高考文科数学 “12+4”综合限时练4

“12＋4”综合限时练4
对应学生用书P134
(满分80分，限时45分钟)
一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i 为虚数单位，m ∈R ，复数z ＝(－m 2＋3m ＋10)＋(m 2－4m )i ，若z 为正实数，则m 的取值集合为( )
A ．{0} B.{0,4} C ．(－2,5)
D.(－5,2)
解析 z 为正实数，则⎩⎪⎨⎪⎧
－m 2＋3m ＋10＞0，
m 2－4m ＝0
⇒m ＝0或m ＝4.故选B.
答案 B 2．已知集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪ 12＜sin θ≤1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫φ⎪⎪⎪
π
4＜φ＜1，则集合A ∩B
等于( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫θ⎪⎪⎪ π4＜θ＜π2
B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫θ⎪⎪⎪
π
6＜θ＜1 C.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪
⎪⎪ π
6＜θ＜π2
D.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫θ⎪
⎪⎪ π
4＜θ＜1
解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ∈(0，π)⎪⎪⎪
1
2＜sin θ≤1＝
，∴A ∩B ＝
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫θ⎪⎪⎪
π
4
＜θ＜1. 答案 D
3．已知f (x )＝⎩⎨⎧
f (x ＋1)(x ＜1)，
3x (x ≥1)，则f (－1＋log 35)＝( )
A ．15 B.53 C ．5
D.15
解析 f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋1)＝f (log 35)＝3log 35＝5.故选C. 答案 C
4．过抛物线y 2＝mx (m ＞0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝5
4m ，则m 等于( )
A ．4 B.6 C ．8
D.10
解析 因为y 2＝mx ，所以焦点到准线的距离p ＝m
2， 设P ，Q 的横坐标分别是x 1，x 2， 则x 1＋x 2
2＝3，即x 1＋x 2＝6.
因为|PQ |＝54m ，所以x 1＋x 2＋p ＝5
4m ， 即6＋m 2＝5
4m ，解得m ＝8. 答案 C
5．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若函数f (x )仅在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )
解析 由f (x )仅在x ＝－2处取得极小值可知，当x ＜－2时，f ′(x )＜0，则xf ′(x )＞0；当－2＜x ＜0时，f ′(x )＞0，则xf ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0，则xf ′(x )＞0，故选C.
答案 C
6.如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AB 1上的动点，则下列结论错误的是( )
A ．存在点P ，使DC 1⊥D 1P
B ．存在点P ，使平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP
C ．存在点P ，使∠A 1P
D ＞90° D ．A 1P ＋PD 的最小值为2
解析 把△A 1AB 1与四边形AB 1C 1D 展开到同一平面，连接A 1D 交AB 1于点P ，此时A 1P ＋PD 的值最小，为
2＋ 2.故选D.
答案 D
7．已知非零向量a ＝(x,2x )，b ＝(x ，－2)，则x ＜0或x ＞4是向量a 与b 夹角为锐角的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 〈a ，b 〉为锐角⇔a ·b ＞0且a ≠λb (λ＞0)， 由a ·b ＝x 2－4x ＞0，得x ＜0或x ＞4. 若a ＝λb (λ＞0)，则x ＝－1.
∴a 与b 夹角为锐角⇔x ＜－1或－1＜x ＜0或x ＞4. 选B. 答案 B
8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2
，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳
的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A ．1010.1
B.10.1
C ．lg 10.1
D.10－10.1
解析 由题意可设太阳的星等为m 2，太阳的亮度为E 2，天狼星的星等为m 1，天狼星的亮度为E 1，则由m 2－m 1＝52lg E 1E 2
，得－26.7＋1.45＝52lg E 1E 2
，52lg E 1E 2
＝
－25.25，∴lg E 1E 2
＝－10.1，lg E 2E 1
＝10.1，E 2
E 1
＝1010.1，故选A.
答案 A
9．魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3 072边形，并由此求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值．如图所示是利用刘徽的割圆术设计的计算圆周率π的程序框图，若输出的n ＝24，则p 的值可以是(参考数据：3≈1.732，sin15°≈0.258 8，sin7.5°≈0.130 5，sin3.75°≈0.065 4)( )
A.2.6
B.3 C ．3.1
D.3.14
解析 执行程序框图，可得n ＝6，S ≈2.598，不满足S ≥p ；n ＝12，S ＝3，不满足S ≥p (排除A 、B)；n ＝24，S ≈3.105 6，满足S ≥p (排除D)．故选C.
答案 C
10．在△ABC 中，tan A ＋B
2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )
A ．(2,22] B.(22，4] C ．(4,2＋22]
D.(2＋22，6]
解析 由题意可得 tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝
cos C 2
sin C 2
＝2sin C 2cos C
2，
则sin 2C
2＝1
2，即1－cos C 2
＝12，
∴cos C ＝0，C ＝π
2.
据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
， 据此有a ＋b ≤22，
∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b ＞2，∴a ＋b ＋c ＞4.
综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]． 答案 C
11．(2019·湖南师大附中月考)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1
a n ＜
1，若a 3＋a 5＝10，a 1·a 7＝16，则S 4＝( )
A ．60或15
2 B.60 C.152
D.120
解析 由等比数列{a n }是递减数列， 且⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝10，a 3·a 5＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 3＝8，a 5＝2，
所以q ＝12，
所以a 1＝32，则S 4＝a 1(1－q 4)
1－q ＝60，故选B.
答案 B
12．若x ＝2是函数f (x )＝(x 2－2ax )e x 的极值点，则函数f (x )的最小值为( ) A ．(2＋22)e －2
B.0 C ．(2－22)e
2
D.－e
解析 ∵f (x )＝(x 2－2ax )e x ， ∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ， 由已知得，f ′(2)＝0，
∴2＋22－2a －22a ＝0，解得a ＝1， ∴f (x )＝(x 2－2x )e x ，∴f ′(x )＝(x 2－2)e x ，
∴令f ′(x )＝(x 2－2)e x ＝0，得x ＝－2或x ＝2， 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )＜0， ∴函数f (x )在(－2，2)上是减函数，
当x ∈(－∞，－2)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0， ∴函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数． 又当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x 2－2x ＞0，f (x )＞0， 当x ∈(0,2)时，x 2－2x ＜0，f (x )＜0， ∴f (x )min 在x ∈(0,2)上，
又当x ∈(0，2)时，函数f (x )单调递减， 当x ∈(2，2)时，函数f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f (2)＝(2－22)e 2
.
答案 C
二、填空题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．
13．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则(P A →＋PB →)·(PC →
＋PD →
)的最小值为________．
解析 以B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)， 设P (x ，y )，
则P A →＝(－x,1－y )，PB →＝(－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，PD →
＝(1－x,1－y )， (P A →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝(－2x,1－2y )·(2－2x,1－2y )＝(1－2y )2－4(1－x )x ＝(1－2y )2＋(2x －1)2－1，
当x ＝12，y ＝1
2时，
(P A →＋PB →)·(PC →＋PD →)取得最小值－1. 答案 －1
14．若对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，且f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＝1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
100π3的值为________．
解析 因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6，①
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π3，② ①＋②得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6，
所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π2＝－f (x )，
所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3.
在f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6中，
令x ＝π6，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，
因为f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＝2，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＝2.
答案 2
15．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则
sin2αsin (β－α)的最大值为________．
解析 因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β， 所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β， 所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α， 即sin(β－α)＝sin α， 则
sin2αsin (β－α)
＝sin2αsin α＝2sin αcos α
sin α＝2cos α，
因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，π3，所以2cos α∈[1，2]，
所以
sin2α
sin (β－α)
的最大值为 2.
答案
2
16．(2019·安徽合肥一中等六校联考)如图，在侧棱长为3的正三棱锥A -BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P ，且点P
到点B 的距离始终等于23，则动点P 在三棱锥表面形成的曲线的长度为________．
解析 本题考查空间点与平面的位置关系．设动点P 在三棱锥表面形成的曲线是EFGH ，如图所示，则BE ＝BH ＝2 3.在直角三角形BAH 中，cos ∠HBA ＝323
＝32，∴∠HBA ＝π6，∠HBG ＝π4－π6＝π12，
∴HG ︵
＝23×π12＝36π，同理EF ︵＝36π.在直角三角形HAE 中，∠HAE ＝π
2，AH ＝AE ＝
(23)2－32＝3，
∴HE ︵
＝3×π2＝3π
2.
在等边三角形BCD 中，∠CBD ＝π3，∴GF ︵＝23×π3＝23π
3.则所求曲线的长度为36π＋36π＋32π＋233π＝332π.
答案
332π。