山西省太原市第六十六中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷及解析

山西省太原市第六十六中学2019-2020学年高二上学期期中数
学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.已知点1,2A ，)2,1B -，则直线AB 的斜率为（ ） A.
13
B.13
-
C.3
D.3-
2.在空间直角坐标系中，点()1,2,1P -与()0,1,1Q 之间的距离为（ ）
A.2
3.过点()0,1-且垂直于直线1
2
y x =的直线方程为（ ） A.21y x =--
B.21y x =-
C.22y x =-+
D.21y x =+
4.用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（ ）
A.
B.
C. D.
5.与圆()()2
2
121x y -++=关于原点对称的圆的方程为（ ） A.()()2
2
121x y -+-= B.()()22
121x y +++= C.()()2
2
121x y ++-=
D.()()2
2
211x y -++=
6.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A.若m α，n ⊂α，则m n B.若m α⊥，αβ∥，则m β⊥ C.若m α，αβ⊥，则m β⊥
D.若m α，n α，则m n
7.已知直线1:30l mx y +-=与直线2:0l x y m --=平行，则它们之间的距离是（ ）
B.4
C.
D.2
8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，
无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（ ）
A.6
B.9
C.18
D.27
9.已知实数x ，y 满足条件20,220,3,x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
则3z x y =-的最小值为（ ）
A.6
B.
103
C.92
-
D.103
-
10.已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线
1C M 与BN 所成角的大小为（ ）
A.30
B.45︒
C.60︒
D.90︒
11.
已知()
A ，()0,1
B ，点
C 为圆22410x y y +++=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值为（ ）
12.将边长为2的正ΔABC 沿着高AD 折起，使∠BDC =120∘，若折起后A 、B 、C 、D
四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A.
72π B. 7π C. 132π D. 133
π 第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
13.圆0=的半径为______________.
14.一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120︒的扇形，则该圆锥的体积为________. 15.已知长为()20a a >的线段AB 的两个端点A 和B 分别在
x 轴和y 轴上滑动，则线段
AB 的中点的轨迹方程为____________.
16.如图，在棱长为 1的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,
P 是侧面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是
_________.
三、解答题（题型注释）
17.已知ABC ∆的顶点()1,4A -，()2,1B --，()0,1M 是BC 的中点. （1）求直线AC 的方程；
（2）求AC 边上的高所在直线的方程.
18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，11C D 的中点.
（1）求证：EF 平面11ADD A ； （2）求证：EF ⊥平面11A B CD .
19.已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2﹣6x +m =0． （1）若圆C 1与圆C 2外切，求实数m 的值；
（2）在（1）的条件下，若直线x +2y +n =0与圆C 2的相交弦长为n 的值． 20.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥,224AD BC CD ===,
PC =PAD ∆是正三角形.
（1）求证：CD PA ⊥；
（2）求AC 与平面PCD 所成角的正弦值.
21.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥，224AD BC CD ===,
PC =PAD ∆是正三角形.
（1）求证：CD PA ⊥； （2）求二面角P BC A --的大小.
22.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线
PA ，PB ，切点分别为A ，B .
（1）当PA =P 的坐标；
（2）当APB ∠取最大值时，求APO ∆的外接圆方程.
23.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线
PA ，PB ，切点分别为A ，B .
（1）当PA =P 的坐标；
（2）设APO ∆的外接圆为圆M ，当点P 在直线l 上运动时，圆M 是否过定点（异于原点O ）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案
1.D
【解析】1.
由斜率的定义求解即可 由斜率的定义得212121
312
y y k x x -+=
==---， 故答案为：直线AB 的斜率为3- 故选：D 2.B
【解析】2.
可结合两点间距离公式求解 由两点间距离公式得
l 故选：B 3.A
【解析】3.
由两直线垂直的位置关系和点斜式求解即可 由两直线垂直斜率之积为-1可得直线斜率为1
212
k -=
=-，再由点斜式可得()201y x =---，化简得21y x =-- 故选：A 4.D
【解析】4.
对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切
当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形 故选：D 5.C
【解析】5.
可先求圆心关于原点的对称点，再由半径相同写出方程即可
圆()()2
2
121x y -++=的圆心为()1,2-，圆心关于原点的对称点为()1,2-，故对称的圆的方程为：()()2
2
121x y ++-= 故选：C 6.B
【解析】6.
由线面平行的性质可判断A 错；由平行的递推性判断B 对；C 项可能性很多，m 与β不一定垂直；D 项可能性很多，不一定m n
对A ，线面平行只能推出线和过平面的交线平行，推不出和平面内的某一条线平行，如图：
对B ，根据平行的递推性，可得正确，如图：
对C ，可随机举一反例，如图：
直线与β斜交；
对D ，直线有可能相交，如图：
故选：B 7.A
【解析】7.
先利用两直线平行的性质求出的m 值，再利用两平行线间的距离公式求出结果. 解：由题意可知，0m ≠
因为直线1:30l mx y +-=与直线2:0l x y m --=平行， 所以
1311m m
-=≠--， 解得1m =-,
所以两直线分别为12:30,:10l x y l x y -+=-+=，
=故选：A 8.A
【解析】8.
根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可 由三视图，画出图形，如图：
则该鳖臑的体积为：11
343632
V =⨯⨯⨯⨯=
故选：A 9.C
【解析】9.
可将目标函数转化为33
x z
y =
-，再结合约束条件画出可行域，结合位置关系判断即可 根据约束条件画出可行域，目标函数可转化为33
x z y =
-，要使z 取到最小值，则截距3z -
取到最大值，由图可知，相交于右上方的点时，有最值，即点为53,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入3z x y =-得
92
z =-
故选：C 10.D
【解析】10.
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解 如图：
作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N M
BN ，则异面直线1C M 与BN 所
成角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'N M =，
16C M =，1'C N =2
112
2
''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒
故选D 11.C
【解析】11.
可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线AB 距离的最大值，由点到直线距离公式即可求解 如图所示：
要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线AB 距离的最大值，求圆心到直线距离，
再加上半径即可，圆22
410x y y +++=可转化为()2
223x y ++=，圆心为()0,2-
，
AB
k =
，则直线方程为1y x =+
，圆心到直线的距离
d =
max h d r =+=
，2AB =
，则1=22ABC S ∆⨯=
故选：C 12.B
【解析】12.
通过底面三角形BCD 求出底面圆的半径DM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出球O 的半径，即可求解球O 的表面积．
△BCD 中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，
底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为：r,由余弦定理得到BC=√3，再由正弦定理得到
√3
sin1200
=2r ⇒r =1.
见图示：
AD 是球的弦，DA=√3，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴OM=√3
2，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径.∴球的半径OD=√1+34
=√72． 该球的表面积为：4π×OD 2=7π； 故选：B ．
【解析】13.
将一般式化为标准式即可求得
由()()2
2
22220112x y x y x y +++=⇒+++=，则半径为r =
14.3
.
【解析】14.
先求圆锥底面圆的半径，再由直角三角形求得圆锥的高，代入公式计算圆锥的体积即可。

设圆锥底面半径为r ， 则由题意得120
23180
r ππ=
⋅⋅，解得1r =. ∴底面圆的面积为2S r ππ==.
又圆锥的高h =
故圆锥的体积11333
V Sh π==⨯⨯=. 15.()2
2
2
0x y a a +=>
【解析】15.
可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得
如图：
不论直线怎么移动，线段AB 的中点的P 始终为Rt OAB ∆斜边上的中线，即OP a =，即()2220x y a a +=>
故答案为：()2220x y a a +=>
16.4
2⎡⎢⎣⎦，
【解析】16.
试题分析：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，连接1BC ，因为,,,M N E F 为所在棱的中点，所以11//,//MN BC EF BC ，所以//MN EF ，又MN ⊄平面,AEF EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ；因为11//,AA NE AA NE =，所以四边形1AENA 为平行四边形，所以1//A N AE ，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，又1A N MN N =，所以1//A MN 平面AEF ，因为P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在直角11A B M ∆中，
12A M ===，同理，在直角11A B N ∆中，求得1A N =，所以AMN ∆为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位
于,M N 处时1A P 最长，14
AO ===，
112A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是4⎡⎢⎣⎦.
17.（1）3110x y +-=；（2）350x y -+=.
【解析】17.
（1）先设(),C x y ，再结合中点坐标公式求解即可；
（2）所求直线与AC 直线垂直，可算出斜率，又直线过点B ，利用点斜式即可求解； （1）设(),C x y ，由题意得20,12,x y -+=⎧⎨-+=⎩∴2,3,
x y =⎧⎨=⎩∴()2,3C .
∴直线AC 的方程为3110x y +-=；
（2）∵()1,4A -，()2,3C ，∴13AC k =-
， ∴AC 边上的高所在直线的斜率3k =，
∴AC 边上的高所在直线方程为：()321y x =+-，即350x y -+=.
18.（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】18.
（1）要证直线EF 平面11ADD A ，可在平面11ADD A 中找一条线与EF 平行，连接1AD ，先证明1AEFD 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证；
（2）结合线面垂直的判定定理，证明直线EF ⊥平面11A B CD 的两条交线即可； （1）连接1AD ，∵1111ABCD A B C D -是正方体，11AB C D ∴，11AB C D =， ∵E ，F 分别是AB ，11C D 的中点，∴1AE FD ∥，1AE FD =.
∴1AEFD 是平行四边形，∴1EF AD ∥，
∵EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，
∴EF 平面11ADD A ；
（2）由（1）得1EF AD ∥，∵1111ABCD A B C D -是正方体.
∴11A B ⊥平面11ADD A ，∴111A B AD ⊥，∴11A B EF ⊥，
∵1111ABCD A B C D -是正方体，∴11ADD A 是正方体，
∴11A D AD ⊥，∴1A D EF ⊥，
∵1A D ⊂平面11A B CD ，11A B ⊂平面11A B CD ，1111A B A D A ⋂=，
∴EF ⊥平面11A B CD .
19.（1）5；（2）n =﹣3n =﹣3
【解析】19.
（1）求得两圆的圆心坐标和半径，根据两圆相外切，列出方程，即可求解； （2）由（1）得圆2C 的方程为22(3)4x y -+=，圆心2(3,0)C ，半径为2R =,在结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，列出方程，即可求解.
（1）由题意，圆221:1C x y +=的圆心坐标为1(0,0)C ，半径为1r =，
圆22
2:60C x y x m +-+=的圆心坐标为2(3,0)C ，半径为R =
因为圆1C 与2C 相外切，所以12C C r R =+，即31=5m =.
（2）由（1）得5m =，圆2C 的方程为22(3)4x y -+=，可得圆心2(3,0)C ，半径为2R =,
由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离d =
1==，即3n +
解得3n =-+3n =-
20.（1）证明见解析；（2.
【解析】20.
（1）根据线面垂直的判定定理，可利用已知条件，先证直线CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，即可得证；
（2）作点PD 的中点E ，连接AE ，CE ，由面面垂直的和判定定理可得AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，通过计算即可求得
（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，
∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，
∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；
（2）设点E 是PD 的中点，连接AE ，CE ，
∵PAD ∆是正三角形，∴AE PD ⊥，AE =，
由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴平面PCD ⊥平面PAD ，
∴AE ⊥平面PCD ，
∴AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，
∵AD CD ⊥，∴AC =
=
∴sin 5
AE ACE AC ∠==. 21.（1）证明见解析；（2）60.
【解析】21.
（1）通过线面垂直来证线线垂直，先证CD ⊥平面PAD ，再说明PA ⊂平面PAD ，即可得证；
（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，通过几何关系可得PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，再计算即可
（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，
∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，
∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；
（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，
∵PAD ∆是正三角形，∴PE AD ⊥，PE =
∵AD BC ∥，∴BC BE ⊥，
∵224AD BC CD ===，∴2DE BC ==，
∵AD CD ⊥，AD BC ∥，∴BCDE 是正方形，
∴BC BE ⊥，∴BC ⊥平面PBE ，∴BC PB ⊥，
∴PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，
由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴CD PE ⊥，∴BE PE ⊥，
∴tan PE PBE BE
∠==60PBE ∠=︒. 22.（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
【解析】22.
（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三
角形，故有OP =P 的坐标； （2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12
OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程 （1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，
∵PA =
4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝
⎭； （2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，
由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半
径1'2r OP ==APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 23.（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-
⎪⎝⎭；（2）是过定点，816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
【解析】23.
（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三
角形，故有OP =P 的坐标；
（2）可先设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫
⎪⎝⎭，整理得APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，结合00280x y --=代换得()
()220820x x y y x y -+-+=，要使圆M 恒过定点满足，即2220,80,
x y x x y +=⎧⎨-+=⎩，解出对应的,x y ，即可求解 （1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，
∵PA =
4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
； （2）设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，
∵00280x y --=，∴0028x y =+，
∴()()220820x x y y x y -+-+=，令2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩
则8,5165,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或0,0
x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴圆M 过定点816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.。