多尺度法论文郑国金

摘要
非线性振动理论在工程科学中有着广泛的应用，同时从非线性振动中提出的一些数学模型，例如：Duffing方程，van der pol方程和Mathieu方程，在非线性动力学理论中占有很重要的地位。

本文应用了多尺度方法对小参数非线性微分方程求近似解。

同时这也是全文的核心。

全文共分四章。

首先，第一章叙述了分线性振动的由来，分类和特点，对振动现象的普遍存在进行了系统的描述。

第二章非线性振动理论的研究方法简单介绍了解析法和小参数的引入，并着重叙述了近似解析法中的一种常用的方法—多尺度法。

第三章运用多尺度法求一类非线性微分方程的近似解。

最后一章结束语总结全文，述说本文的写作感受。

全文重点在二，三章，详细说明多尺度法，利用多尺度法通过对非线性微分方程近似解的求导，解出近似解。

关键词：非线性振动，多尺度法，稳定性，周期解，
Adjust to reach agreement of dealy Vander Pol equation Abstract
Theory of nonlinear vibration can be apply broadly in the engineering science field ,and some mathematical model advance from nonlinear vibration ,for example: Duffing equation , Van der pol equation and Mathieu equation, it lay hold on very important place in the theory of nonlinear vibration field. The discourse broad multiple size method for little parameter nonlinear differential equation count proximate disentangle. And it is core of the discourse . The discourse have four chapters. The first, The first chapter narrative cause of nonlinear vibration ,classification and specially characteristic ,for vibration phenomena universal presence ongoing systemic depict. The second chapter investigation method in theory of nonlinear vibration simple introduce analyze method and draw into little parameter, and emphasize state a commonly use method
in proximate analyze method investigation method ------ multiple size method .The third chapter alone degree of freedom compulsory vibration proximate disentangle discuss make use of multiple size method disentangle special nonlinear differential in resonance and no resonance two cases proximate disentangle. The last chapter tally up full text, recount writing feel full text .The important point of the full text in the second chapter and the third chapter, elaborate on multiple size method，and make use of pass nonlinear differential proximate disentangle proximate consequence have to out the relation type of the system a main factor , combination sketch , for example no resonance phenomenon , second resonance phenomenon ，Beyond harmonic wave resonance and second harmonic wave resonance.
Keywords：proximate disentangle,nonlinear vibration,multiple size method , main resonance，
目录
摘要 (1)
Abstract (2)
一、引言 (5)
（一）非线性问题研究的历史概况 (5)
（二）、非线性问题的研究 (5)
（三）、线性与非线性的意义 (5)
二、预备知识 (6)
（一）、渐进解析法 (6)
1.1摄动法 (6)
1.1.1 Poincare 法 (6)
1.1.2 Poincare-Lindstedt 法 (7)
1.2 平均法 (8)
1.2.1 KB法 (8)
1.3 KBM法（渐进法） (10)
1.3.1 渐进解的一般形式 (10)
1.4 多尺度法 (12)
1.4.1 方法的一般描述 (13)
1.4.2 自治系统 (14)
三、无限传输方程的近似解 (16)
（一）稳定性分析 (16)
（二）近似周期解 (18)
参考文献 (24)
一、引言
（一）、非线性问题研究的历史概况
非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础学科。

它是自本世纪六十年代以来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为本世纪自然科学的“第三次革命”。

非线性科学几乎涉及了自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。

科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且对国计民生的决策和人类生存环境的利用也具有实际意义。

由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。

（二）、非线性问题的研究
非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。

历史上曾有过一些解非线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。

因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个领域。

本世纪六十年代以来，情况发生了变化。

人们几乎同时从非线性系统的两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线性偏微分方程的一端获得重大进展。

如在浅水波方程中发现了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。

促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。

科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。

（三）、线性与非线性的意义
“线性”与“非线性”是两个数学名词。

所谓“线性”是指两个量之间所存在的正比关系。

若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。

由线性函数关系描述的系统叫线性系统。

在线性系统中，部分之和等于整体。

描述线性系统的方程遵从叠加
原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。

这是线性系统最本质的特征之一。

“非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲
线。

最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。

简单地说，一切不是
一次的函 数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。

由非
线性函数关系 描述的系统称为非线性系统。

二 、预备知识
在一类非线性系统的研究中，主要分两种类型的研究方法。

一类是非线性系
统的定性分析，另一类是非线性系统的近似解析方法。

近似解析解是对非线性系
统做定量的分析，由于可求出精确解析解的非线性系统极少，因此只能采用近似
解得方法。

在这里我们主要介绍具有确定性系数的非线性振动方程周期解的经典方法，
重点叙述摄动法、平均法、KBM 法和多尺度法，从这些方法中可得出进一步的结
果。

本章还通过一些著名上的实例阐明了非线性振动的特有的动力学行为，其中
一些主要概念在研究分叉和浑沌运动时也将被应用。

（一）、渐进解析法
1.1摄动法
摄动法又称小参数法。

它处理含小参数ε的系统，一般当0ε=时可求得解
0x 。

于是可把原系统的解展成ε的幂级数2012x x x x εε=+++⋅⋅⋅若这个级数当
0ε→时一致收敛，则称正则摄动，否则；称奇异摄动。

摄动法的种类繁多，本
节介绍最基本的Poincare-Lindstedt 方法。

1.1.1 Poincare 法
考虑含小参数ε的非线性系统
2
(,)x f x x x ωε⋅⋅⋅+= （1.1.1） 其中f 是关于x 和x ⋅的解析函数。

当0ε=时（1.1.1）有解
00cos()x a t ωϕ=+ （1.1.2）
当0ε≠时把解写成 0()()(;)i i i x t x t x t εε∞
==≡∑ （1.1.3）
将(;)x x t ε=代入（1.1.1），并将((;),(;))f f x t x t εε=在0ε=处展成ε的
幂级数，比较系数可求得解(;)x t ε。

1.1.2 Poincare-Lindstedt 法
考虑到系统（1.1.1）的振动频率ω通常不是常数。

本方法是引入新变量τ，
作变换
t τω= （1.1.6）
来求对τ的周期解。

将ω和x 展开为小参数ε的幂级数
2012ωωεωεω=+++⋅⋅⋅ （1.1.7）
2012()()()x x x x τετετ=+++⋅⋅⋅ （1.1.8）
其中()x τ为周期函数，i ω为待定常数。

注意到
dx x x dt ωω∙
'==， 2222d x x x d ωωτ⋅⋅''==， 利用变换关系（1.1.6）及以上ω和x 的展开式，代入方程（1.1.1）后，可得()
i x τ所满足的各阶方程
20002:0d x x d ετ
+= （1.1.9a ） 22201100012:()2d x d x x f d d εωωωττ
+=- (1.1.9b) 2220002120112:()f f f d x dx x x d x d x εωωττω
∂∂∂+=+⋅+'∂∂∂ 222010210122(2)2d x d x d d ωωωωωττ
-+- (1.1.9c) 2323000230223:()d x f f f dx x x d x d x εωωττω
∂∂∂+=++'∂∂∂ 222222222000000111111111221()2222!f f f f f f dx dx dx x x x x d x d x x x d x ωωωτωτωτω⎡⎤∂∂∂∂∂∂++++++⎢⎥'''∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦
2222012031202101222
2()(2)2d x d x d x d d d ωωωωωωωωωτττ-+⋅-+- (1.1.9d) ….. 上列方程组中，00,
,f f x ∂⋅⋅⋅∂等为函数f 及其导数在原点00(,)x x '的取值，且可依次求解()i x τ。

由于()i x τ是以2π为周期的周期函数，即满足
(2)()i i x x τπτ+=
这一附加条件可以决定各阶频率修正值i ω，即可适当选择i ω，从而消除永年项得
到周期解。

1.2 平均法
各种平均法的思想都来源于求解二阶线性非齐次常微分方程特解得常数变
易方法下面，最简单的平均法讲起。

1.2.1 KB 法
对于非线性自治系统
20(,)x x f x x ω
ε⋅⋅⋅+= （1.2.1） 根据常数变易的思想，Krylov 和Bogoliubov 把解写成 ()cos ()x a t t φ=
0()()t t t φωϕ=+ （1.2.2a ）
即非线性方程（1.2.1）的解仍具有线性方程解的形式，指示振幅a 和相位ϕ都
不再是常数，而是时间的函数。

（1.2.2）中出现的φ叫全相位，它由式（a ）决
定。

（1.2.1）和（1.2.2）中有三个待求函数：(),()x t a t 和()t φ。

为寻求一个补充
方程，对（1.2.2）求导
0cos sin sin x a a a φϕφωφ⋅⋅⋅=-- （1.2.2b ）
若近似地取非线性振动速度具有线性方程时速度的形式，即
0sin x
a ωφ⋅⋅=- （1.2.2c ） 则由式（
b ）可得补充方程 cos sin 0a a ψϕψ⋅⋅-= （1.2.2d ）
将,,x x x ⋅⋅⋅
代入（1.2.1），得 000sin cos (cos sin )a a f a a ωψωψεψωψ⋅
--=- （1.2.2e ）
联立（d ）和（e ），可解出： 0000sin (cos ,sin )cos (cos ,sin )a f a a f a a a εψψωψωεϕψψωψω⋅
⋅⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
（1.2.3）
从（1.2.1）到（1.2.3），相当于做了一种变量替换，把,x x ⋅换成了a ，ϕ。

这种变换的物理意义是：拟简谐系统的振动仍以简谐振动的形式表示，但其振动
的振幅和频率都随时间变化。

而振幅a(t)，相位()t ϕ的变化比函数x(t)的变化
要缓慢，表现为a ⋅，ϕ⋅
，()O ε的量级。

换言之，振幅、相位是时间的慢变函数。

这是式（1.2.3）反映出的第一个特点。

第二个特点是式（1.2.3）右端函数都是
全相位ψ的周期函数。

可是，由于非线性，对式（1.2.3）精确求解仍十分困难，
只能求近似解。

KB 法的求解简述如下：由于式（1.2.3）右端函数是ψ的周期函数，可将
其展开成Fourier 级数；又由于a(t)，()t ϕ均缓慢变化，所以在第一次近似时
可略去级数展开式中的谐波项，仅取常数项。

于是得到第一次近似的求解方程。

2000sin (cos ,sin )2a f a a d πεψψωψψπω⋅=--⎰ （1.2.4）
20000cos (cos ,sin )2f a a d πεϕωψψωψψπω⋅=---⎰
注意到其中第二个式子已经用到式（a ）,由ϕ⋅替换为ψ⋅。

（1.2.4）右端的积分项
就是式（1.2.3）右端函数在一个周期2T π=内对时间的平均值。

由于a ，ϕ在
时间为一个周期的量级内变化很小，所以计算右端平均值时可看做常量。

由于易
由上式积分求出a(t), ()t ψ.
1.3 KBM 法（渐进法）
这种方法的基本思想是根据弱非线性系统中振动的拟简谐性质来寻求相应
的具有渐进性质的级数解。

这个方法是由Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky 共同
提出的，故称KBM 法。

1.3.1 渐进解的一般形式
设在外周期力作用下，弱非线性系统强迫振动方程可表
20(,,)x x f t x x ωε⋅⋅⋅
+=Ω （1.3.1）
式中 Ω为外周期力的常数频率。

这时，系统是非自治的。

当 0ε=时，系统是线性的，振动是简谐的。

当0ε≠时，考虑解除其具有主谐
波外还有微小的高次谐波项，可设解为22cos (,,)(,,)x a a t x a t ψεψεψ=+Ω+Ω+ （1.3.2a ）
其中各(,,)i x a t ψΩ是两个角度量,t ψΩ的周期函数，周期为2π。

对自治系统，
变量0.t Ω≡
考虑到弱非线性项的影响，主谐波的振幅和相位是时间慢变函数，可有下
面按ε幂级数展开形式的微分方程决定，即
212()()a a a a a εε⋅
=++ （1.3.2b ） 2012()()a a ψωεωεω⋅=+++
这里,i i a ω都是主谐波振幅a 的函数。

可见KBM 法事把解展成三个级数来求，又称三级数法。

求解方程（1.3.1）
的过程，就是要决定函数(,,)i x a t ψΩ和选择函数(),()(1,2,),i i a a a i ω= 使得由
（1.3.1b ）求得的a 和ψ代入（1.3.1a ）后能满足原方程。

为了唯一地确定函数
,i i a ω，应保证使i x 为ψ和t Ω的周期函数，还应使i x 不不存ψ一次谐波，以避免永年项出现。

具体过程是把（1.3.2.a,b ）所表示的关系式代入（1.3.1）的左端，同时将（1.3.1）右端函数按ε同次幂系数，可得一组渐进的线性方程组，于是可依次求解。

为此，由（1.3.2a ）对t 求导后代入（1.3.1）左端，并考虑（1.3.2b ）,则可得
2222
22
1110
0010122(22cos x x x x x x a t t
ωεωωωωψψψ⋅⋅
∂∂∂+=+++-∂∂∂∂
-201a ω2222
22
2220022
2sin )2x x x x t t ψεωωψ
ψ⎡∂∂∂++++⎢∂∂∂∂⎣
210202112cos 2sin cos da a a a a da ωωψωψωψ⎛⎫
--+- ⎪⎝⎭
22111
1110101
2
(2)sin 22d x x aa a a da a ωωψωωωψψ∂∂-+++∂∂∂
][]22311
1122x x a a t t
ωεψ∂∂++++∂∂∂∂ （1.3.3a ） (,,)f x x t ε⋅
Ω在000cos ,sin x a x a ψωψ⋅
==-处展开，有
0201(,,)
(,,)(,,)f x x t f x x t f x x t x x εεε⋅
⋅⋅⎡∂Ω⎢Ω=Ω+⎢∂⎣
]011110(,,)
(cos sin )x x f x x t a a t
x
ψωψωψ⋅
⋅
∂∂∂Ω+
⨯-+
+∂∂∂ 3()O ε+ （1.3.4b ）
比较（1.3.3）两式的ε的系数，得下列微分方程组：
22210
010012
(,,)2cos x x f a t a ωωϕωωψψ
∂+=Ω+∂ 0112sin (,,)a a G a t ωψϕ++Ω (1.3.4a)
(22220
021112
(,,)cos sin x f a t x x a a x
ϕωωψωψψ∂∂Ω+=+-∂∂ )110111(,,)(2)sin x d f a t a aa da x
ωϕωωψψ⋅∂∂Ω+
+++∂∂ 21
1
10202()cos 2sin 2cos da a a a da
ωψωψωωψ-++-
221010122
22(,,)x x a G a t a ωωωϕψψ
∂∂-+Ω∂∂∂ (1.3.4b)
其中
2211
102
(,,)2x x G a t t t
ϕωψ∂∂Ω=--∂∂∂
22221202(,,)
(,,)2x x x f a t G a t t t t x
ϕϕωψ⋅
∂∂∂∂ΩΩ=--+⋅∂∂∂∂∂ 22111122x x a a t t
ωψ∂∂--∂∂∂∂
对于自治系统，(,,)(1,2,)i G a t i ϕΩ= 函数自动为零。

依次求解上面各方程，并利用i x 是周期解来消除永年项，从而定出各,.i i a ω
1.4 多尺度法
用摄动方程研究非线性方程及其解的性质，相应的物理现象中，常出现某些因素或局部变化缓慢，某些因素或局部变化剧烈的情况。

这使人们想到对自变量要采取多种不同的变化尺度去进行渐进展开求解。

这类方法称为多尺度法。

1.4.1 方法的一般描述
如用KBM 法求得非线性问题的解，其解(;)x t ε的渐进展开式明显的和依赖于ε一样依赖于2,,,.t t t εε 为了使展开式对t 增大到()M o ε-仍有效，可引入M+1个不同尺度的时间变量
m M T t ε= 0,1,2,,m M = （1.4.1）
那么x 就是M+1个独立的自变量的函数，而不再是单个自变量t 的函数了，即
011
010(;)
(,,,;)
(,,,)()
M M m m M M m x t x T T T x T T T o T εεεε-===+∑ （1.4.2）
这些新自变量m T 随时间t 变化的速度依次减慢一个数量级。

至于M 取几，要取决于需求到哪一阶近似解。

若（1.4.2）算到2()o ε，那么独立时间变量为0T 和1T 。

若（1.4.2）需算到3()o ε，则取三个独立时间变量01,T T 和2T 。

引入多个不同尺度的时间变量后，使得对于时间t 的导数变成为对于m T 的偏导数展开式
0120122012
d dt
dT dT dT dt T dt T dt T T T T εε∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂
（1.4.3a ）22222
222001102
()d dt T T T T T T ∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂ (1.4.3b) 将（1.4.2），（1.4.3）代入非线性方程（1.2.1），就能按ε的幂次得到各阶求解方程，即关于01,,,M x x x 的方程组，各方程的解中包含有不同尺度的时间变量
01,,,M T T T 的任意函数。

这些任意函数的确定，和以往的方法一样，利用消除永年项得到的附加条件，就能依次确定。

以上介绍的是常用的多变量型多尺度法，又叫导数展开法。

多尺度法是解决
非线性问题最有效的方法之一。

1.4.2 自治系统
例1.4.1 求Duffing 方程（1.1.4）
30(1)x x x εω⋅⋅
+=-=
自由振动的二次近似解（用多尺度法）
解：
求二次近似解可选三个变量，设
2001210122012(,,)(,,)(,,)x x T T T x T T T x T T T εε=++
代入原方程，并用到式（1.4.3），可得到下列方程组
20
02
0x x T ∂+=∂ （1.4.4a ）
223
110
2001
2x x x T T T ∂∂+=--∂∂∂ (1.4.4b)
22223
22201
22001021
223x x x x x T T T T T T ∂∂∂∂+=----∂∂∂∂∂∂ (1.4.4c)
设式（1.4.4a ）的解为
01200(,)exp()exp()x A T T iT A iT =+-
其中A 是未知复函数，
A 是A 的共轭。

用复数形式表示是为了运算方便。

把 0x 代入式（1.4.4b ）
223
110020123exp()exp(3)x A x i A A iT A i T cc T T ⎛⎫∂∂+=-+-+ ⎪∂∂⎝⎭
其中cc 表示前面各项的共轭。

为使x1,不出现永年项，必须
21
230A
i
A A T ∂+=∂ （1.4.4d ）
又求得
3
101exp(3)8x A i T cc =+
把
01
,x x 代入（1.4.4c ）,并利用条件（1.4.4d ），有
23245
22000202152132exp()exp(3)exp(5)888x A x i A A iT A A i T A iT cc T T ⎛⎫∂∂+=----+ ⎪∂∂⎝⎭
消除永年项
32215208A i A A T ∂-=∂ （1.4.4e ）
解
2
x 为
45
200211exp(3)exp(5)6464x A A i T A iT cc =-
-+
利用式（1.4.4d ）,（1.4.4e ）求A （T1,T2）如下： 由（1.4.4d ）
213
2
A iA A T ∂=∂ 由（1.4.4c ）
2321516
A iA A T ∂=-∂ 利用式（1.4.3a ）并注意到00
A
T ∂=∂，就得到
223315
216
dA iA A iA A dt =- 令1
exp()2A a i ϕ=
，其中
,a ϕ是t 的实函数，将之代入上式，实、虚部展开，有
0a ⋅
=
224
3158
256a a ϕεε⋅
=-
积分得
0a a =
22403158256a a t ϕεεϕ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝⎭
00,a ϕ为积分常数，所以
224001315exp ()28256A a i a a t i εεϕ⎡⎤
=-+⎢⎥
⎣⎦
于是，原方程二阶近似解为
3
22500001211cos (1)cos3cos532321024
x a a a a ψεεψεψ=+
-+ 其中
224
03
15(1)8
256a a t ψεεϕ=+-
+
三、无限传输方程的近似解
（一） 稳定性分析
对于系统
()()()()(())x t x t x t x t f x t αταβτε--++-= （2.1.1）
对于方程（2.1.1）的根0x , 如果对0x 的任一邻域U,存在0x 的一个属于U 的邻域
1U ，使系统（2.1.1）的解()x t ，若有01x U ∈,则对一切0t >，有()x t U ∈，就
称0x 是稳定的，否则就称为不稳定的。

如果0x 稳定，并且有
()lim t x t x →+∞
=，就
称0x 是渐近稳定的。

定义：若（2.1.1）的零解对τ+∀∈ℜ都是渐近稳定的。

则称（2.1.1）为全时滞稳定的。

或叫无条件稳定或绝对稳定。

可求(2.1)的特征方程：
将t
x ce λ=代人到方程（2.1.1）中则有，
()t
x t c e λλ= ()()t x t ce λττ--= ()()t x
t c e λττλ--= 所以有：
()()
0t t t c e c e ce λλτλτλαλαβ---+= 即有： 0e
e λτ
λτλαλαβ---+= （2.1.2）
1
e e λτ
λτ
αβλα---=- 若0τ
=时，则1
αβλα-=-为其特征根。

如果其特征根位于左半平面，而当
τ
由0增至+∞时，不越过虚轴，则系统
（2.1.2）的更全具有负实部，这样系统（2.1）的零解为全时滞稳定的。

因此，
要使（2.1.1）为全时滞稳定，首先要使（2.1.2）的根具有负实部。

只有当(2.1.1)的特征根为纯虚数时，方程的解才有近似周期解。

用i λ
ω=代人（2.1.1）中，有
0i i i ie e ωτ
ωτωεωαβ---+=
即 (cos sin )cos sin 0i i i i ωαωωτωταβωταβωτ--+-=
所以有 cos sin 0
sin cos 0ωαωωταβωταωωταβωτ--=⎧⎨+=⎩
令
22()(1cos )cos f ωωαωταβωτ
=--
当1cos 0αωτ->时，在区间上0,2πτ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上， '22()2(1cos )sin sin 0f ωωαωτωατωταβτωτ=-++>
函数
f
单调
当
0ω=时， 2()(0)0f f ωαβ=
=-<
当2π
ωτ
=时，
2
2()()024f f ππωττ
==>
函数与X 轴有交点，方程有解，即 特征方程（2.1.2）有纯虚根。

（二）近似周期解
在3x ε的非线性扰动的情况下，可求系统的一次近似周期解（利用多尺度法） 设2
001210122012()(,,)(,,)(,,)x t x T T T x T T T x T T T εε=+++ （2.2.1） 其中20
12,,n n T t T t T t T t εεε====
应用微分算子，记
00D T ∂=∂，11
D T ∂=∂，知： 220101
0()0()d D D dt T T εεεε∂∂
=++=++∂∂ （2.2.2） 由001101()(,)(,)x t x T T x T T ε=
++20()ε，知
001101()(,)(,)x t x T T x T T τττεττ-=--+--20()ε+ (2.2.3)
根据二元函数的泰勒展开：
00(,)f x h y k ++
0000(,)()(,)f x y h k f x y x y
∂∂
=+++∂∂ 令0
010(,0,,)T x h T y k ττ-===-= 知
1
00100110
(,)(,)(0)T x x T T x T T x T T ττττ∂∂∂--=-+⋅-⋅∂∂∂
0011
(,)x
x T T T ττε∂=--∂
10
111(,)x T T D x ττε=-- （2.2.4）
1
10110110
(,)(,)(0)T x x T T x T T x T T τττττ∂∂∂--=--+⋅-⋅∂∂∂ 1011
(,)x
x T T T ττε∂=--∂
10111(,)x T T D x ττε=
-- （2.2.5）
将（2.2.4），（2.2.5）代人(2.2.3)中
得到时滞项：
2001101()(,)(,)0()x t x T T x T T τττεττε-=--+--+
10111(,)x T T D x ττε=
--+210111(,)x T T D x εττε--+20()ε
2
0011011001(,)[(,)(,)]0()x T T x T T D x T T τετττε=-+---+（2.2.6）
3301()()x t x x ε=++
32001001101(,)3(,)(,)x T T x T T x T T ε=+
2233
001101
1013(,)(,)(,)x T T x T T x T T εε+⋅++ （2.2.7） 223000111
010012
()x x x x x x x t T T T T T T εεεεε∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂ （2.2.8）
将（2.2.1）（2.2.2）(2.2.3)（2.2.4）（2.2.5）（2.2.7）（2.2.8）代人原方程得
()()()x
t x t x t αταβτ--+- 20001100100011101(,)(,)(,)(,)D x T T D x T T D x T T D x T T εεε=+++
2
0001100101011101(,)(,)(,)(,)D x T T D x T T D x T T D x T T αεεε⎡⎤-+++⎣⎦
]0011011001(,)(,)(,)x T T x T T D x T T αβτετεττ⎡+-+---⎣
3223243001001101001101101(,)3(,)(,)3(,)(,)(,)x T T x T T x T T x T T x T T x T T εεεε=++⋅+
这样根据多项式的性质，可知，指数012,,εεε的系数在等式两边相等。

这样就有，
000010001001:(,)(,)(,)0D x T T D x T T x T T εααβτ-+-= （2.2.9）
则，当(,)a b D ∈时，系统可形如（2.1.1），这样0i ω-
+是特征方程的根。

易见方
程（2.2.9）有如下形式的谐波解：
000011(,)()T i x T T A T e cc ω=+
其中cc 表示前面各项的共轭，
000000111
(,)()()T i T i
x T T A T e A T e ωω-=+ 00000032332001111(,)()3()()T i T i T i
x T T A T e A T e A T e ωωω-=+
000000223231113()()()T i T i T i A T e A T e A T e ωωω--++
00000000333223111111()3()()3()()()T i T i T i T i A T e A T A T e A T A T e A T e ωωωω--=
+++
11001010110010101:(,)(,)(,)(,)D x T T D x T T D x T T D x T T εαα+--
1011001(,)(,)x T T D x T T αβταβττ+---
3001(,)x T T =
又有，000001001111
(,)T i T i
x A A D x T T e e T T T ωω-∂∂∂=
=+∂∂∂ 这样， 010********(,)(,)(,)D x T T D x T T x T T ααβτ-+- 3
10011001100
1001(,)(,)(,)(,)D x T T D x T T D x T T x T T ααβττ=-++-+
0000000000033111111
()T i i T i i T i i
T i
A A A A A e e e e e e A T e T T T T T ωωτωωτωωτωαααβτ---∂∂∂∂∂=-+⋅+-⋅+⋅+∂∂∂∂∂ =00000000011111
T i i T i i T i i
A A A A A e e e e e e T T T T T ωωτωωτωωταααβτ---∂∂∂∂∂-
+⋅+-⋅+⋅∂∂∂∂∂ 00000000333223111111()3()())3()()()T i T i T i T i
A T e A T A T e A T A T e A T e ωωωω--++++
0002111113()()i T i A A A e A T A T e T T T ωτωααβτ-⎡⎤∂∂∂=--+⎢⎥∂∂∂⎣⎦
000000332
33111111
3()()()()T i T i T i A A A T A T e A T e A T e T T ωωωα-⎡⎤∂∂+++++⎢⎥∂∂⎣⎦
而对齐次方程010********(,)(,)(,)0D x T T D x T T x T T ααβτ-+-=的特征方程有：
00000w i w i w i w ie e ττααβ---+=
得， 000()
w i
w i
e
w i ταβ-=
-
为此，我们可以设 1()
111()()2
ib T A T a T e =
可令
11
,a b
a b
D D T T ∂∂==∂∂
这样， 11()()
1
111
11()22ib T ib T A a b e a T e i T T T ∂∂∂=+∂∂∂ 11()()
1122
ib T ib T a b D e aD ie =+
1()
1()2
ib T a b e D aD i =+ 由于所求的为方程的近似周期解，所以其永年项为0.
则，
02
11111
3()()0i A A A e A T A T T T T ωταταβ-∂∂∂-+⋅+=∂∂∂ 即， 01()2111()[1]3()()02
i ib T a b e D aD i e A T A T ωτααβτ-+-++= 而， 11()()111111()()()()22ib T ib T A T A T a T e a T e -=
⋅214
a = 这样有， 011()()2111()[1]30242
i
ib T ib T a b e D aD i e a ae ωτααβτ-+-++⋅⋅= 即， 033()[1]04
i
a b D aD i e a ωτααβτ-+-++= 22000a a a a a D w i D D w i D D w i ααβααβαβτ---+
22000b b b b b a D w a D i a w D a D i a w D αβαααβαβτ--++-
33
033044
a w i a ααβ+-=
分离实部和虚部
得
22300022300003
43
04
{
a a
b b b a a a b b D D a D w a w D a w D a D w D w D w a D a D a w αβαβαααβταβαααβταβαβα---+--=-+-++=
根据克拉默法则解方程组，得
3
203
2022022000
34
34
a a a a a w a a D a a w w w a a αβαωα
ααβαβαβαβαωααααβτταβαβ-
-+-+=
---+-+-+
3
23
2000022022000
34
34
b a a w w w w D a a w w w a a αβαβαβ
ααααβτταβαβαωααααβτταβαβ
-
---+=
---+-+-+
把回代，因此有：
010********(,)(,)(,)D x T T D x T T x T T ααβτ-+-0033T i
A e
cc ω=+
（注：其余那些项为永年项为零） 因此，
1x 应有形如0033T i
cA e ω形式的周期解。

将0033101
(,)T i
x T T cA e ω=回代，则有 003330033i i c i c i ce A e ωτωτωαωαβ--+=
0330033i
A c i i e ωτωαωαβ-=
-+
所以方程有如下形式的周期解：
0033101300(,)33i
i
A e
x T T i i e ωτωτωαωαβ-=
-+
结论：
当0τ=时，
当1cos 0αωτ->时，在区间上0,2πτ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上， '22()2(1cos )sin sin 0f ωωαωτωατωταβτωτ=-++> 函数 f
单调
当
0ω=时， 2
()(0)0f f ωαβ
==-<
当2πωτ
=时，
2
2()()024f f ππωττ
==>
函数与X 轴有交点，方程有解，即 特征方程（2.1.2）有纯虚根。

参考文献
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