ABCD 周长的最大值（ ）
A ．24
B ．1233+
C ．183
D ．(353
7．在△ABC 中，若2223a c b ab -+=，则C ＝( )． A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．120°
8．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则
ABC 一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角
三角形
9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且433
1
S S S =-，若11a >，则（ ） A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a >
D ．13a a >，24a a >
10．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，
其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（）
A ．16
29
B
．16
27
C．
11
13
D．
13
29
11．数列{}n a 的通项公式是*
1
()
(1)
n
a n
n n
=∈
+
N，若前n项的和为10
11
，则项数为（）．
A．12B．11C．10D．9
12．已知函数()()31
f x x x
=-+，数列{}n a中各项互不相等，记
()()()
12
n n
S f a f a f a
=+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a满足55
S=，则3
3
a=；②若正项等比数列{}n a满足33
S=，则
2
1
a<；其中（）
A．①是假命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①②都是假命题D．①②都是真命题
二、填空题
13．设点(),
P x y位于线性约束条件
3
210
2
x y
x y
y x
+≤
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪≤
⎩
，所表示的区域内（含边界），则目标函数4
z x y
=-的最大值是_________.
14．已知正数a，b满足(1)(1)1
a b
--=，则4
a b
+的最小值等于________.
15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A、B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C、D，测得45m
CD=，135
ADB
∠=，
15
BDC DCA
∠=∠=，120
ACB
∠=，则A、B两点的距离为______m.
16．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45︒方向上，另一灯塔在南偏西60︒方向上，则该船的速度是____海里/小时.
17．已知ABC中，2,2
BC AB AC
==，则ABC面积的最大值为_____
18．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则
78
11
57
2a a a a a 的
最小值为_________.
19．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11
2
a =
，110n n n a S S +++=，则2020S =______． 20．数列{}n a 中，若3
1()n n
a a n *+=∈N ，13a =，则{}n a 的通项公式为________. 三、解答题
21．已知函数()()()23f x x a x =-+. （1）当7
2
a >-
时，解关于x 的不等式()46f x x >+； （2）若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 22．已知函数2()21f x mx nx =++．
（1）若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2，求m ，n ;
（2）设()0{|}A x f x =≥，且1,2A A -∈∉，求3m n +的取值范围． 23．a ，b ，c 分别为锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知
2sin (2sin sin )(2sin sin )a A B C b C B c =-+-.
（1）求A ；
（2）若2c =，试问b 的值是否可能为5?若可能，求ABC 的周长；若不可能，请说明理由.
24．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .
已知)
cos cos A c a C =.
（1）求
c b
； （2）若cos 2c A b =
，且ABC
的面积为4
，求a . 25．已知等差数列{}n a 满足，*n ∀∈N ，1n n a a +>，12a =且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若2n
n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
26．已知()2
3f x x x =-，数列{}n a 前n 项和为n S ，且()n S f n =.
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足43
n
n n
a b =
⨯，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对于任意*n ∈N ，总存在[]
2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，求实数m 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 化简得出441
511a b a b b a +=+---，将代数式14a b
+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得
411a b a b +--的最小值. 【详解】
已知正数a 、b 满足1a b +=，则
()414141511b a b
a a
b b a b a
--+=+=+---
()41454a b a b b a b a ⎛⎫
=++-=+≥= ⎪⎝⎭
，
当且仅当2b a =时，等号成立，
因此，
411a b
a b +--的最小值是4. 故选：C. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．B
解析：B 【分析】
化简
114[(1)]()131
x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】
由题得1
114
(1)1[(1)]31[(1)]()1331
x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+
-+ 1141(5)1(5)123131
y x x y y +=++-≥+-=++
当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】
方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.
3．B
解析：B 【分析】 化简2
22
11()44u mn v
m n mn
=+⨯++，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由题意，正数m ，n ，2
m n
u +=
，222v m n mn =++， 则2
222222222
(
)12112()444m n u m n mn mn v m n mn m n mn m n mn
+++===+⨯++++++ 2111111111444444213
()11m
n
m m m n n n n m
=
+⨯=+⨯≤+⨯=+++++， 当且仅当m n n m =时，即m n =时，等号成立,所以2
u v ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的最大值是为13.
故选：B . 【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．D
解析：D 【解析】
分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）
， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号．
故选D.
点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．
5．B
解析：B 【分析】
根据题意，可求得11,sin sin AB AC B C
=
=，代入面积公式，可求得面积的表达式，设4sin sin y B C =，根据B 、C 的关系，利用两角差的正弦公式及辅助角公式，可得
2sin(2)33
y B π
=-+，根据B 的范围，即可求得max y ，即可得答案.
【详解】
设BC 边上的高为AD ，则AD =1，AD BC ⊥，如图所示：
所以11
sin ,sin AD AD B C AB AB AC AC
====, 所以11,sin sin AB AC B C
==， 所以111sin 244sin sin ABC
S
AB AC A AB AC B C
=⨯⨯⨯=⨯=， 设4sin sin y B C =，因为6
A π
=
，则56
B C π
+=
， 所以5554sin sin 4sin sin(
)4sin sin cos cos sin 666y B C B B B B B πππ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭
=22sin cos 23sin 2323B B B B B += =2sin(2)33
B π
-+，
因为5(0,
)6B π∈，所以42(,)333
B πππ
-∈-， 所以3
sin(2)(3
B π
-
∈，则2sin(2)3(0,23]3y B π=-+，
所以max 23y =
所以ABC
面积的最小值为max
12y =
故选：B 【点睛】
解题的关键是将题干条件，转化为4sin sin y B C =，根据B 的范围，结合三角函数的图象与性质求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
6．D
解析：D 【分析】
ACD △和CDE △中，结合正弦定理可求得6
ACE DCE π
∠=∠=
，这样可得,DC AC ，在ABC 中，由余弦定理得2
2
2
2cos
3
AC AB BC AB BC π
=+-⋅，应用基本不等式可得
AB BC +的最大值，从而可得四边形ABCD 周长的最大值．
【详解】
设ABC ACD ∠=∠2θ=，(0,
)2
π
θ∈，
∵CE 平分ACD ∠，∴DCE ACE θ∠=∠=， 又AE CE =，∴EAC ACE θ∠=∠=，
AE CE ==
DE =
AD =
ACD △中，由正弦定理得
sin sin CD AD DAC ACD =∠∠
，则CD ==
， CDE △中，2DEC EAC ECA θ∠=∠+∠=，
由正弦定理得sin sin CD DE CED DCE =∠∠
，则CD θ==，
∴
θ=
，解得cos θ=
，6πθ=，
∴3CD ==， ACD △
中，由角平分线定理得AC AE CD DE ==
，得236AC =⨯=． ABC 中，23
ABC π
θ∠==
，
由余弦定理得2
2
2
2cos 3
AC AB BC AB BC π
=+-⋅，
即
222222
31
36()3()()()44
AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC =+-⋅=+-⋅≥+-+=+
，当且仅当AB BC =时等号成立，12AB BC +≤，此时ABC 为等边三角形． ∴
AB BC CD DA +++的最大值为12315++=+ 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，在平面图形中充分利用平面几何的知识可减少计算量．本题解题关键是求出6
ACE π
∠=
．
7．B
解析：B 【分析】
根据余弦定理，可以求出C 角的余弦值，进而根据C 为三角形内角，解三角方程可以求出
C 角．
【详解】
∵
222a c b -+=，
∴22222
a b c cosC ab +-==
. 又∵C 为三角形内角 ∴30C =︒. 故选B ． 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，属基础题．
8．D
解析：D 【分析】
根据cos cos a A b B =，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cos A A B B =，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解. 【详解】
因为cos cos a A b B =，
由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 即A B =或2
A B π
+=
所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 【点睛】
本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.
9．B
解析：B 【分析】
首先根据题中所给的条件433
1
S S S =-
，11a >利用等比数列求和公式求出0q <，分情况讨论求得10q -<<，从而可以得到项之间的大小关系. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ， 由4331S S S =-
可得43
1
a S =-， 若1q =，则11
1
3a a =-
显然不成立，所以1q ≠， 所以()
3
12111q a a q q -
++=，即()232
111q q a q +=-+， 因为2
2131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝
⎭，210a >，所以3
0q <，所以0q <，
当1q ≤-时，3
1q ≤-，2
11q q ++≥，
因为11a >，则()
232
111q q a q +=-+不可能成立，所以10q -<<，
()213110a a a q -=->，()224110a a a q q -=-<，
所以13a a >，24a a <， 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用等比数列求和公式将已知条件化简得到
()232111q q a q +=-+，结合11a >求出q 的范围.
10．A
解析：A 【解析】
由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得3029
3053902d ⨯⨯+
=，解之得1629
d =，应选答案A ． 11．C
解析：C 【解析】
分析：由已知，111(1)1n a n n n n =
=-++，利用裂项相消法求和后，令其等于10
11
，得到
n 所满足的等量关系式，求得结果.
详解：111
(1)1
n a n n n n =
=-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和
11111
(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111
n n n =-=++，
当10
11
n S =
时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.
12．A
解析：A 【分析】
先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果. 【详解】
因为()()()33
11(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3
y x x =+关于原点对称且在R 上单调
递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增， 先证明下面结论：
若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，
123g()()()()0n a g a g a g a +++
+=，则1230n a a a a ++++=.
证明：若1230n a a a a ++++>，
则当n 为偶数时，
1211
2
2
0n n n n a a a a a a -++=+=
=+>
111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>
同理
21+1
2
2()()0,
,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即
123g()()()()0n a g a g a g a +++
+>与题意矛盾，
当n 为奇数时，12112
20n n n a a a a a -++=+=
=>
类似可得
12112
()()0,()(),
,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，
即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾
同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a +++
+=
再引申结论：
若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，
123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=
证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.
①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则
123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，
②若正项等比数列{}n a 满足33S =， 即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即
123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1313222a a a a a +>=∴2()1f a <，
()
3
222111a a a -+<∴<
故②是真命题 故选：A 【点睛】
本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.
二、填空题
13．【分析】根据线性约束条件画出可行域将目标函数化为直线方程通过平移即可求得目标函数的最大值【详解】由题意作出可行域如图目标函数可化为上下平移直线数形结合可得当直线过点A 时z 取最大值由可得所以故答案为： 解析：
163
【分析】
根据线性约束条件，画出可行域，将目标函数化为直线方程，通过平移即可求得目标函数的最大值. 【详解】
由题意作出可行域，如图，
目标函数4z x y =-可化为4y x z =-，
上下平移直线4y x z =-，数形结合可得，当直线过点A 时，z 取最大值， 由2103
x y x y -+=⎧⎨
+=⎩，可得54,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，
所以54164333
max z =⨯-=. 故答案为：163
. 【点睛】
方法点睛：求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图，画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ； ②平移，将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值，解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.
14．9【分析】将已知等式变形为然后利用乘1法将进行变形利用基本不等式即可求得【详解】因为所以即又ab 为正数所以当且仅当时等号成立故的最小值等于故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值关键是将已知
解析：9 【分析】 将已知等式变形为11
1a b
+=，然后利用“乘1法”将4a b +进行变形，利用基本不等式即可求得. 【详解】
因为(1)(1)1a b --=，所以0ab a b --=，即11
1a b
+=.
又a ，b 为正数，所以1144(4)1459b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当3a =，3
2
b =
时，等号成立. 故4a b +的最小值等于9. 故答案为：9 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，关键是将已知条件适当变形，得到
11
1a b
+=，以便利用“乘1法”，利用基本不等式求4a b +的最小值.利用基本不等式求最值要注意“正、定、等”的原则.
15．【分析】在中利用正弦定理计算出分析出为等腰三角形可求得然后在中利用余弦定理可求得【详解】在中在中由正弦定理可得在中由余弦定理可得因此故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边
解析：【分析】
在BCD △中，利用正弦定理计算出BD ，分析出ACD △为等腰三角形，可求得AD ，然后在ABD △中，利用余弦定理可求得AB .
【详解】
在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=，
15DCA ∠=，15DAC ∴∠=，
()45AD CD m ∴==，
在BCD △中，15BDC ∠=，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=，30CBD ∴∠=，
由正弦定理可得
sin sin CD BD
CBD BCD
=∠
∠，()2
45245212
BD m ⨯∴=
=，
在ABD △中，()45AD m =，()452BD m =，135ADB ∠=， 由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯，因此，
()455AB m =.
故答案为：455. 【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
16．【分析】由题意设得到然后在中利用正弦定理求解【详解】如图所示：设船的初始位置为半小时后行驶到两个港口分别位于和所以则设则在中所以利用正弦定理解得所以船速为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的实际 解析：(
)
10
31+
【分析】
由题意，设BA x =，得到CA x =，然后在Rt BDA 中，利用正弦定理求解. 【详解】 如图所示：
设船的初始位置为A ，半小时后行驶到B ，两个港口分别位于C 和D ， 所以45BCA ∠=︒，15CBD ∠=︒，
则30CDB ∠=︒， 设BA x =，
则CA x =，在Rt BDA 中，10DA x =+. 所以利用正弦定理10sin 60sin 30x x
+=︒︒
，
解得)
5
1x =
所以船速为)
)
1
5
11012
÷
=.
故答案为：)
101
【点睛】
本题主要考查正弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17．【分析】设则根据面积公式得由余弦定理求得代入化简由三角形三边关系求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案
解析：4
3
【分析】
设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得ABC S ∆=，由余弦定理求得cos C 代
入化简ABC S ∆=
223x <<，由二次函数的性质
求得ABC S ∆取得最大值． 【详解】
解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得 1
sin sin 12
ABC S AC BC C x C x ∆=
== 由余弦定理可得222
4443cos 44x x x C x x
+--==，
可得：ABC
S ∆==
由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x +>，解得：2
23
x <<，
故当x =
时，ABC S ∆取得最大值43， 故答案为：4
3
． 【点睛】
本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函
数的单调性和定义域等问题，属于中档题．
18．【分析】可先根据得出可转化为然后乘以利用基本不等式即可求解【详解】即的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的相关性质以及基本不等式的应用属于综合题
【分析】
可先根据1122S =得出574a a +=，
78
11
57
2a a a a a 可转化为
57
21
a a ，然后乘以57
4a a ，利用基本不等式即可求解. 【详解】
111
57
11
11112222
a a a a S ，
57
4a a ，
78
11
7811
751111
7557
57
57
5757
2222221a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ， 7557
57
5
7
5
7
2112134244
a a a a a a a a a a ， 570a a ，
755
7
0,
024a a a a ，
75755
7
57
33322
2
242
2444
a a a a a a a
a ，
即
57
21322
4a a ， 78
11
57
2a a a a a . 故答案为：34
+. 【点睛】
本题主要考查等差数列的相关性质，以及基本不等式的应用，属于综合题.
19．【分析】代入再证明为等差数列继而求得的通项公式再计算即可【详解】因为所以两边同除以得：所以数列是以为首项1为公差的等差数列所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法属
解析：
1
2021
【分析】
代入11n n n a S S ++=-,再证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,继而求得1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式再计算2020S 即可.
【详解】
因为110n n n a S S +++=,所以,11n n n n S S S S ++-=-,
两边同除以1n n S S +-得：
1111n n
S S +-=， 所以数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以
()1
211n n n S =+-=+，所以11
n S n =+， 所以20201
2021S = 故答案为：1
2021
【点睛】
本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题.
20．【分析】两边取对数化简整理得得到数列是以为首项公比为3的等比数列结合等比数列的通项公式即可求解【详解】由两边取对数可得即又由则所以数列是以为首项公比为3等比数列则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了 解析：1
33()n n a n -*=∈N
【分析】
两边取对数，化简整理得
31
3log 3log n n
a a +=，得到数列3{log }n a 是以1为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】
由3
1()n n
a a n *+=∈N ，两边取对数，可得313log 3log n n a a +=，即31
3log 3log n n
a a +=， 又由13a =，则31log 1a =，所以数列3{log }n a 是以31log 1a =为首项，公比为3等比数列，
则113log 133n n n a --=⋅=，所以1
33()n n a n -*=∈N . 故答案为：1
33()n n a n -*=∈N 【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中合理利用对数的运算性质，结合等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
三、解答题
21．（1）3|2x x ⎧<-⎨⎩或}2x a >+；（2）112a <-或513
25
a <<
. 【分析】
（1）对一元二次不等式分解因式，通过7
2a >-
得出322
a +>-，可得不等式的解集； （2）关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，可得0∆>，设
()22(32)38g x x a x a =+--+，则有()10g >且对称轴小于1，解不等式可得实数a 的
取值范围． 【详解】
（1）∵()()()2346f x x a x x =-+>+ ∴22(12)3(2)0x a x a -+-+>，即()3202x x a ⎛
⎫
+
--> ⎪⎝⎭
73,222
a a >-+>-
3|2x x ⎧
∴<-⎨⎩
或}2x a >+
（2）解法一：
∵22(32)380x a x a +--+=在(–),1∞上有两个不相等实根 ∴2412550a a ∆=+->
112a <-
或52
a > 设()2
2(32)38g x x a x a =+--+，则()10g > ∴()232380a a +--+> ∴135
a <， 又
()g x 的对称轴为324
a x -=-
，∴3214a
--
<，∴72a < ∴综上112a <-或513
25
a <<
. 解法二：
∵22(32)380x a x a +--+=在(,1)-∞上有两个不相等实根
∴2238
23
x x a x ++=+
令2238
()23
x x g x x ++=+
令()
()23,00,5t x =+∈-∞
则2316
()2t t g t t
-+=，即183()22g t t t =+-
由图象可知，该题转化为y a =与183
22
y t t =
+-有两个不同的交点 ∴112a <-
或513
25
a << 【点睛】
方法点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查一元二次方程根的分布，考查了学生计算能力，不妨设一元二次方程所对应的二次函数()f x 开口向上，则
两根都小于k 时，则()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩； 2.两根都大于k 时，则()020
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ 3.一根小于k ，一根大于k 时，则()0f k <． 22．（1）12m =，34n =-；（2）1,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭．
【分析】
（1）由1x =和2x =是方程2210mx nx ++=的解可得；
（2）1,2A A -∈∉，得出,m n 满足的关系，作出点(,)m n 据平面区域，作直线
30x y +=，平移该直线得3z x y =+的取值范围，也即3m n +的取值范围．
【详解】
（1）∵不等式()0f x ≤的解集为[]1,2
∴2104410m n m n ++=⎧⎨++=⎩，解得12
34m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
；
（2）∵()0{|}A x f x =≥，且1,2A A -∈∉，
∴2104410m n m n -+≥⎧⎨++<⎩，作出不等式组210
4410x y x y -+≥⎧⎨++<⎩
表示的平面区域，如图阴影部分（含
边界实线，不含虚线部分），由
210
4410
x y
x y
-+=
⎧
⎨
++=
⎩
解得
1
2
1
4
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，即
11
,
24
A
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
作直线:30
l x y
+=，平移直线l知，向下平移直线l，3
z x y
=+减小，而直线l过点
11
,
24
A
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
时，
1
3
4
z x y
=+=，∴
1
4
z<，
∴3
m n
+的取值范围是1,
4
⎛⎫
-∞
⎪
⎝⎭
．
【点睛】
本题考查解一元二次不等式，考查简单的线性规划问题．解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得结论，注意可行域中虚线部分不可取．
23．（1）
3
A
π
=；（2）不可能，理由见解析.
【分析】
（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求出；
（2）由余弦定理得出cos0
B<，得出B为钝角，与已知矛盾.
【详解】
解：（1）因为2sin(2sin sin)(2sin sin)
a A B C
b C B c
=-+-，
由正弦定理可得2
2(2)(2)
a b c b c b c
=-+-，即222
a b c bc
=+-.
再由余弦定理得2222cos
a b c bc A
=+-，所以
1
cos
2
A=.
因为(0,)
Aπ
∈，所以
3
A
π
=.
（2）假设5
b=，则由余弦定理，得2222cos19
a b c bc A
=+-=，
所以
22219425
cos0
22
a c b
B
ac ac
+-+-
==<，
所以B为钝角，
这与ABC为锐角三角形矛盾，
故b的值不可能为5.
24．（1）3
；（2） 【分析】
（1）根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果； （2）根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果. 【详解】
（1）因为
)
cos cos A c a C =，
cos sin sin cos C A C A C -=，
()sin cos sin cos sin C C A A C A C =+=+，
而()sin sin A C B +=b =，
故
3
c b =
.
（2）由（1）知cos 6A =，则sin 6
A =，
又ABC 的面积为
21sin 244
bc A c ==
，
则3c =，b =
由余弦定理得2222cos 2792327a b c bc A =+-=+-⨯=，
解得a =. 【点睛】
关键点点睛：利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键.
25．（1）2n a n =，n ∈+N ；（2）()2
214n n S n +=-+.
【分析】
（1）根据题意可知2
214a a a =，而12a =即可解出d ，从而得到{}n a 的通项公式； （2）由（1）知，2n a n =，所以22n
n b n =⋅，根据错位相减法即可求出数列{}n b 的前n
项和n S ． 【详解】
（1）因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2
214a a a =，()()2
1113a d a a d +=+．
又因为12a =，解得2d =或0d =（舍），所以2n a n =，n ∈+N ．
（2）由（1）知，2n a n =，所以22n
n b n =⋅． 因为2222422n
n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，
2312222422n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯
21222222222n n n n S S n +-=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯
化简得()2
214n n S n +-=--，即()2214n n S n +=-+．
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．常见的数列求和方法：公式法，倒序相加求和法，分组求和法，裂项相消法，错位相减法，并项求和法等． 26．（1）24n a n =-；（2）11,,1224⎛⎫⎛
⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
【分析】
（1）易知2
3n S n n =-，再利用通项与前n 项和关系11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩求解.
（2）易得242
4323n n n n n b --==⨯⨯，1
16
0b =-<，20b =，3n ≥时，0n b >，则n T 的最小值为1
6
-
，再根据对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，由()min 16
mf x ⎡⎤->⎣⎦求解. 【详解】
（1）因为()2
3f x x x =-，()n S f n =，
所以2
3n S n n =-，
当2n ≥时，()()2
1131n S n n -=---，124n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，112a S ==-，也满足24n a n =-， 故24n a n =-.
（2）因为24n a n =-，43
n
n n
a b =⨯， 所以242
4323n n n
n n b --=
=⨯⨯，116
0b =-<，20b =， 当3n ≥时，0n b >，
故12T T =为n T 的最小值，n T 的最小值为1
6
-
， 因为对于任意*n ∈N ，总存在[]
2,4x ∈，使得()n T mf x >成立， 所以()min 16
mf x ⎡⎤-
>⎣⎦， 因为[]2,4x ∈，()2
239324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝
⎭，
所以()[]2,4f x ∈-， 当0m >时，()min
16mf x ⎡⎤->⎣⎦，即126m ->-，解得1
12m >； 当0m <时，()min
16mf x ⎡⎤-
>⎣⎦，即146m ->，解得1
24
m <-， 0m =时，1
06
-
>，显然不成立. 故实数m 的取值范围为11,,1224⎛⎫⎛
⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
【点睛】
结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域
的子集 ．。