2017-2018学年高中数学 第一章 空间几何体 1.2.3 空间几何体的直观图学业分层测评(含解

空间几何体的直观图
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A′等于( )
A．45°B．135°
C．45°或135°D．90°
【解析】在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.
【答案】 C
2．由斜二测画法得到：
①相等的线段和角在直观图中仍然相等；
②正方形在直观图中是矩形；
③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；
④菱形的直观图仍然是菱形．
上述结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A.
【答案】 A
3．如图1­2­32为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是
( )
图1­2­32
A B C D
【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．
【答案】 C
4．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1­2­33所示的直观图，其中
B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝
3
2
，那么原△ABC中∠ABC的大小是
( )
图1­2­33
A．30°B．45°
C．60°D．90°
【解析】根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝3，AO⊥BC，∴AB＝AC＝12＋32＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.
【答案】 C
5．在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
【解析】根据斜二测画法知在A，B，D中，正三角形的顶点A，B都在x轴上，点C 由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于C，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等．
【答案】 C
二、填空题
6．已知△ABC的直观图如图1­2­34所示，则原△ABC的面积为__________.
图1­2­34
【答案】 9 [由题意，易知在△ABC 中，AC ⊥AB ，且AC ＝6，AB ＝3，∴S △ABC ＝12
×6×3＝9.]
7．有一个长为5，宽为4的矩形，则其直观图的面积为__________．
【答案】 5 2 [由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20，所以由公式S ′＝
24
S ，得其直观图的面积为S ′＝
24S ＝5 2.] 三、解答题
8．如图1­2­35，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．
图1­2­35
【解】 画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；
① ②
(2)在图①中，过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于D ′，在图②中，在x 轴上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，并使DB ＝2D ′B ′.
(3)连接AB ，BC ，则△ABC 即为△A ′B ′C ′原来的图形，如图②.
9．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm ，高为3 cm ，画出这个正六棱锥的直观图．
【解】 (1)先画出边长为3 cm 的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；
(2)过正六边形的中心O ′建立z ′轴，在z ′轴上截取O ′V ′＝3 cm ，如图②所示；
(3)连接V ′A ′、V ′B ′、V ′C ′、V ′D ′、V ′E ′、V ′F ′，如图③所示； (4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．
[能力提升]
10．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图1­2­36所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )
图1­2­36 A.732 B.73
C ．5 D.52 【解析】 由斜二测画法规则知△ABC 是∠ACB 为直角的三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，AB ＝73，所以AB 边上的中线长为
732
. 【答案】 A 11．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图1­2­37所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，求原平面图形的面积．
图1­2­37
【解】 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
又∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，
∴四边形ADCE 是矩形，
∴EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22
， ∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋
22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.。