解三角形单元测试题及答案资料讲解

第一章章末检测（B）
姓名：__________ 班级: 学号：_________ 得分：____________
（时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1 .在△ ABC中，a =
2 , b=
3 , c= 1,则最小角为（
）
n n
A* B.6
n n
C.4
D.?
2.A ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是（b — a , c-a）,若p// q ,则角C的大小为n n
A・6 B.?
n 2 n
C.2
D.§a、b、c,设向量p= (a+ c, b), q = )
3. 在△ ABC 中，已知| AB | = 4, |AC|= 1,
A . - 2
B . 2
C. ±4
D. ±2
4. A ABC的内角A、B、C的对边分别为等于()
A. 6
B. 2 S^ABC =.3,则A B AC等于（
）
a、b、c,若c=Q2, b = V6, B = 120 ° 贝U a
C. .3
D. 2
5.在△ ABC 中，A = 120 ° AB= 5,
r, sin B 砧居* / BC= 7,则航的值为(
8 5 5
A.5
B.8
C.?
6. 已知锐角三角形的边长分别为
A. 1<x< , 5
C. 1<x<2 ,5
7. 在△ ABC 中，
2^2
A.-3
C -並
C. 3
&下列判断中正确的是(
A . △ ABC 中，
B. △ ABC 中，
C. A ABC 中，D . △
ABC 中，
3
D・3
2,4 , x,则x的取值范围是
B. ,5<x< , 13
D. 2 3<x<2 5
a = 15, b= 10, A= 60° 贝U cos B 等于(
B池
B. 3
■J 6
D E
)
a= 7, b= 14, A = 30° 有两解
a = 30, b= 25, A= 150 ° 有一解
a = 6 , b= 9 , A= 45 ° ,有两解
b= 9 , c= 10 , B= 60 ° 无解
3 , AC = 1,则厶ABC的面积是9 .在△ ABC 中，B = 30 ° AB =
A並B亚
A. 4
B. 2
C. 3或~2 D^2或¥
10. 在厶ABC中，BC = 2, B= n，若厶ABC的面积为申，则tan C为（）
3 2
A. 3
B. 1
C.f
D.-^
11. 在△ ABC 中，如果sin Asin B + sin Acos B + cos Asin B + cos Acos B = 2，则△ ABC 是（）
A .等边三角形
B .钝角三角形
C.等腰直角三角形 D .直角三角形
12. A ABC 中，若a4+ b4+ c4= 2c2（a2+ b2），则角 C 的度数是（）
A . 60 °
B . 45 或135 °
、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
亠亠卄sin A cos B 血m
13. 在厶ABC中，若—= 厂，贝V B= ______________ .
14. ____________________________________________________________ 在厶ABC 中，
A = 60°, AB= 5, BC= 7,则厶ABC 的面积为__________________________________ .
15. 一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75。

距塔64海里的M
处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为_________ 海里/小时.
16 .在△ ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b- c）cos A = acos C,则cos A= ____________ .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. （10分）如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的
仰角分别为a, 3, CD = a,测角仪器的高是h,用a, h, a, B表示建筑物高度AB.
18. （12分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, a= 2bsin A. ⑴求B
的大小.
⑵若 a = 3二:3, c= 5,求 b.
19. （12分）如图所示，已知O O的半径是1,点C在直径AB的延长线上，BC = 1,点P是O O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧.
（1）若/ POB = 试将四边形OPDC的面积y表示为关于B的函数;
（2）求四边形OPDC面积的最大值.
20. （12分）为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，
A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和A, B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.
n
21. （12分）在厶ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c= 2, C= 3.
⑴若厶ABC的面积等于• 3，求a, b.
⑵若sin B= 2sin A，求△ ABC的面积.
22. （12分）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60 °半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于0B的直线和OA交于点C,设/ AOP = 0,求厶POC面积的最大值及此时0的值.
第一章解三角形章末检测答案（B ）
1. B [•.a>b>c ,.・.C 最小.
n 又V 0<C < n .••C =；]
6J
2. B [ .p//q,..(a + c)(c — a) — b(b — a) = 0. •七2= a ?+ b ?— ab ,T c ? = a ? + b ? — 2abcos C , 1 n
•'cos C = 2，又T 0<C< n .••C =3.]
.AB | |A C| s in A 1
=2X 4X 1 X sin A =
3.
• sin A = 23 又T 0 °A<180 ° • A = 60° 或 120°
—> —> —>
AB AC = |AB| |AC|cos A =4X 1 X cos A = ±.]
■•'c<b ,.C 为锐角.
••C = 30 ° .A = 180 — 120 — 30 = 30 ° •'a = c = . 2.]
5. D [由余弦定理得 BC 2 = AB 2 + AC 2 — 2AB AC cos A ,
• Cos
C
a 2+
b 2-
c 2
2ab
22+ V 32- i 2
卫
2 X 2 X 3
—
2，
4. D
［由正弦定理得
b
sin B
c sin C ， •'sin C =
c sin B
b
2sin 120
1 2,
即 72= 52+ AC 2— 10AC c os 120 , °
,十亠宀 sin B AC 3 ••AC = 3.由正弦疋理得s~C = AB =
5.]
22+ 42 — x 2>0
6. D [由题意，x 应满足条件
22+ x 2— 42>0
解得：2.3<x<2.5.]
15 10 7. D [由正弦定理得sin 60 ^sin B .
a 4+
b 4+
c 4+ 2a 2b 2— 2c 2a 2— 2b 2c 2 1
4a 2b 2
= 2
•'sin B = 10 sin 60
••a>b , A = 60 ；.・.B<60 : •'cos B = p 1 — sin 2B = yj 1 — 2
= ^.]
& B [A : a = bsin A ，有一解； B : A>90°, a>b ,有一解; C : a<bsin A ，无解; D : c>b>csin B ，有两解.]
9. D [由余弦定理 AC 2= AB 2 + BC 2— 2AB BCcos B , •••12= ( .3)2+ BC 2— 2X ,3X BC X 整理得：BC 2 — 3BC + 2 = 0. ••BC = 1 或 2.
1
1
1
3
当 BC = 1 时，S ZABC = 2AB BCsin B = ?X 3X 1 X ?= 4 . 当 BC = 2 时，S ZABC = 2AB BCsin B = *X 3X 2X
卜才]
1 -\[3
10. C [由 S ZABC = ^BC BAs in B =2 得 BA = 1，由余弦定理得 AC 2= AB 2+ BC 2— 2AB BCcos B , AB .3q
•an C = AC = =3.]
11. C [由已知，得 cos(A — B)+ sin(A + B) = 2, 又|cos(A — B)|w 1, |sin(A + B)|< 1, 故 cos(A — B) = 1 且 sin(A + B)= 1,
即 A = B 且 A + B = 90 °,故选 C.]
12. B [由 a 4 + b 4 + c 4= 2c 2a 2+ 2b 2c 2,
得 cos 2C =
a 2 +
b 2 —
c 2 2
2ab
其中A 为直角,
cos C = ±22.A 角 C 为 45 或 135 ° 13. 45
B = cos B. ••B = 45 :
14. 10 3
解析 设AC = x ,则由余弦定理得:
BC 2= AB 2+ AC 2— 2AB ACcos A , •'49 = 25+ x 2— 5x ,「.x 2— 5x — 24= 0. •'x = 8 或 x =— 3(舍去).
1
• S/ABC = X 5X 8X sin 60 = 10 3. 15. 8.6
解析如图所示，
, , PM MN 在APMN 中， =
'sin 45 sin 120 ' 64 X 占 厂
.•MN = = 32 6, •'•v =罟=& ,6(海里/小时).
3
16
可
解析由(3b — c)cos A = acos C ,得(,3b — c) 2
=a^^，
b 2 +
c 2— a 2 3
即—^~ =亍 由余弦定理得cos A = 丁. 17.解在A ACD 中，/DAC = a —
解析
由正弦定理,
sin A sin B
a — b
sin B ~b~
3,
由正弦定理，得 AC DC
sin 0 sin a — 3
••AB = AE + EB = ACsin a+ h = asin 3in
"+ h. sin
a 18. 解 (1) ■•'a = 2bsin A , •sin A = 2sin B sin A , 1 n o
•'sin B = 2. ■/0<B<2 ,「・B = 30 . (2) ■a = 3 .3, c = 5, B = 30 °. 由余弦定理 b 2= a 2 + c 2— 2accos B
=(3 ,3)2 + 52 — 2X 3,3X 5X cos 30 =7.
•'•b = <'7.
19. 解 (1)在APOC 中，由余弦定理， 得 PC 2= OP 2+ OC 2— 2OP OC c os 0 =5— 4cos 0, 所以 y = S AOPC + S APCD 1 =-X 1X 2sin 0+ 2
:AC =
asin 0
sin a — 0
=2si n 3
X (5 — 4cos 0
4 0—
3 +
4 .
⑵当
n n
0—3=2，即 0=
答四边形OPDC 面积的最大值为 20.解
①需要测量的数据有:
5 ；3
,y max = 2 + 4 .
2 + 5/
A 点到M 、N 点的俯角
a1> 01； B 点到M 、N 点的俯
角02、 0; A 、B 的距离d （如图所示）.
②第一步：计算 AM ，由正弦定理 AM =
dsin o sin 01+02
第二步：计算 AN.由正弦定理 AN =
sin 徑一0
第三步：计算 MN ,由余弦定理
MN = AM 2 + AN 2— 2AM X ANcos a —0 . 21.解（1）由余弦定理及已知条件得 a 2 + b 2— ab = 4.
又因为△ ABC 的面积等于.3,
1
所以 2absin C = ■. 3，由此得 ab = 4.
a 2+
b 2— ab = 4,
联立方程组
ab = 4,
⑵由正弦定理及已知条件得
b = 2a.
_2伍 a 2+ b 2— ab = 4,
a
= 3 ，
联立方程组
解得
b = 2a ,
b =也
b
= 3 .
所以△ABC 的面积 S = ^absin C =^y 3. 22.解 vCP ^OB ,「./CPO =/POB = 60°— 0, /OCP = 120 °
因此△ POC 的面积为
1
S 0=
^CP OCsin 120 _ 1 4 =2[ 3
4
=^sin 0sin(60 — 0 4 」 1 =西sin 0 2 cos 0— gSin 0
2 2
=2sin 0 cos 0—祈sin 2 0
=sin 2 0+ ~cos 2 0— -3"
2 ’
3 _ n . 3 =3 sin 2卄 6 一孑
"0=n 时，S （B ）取得最大值为
2 CP 4 .
"sin 120 =sin 0，^CP = ^sin 0
OC sin 60。

一 0 2 sin 120，
"OC =青 n(60 a
= 2,
解得
b = 2.
在△POC 中，由正弦定理得
OP sin ZPCO
CP
sin 0
sin 0畚in(60 — 0X。