安徽省安庆市2019届高三模拟考试(二模)数学文试题(解析版)

2019年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（文）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解出集合M，然后和集合N取交集即可.
【详解】由题意得,
则.
故选：C.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.
2.设是虚数单位，则复数的模是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由复数的乘法运算得到复数z，然后取模即可.
【详解】复数,
则.
故选：B.
【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的模的计算，属于简单题.
3.已知是等差数列的前项和，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
先根据等差数列的性质得到然后利用等差数列的前n项和公式计算即可得到答案.
【详解】等差数列中，
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列的性质的应用，考查等差数列前项和公式的应用，属于基础题.
4.函数，若实数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对实数a按和进行讨论，根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.
【详解】由分段函数的结构知,其定义域是所以
(1)当时, 即解得，
(2)当时, 就是,不成立.
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.
5.如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，一只蚂蚁从点出发沿每个侧面爬到，路线为
，则蚂蚁爬行的最短路程是（）
A. B. C. D.
【解析】
【分析】
画出棱柱的侧面展开图，由图可得最短距离为对角线的长，利用勾股定理即可求.
【详解】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为，则其对角线的长为最短程.因此蚂蚁爬行的最短路程为.
故选:A.
【点睛】本题考查利用侧面展开图求最短路程，掌握把空间图形展开转化为平面图形的解决方法，是基础题．6.函数的大致图像是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由函数的零点排除B，D选项，再根据函数的单调性排除C选项，即可求出结果.
【详解】令可得，，即函数仅有一个零点，所以排除B，D选项；
又，所以由，可得，由得,
即函数在上单调递增，在上单调递减，故排除C.
【点睛】本题主要考查函数的图像，属于基础题型.
7.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设大正方形的边长为5，由已知条件求出小正方形和大正方形的面积，利用几何概型公式即可得到答案.
【详解】设大正方形边长为,由知直角三角形中较小的直角边长为，较长的直角边长为，所以小正方形的边长为且面积,大正方形的面积为25，则此点落在阴影部分的概率是.
故选：D.
【点睛】处理这类与平面区域面积有关的几何概型问题,关键是准确地把握题意,数形结合,画出所有试验结果构成的平面区域Ω和事件A所构成的平面区域,求出两个图形的面积再求概率即可.
8.为了计算，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（）
A. B. C. D.
【解析】
【分析】
模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S＝N﹣T，由此知空白处应填入的条件．
【详解】模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是
S＝N﹣T＝1++…+---…-=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；
累加步长是2，则在空白处应填入i＝i+2．
故选：B．
【点睛】对于程序框图的读图问题，一般按照从左到右、从上到下的顺序，理清算法的输入、输出、条件结构、循环结构等基本单元，并注意各要素之间的流向是如何建立的．特别地，当程序框图中含有循环结构时，需首先明确循环的判断条件是什么，以决定循环的次数．
9.若函数在上的最大值是，则实数（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将cos2x写成，然后转为求二次函数类型的最值，即可得到m值.
【详解】因为
当sinx=1时取到函数的最大值，即
解得m=-3
故选:C.
【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，考查二次函数求最值问题，属于基础题.
10.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由导数的几何意义求得切线l的方程，再利用圆心到直线的距离减半径即为点P到直线的距离的最小值.
在点（-2,2）处的切线斜率为-2，则切线l的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0,
所以圆心到的距离是，圆的半径为2，
则点P到直线的距离的最小值是.
故选：C.
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.
11.如图是某个几何体的三视图，根据图中数据（单位：）求得该几何体的表面积是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可知该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体,利用表面积公式计算即可得到答案. 【详解】由三视图可以看出，该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个半径为3的八分之一的球体.则几何体的表面积为
故选:A.
【点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.
12.将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，且函数满足，则下列命题中正确的是（）
A. 函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为
B. 函数图像关于点对称
C. 函数图像关于直线对称
D. 函数在区间内为单调递减函数
【分析】
由已知可得和是函数的两条对称轴，可确定出和值，得到f(x)解析式，由平移可得函数g(x)解析式，根据正弦函数的性质对选项逐个检验判断即可得到答案.
【详解】因为函数的最大值是，所以，周期是，则又故n=1时，
又因为所以,，故
于是函数的图象向左平移个单位后得到.
函数g(x)周期为,则两条相邻对称轴之间的距离为，故选项A错误；
将代入函数g(x)解析式，函数值不为0，故选项B错误；
将代入函数g(x)解析式，函数取不到最值，故选项C错误；
当时，，由正弦函数图像可知函数单调递减，
故选：D.
【点睛】本题考查正弦函数图像的周期性，对称性和单调性的应用，考查函数图像的平移变换，属于中档题.
二、填空题：每题5分，满分20分，将答案写在题中横线上.
13.向量与向量的夹角余弦值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量夹角的公式计算即可得答案.
【详解】由已知向量，向量，则
故答案为：
【点睛】本题考查向量的夹角运算公式，属于简单题.
14.若双曲线的一条渐近线方程是，则此双曲线的离心率为_______．
【答案】
由双曲线的渐近线方程可求得a,然后利用离心率公式计算即可.
【详解】根据双曲线方程可知其渐近线方程为,
而已知是一条渐近线方程，则有，解得，
又b=2,,则
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题.
15.设实数满足不等式，则函数的最大值为__________．
【答案】11
【解析】
【分析】
本题首先可以通过不等式组画出在平面直角坐标系中所表示的区域，然后将目标函数
转化为与直线平行的直线系，最后根据图像得出结果。

【详解】不等式表示区域如图中阴影部分所示，
目标函数为，是与直线平行的直线系，
当直线向上平移时，在增大，且过点时达到最大值，
由得，从而。

【点睛】本题考查线性规划的相关性质，能否通过不等式组画出其在平面直角坐标系中表示的区域是解决本题的关键，考查数形结合思想，锻炼了学生的绘图能力，是简单题。

16.在中，为的外心，若，其中.则点的轨迹所对应图形的面积是__________．
【分析】
画出图形，根据余弦定理即可求出cos A，从而得出A，再根据正弦定理即可求出OB，据题意可知，点P的轨迹为以OB，OC为邻边的平行四边形及内部，从而可求出该轨迹所对应图形的面积．
【详解】由余弦定理得，,所以.因此
由题意知，点的轨迹对应图形是边长为的菱形,于是这个菱形的面积是
故答案为：
【点睛】考查正弦定理及余弦定理，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，考查三角形外心的应用，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等比数列满足：
（Ⅰ）求的通项公式及前项和.
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ） ,；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由可得首项和公比，即可写出通项和前n项和;（Ⅱ）写出数列的通项，利用裂项相消求和法可得结果.
【详解】（Ⅰ）由题可知，解得，即.所以的通项公式.前项和.
（Ⅱ）. 所以数列的前项和
.
裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
18.如图所示，在三棱柱中，平面是线段上的动点，是线段
上的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，且直线所成角的余弦值为，试指出点在线段上的位置，并求三棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据棱柱为直棱柱可得平面平面BC，由D为BC中点，得AD垂直BC，由面面垂直的性质定理可得，从而得到证明；（Ⅱ）由直线所成角得，可得长度，从而看确定点E的位置，然后利用可求得所求体积.
【详解】（Ⅰ）因为，所以平面ABC.
而平面BC,所以平面平面BC.
因为线段的中点为，且是等腰三角形，所以
而平面ABC, 平面ABC平面BC=BC,
所以.又因为，所以
（Ⅱ），则.，即.又，所以，故，所以是直角三角形.
在三棱柱中，，直线所成角的余弦为，
在中，，所以.因为，
所以点是线段的靠近点的三等分点.
因为
所以.
【点睛】本题考查面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，利用等体积转化求解体积是常用方法.
19.我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务和责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准，为此，对全市家庭日常用水的情况进行抽样调查，并获得了个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表所示.
（Ⅰ）分别求出的值；
（Ⅱ）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭平均用水量；
（Ⅲ）从样本中年用水量在（单位：立方米）的个家庭中任选个，作进一步跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（个家庭的年用水量都不相等）.
【答案】（Ⅰ）n=200，a=0.0025，b=0.0125；（Ⅱ）27.25；（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用频率等于频数比总数，即可求出n,a,b的值；（Ⅱ）利用每个矩形的底边的中点横坐标与对应的小矩形的面积的乘积，然后作和，即可估计平均用水量；（Ⅲ）
利用列举法列举出基本事件的总数，从中找到符合条件的基本事件数，利用古典概型概率公式计算．
【详解】（Ⅰ）用水量在内的频数是，频率是，则.
用水量在内的频率是，则.
用水量在内的频率是，则.
（Ⅱ）估计全市家庭年均用水量为
（Ⅲ）设代表年用水量从多到少的个家庭，从中任选个，总的基本事件为
共个,其中包含的有共个.所以. 即年用水量最
多的家庭被选中的概率是.
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查古典概型概率的求法，利用频率分布直方图求众数、中位数与
平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布
直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
20.如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，离心率，长轴与短轴的长度之和为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取点（与两点不重合），直线交轴于点，直线交轴于点，证明：为定值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意，2a+2b＝10，结合解得a＝3，b＝2，即得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），直线P A交y轴于点C（0，y1），直线PB交y轴于点D（0，y2），求得直线P A，PB的方程，分别求出y1，y2，再根据向量的数量积即可证明.
【详解】（Ⅰ）由题可知，，又解得.故椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）解法1：设，直线交轴于点，直线交轴于点.则，即.易知同向，故.
因为，，所以得直线的方程为，令，则；直线的方程为，令，则,
所以，为定值.
解法2：的左、右顶点分别为、，则有
由（Ⅰ）知，设直线、的斜率分别为，则.
直线的方程为，令得；直线的方程为
令得.所以.
解法3：的左、右顶点分别为、，则
如题图所示，
.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，注意运用直线与曲线联立求交点，考查向量的数量积的坐标表示和化简整理的运算能力，属于中档题．
21.设函数，其中.函数的图像在点处的切线与函数
的图像在点处的切线互相垂直.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求f（x）的导函数，代入g（x），对函数g（x）求导，结合函数f（x）的图象在点A处的切线与g（x）的图象在点B处的切线互相垂直列式求t值；（Ⅱ）设函数F（x）＝kg（x）﹣2f（x）＝2ke x（x+1）﹣2x2﹣8x﹣4，（x≥﹣2），求其导函数，分类求得函数最小值，可得k的取值范围．
【详解】（Ⅰ）由得，.
于是，所以.
函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线互相垂直，所以
，即
（Ⅱ），.
设函数=（），
则=.
由题设可知，即.令得，.
（1）若，则，此时，，，
，即在单调递减，在单调递增，所以在取
最小值.
而
当时,，即恒成立.
②若则，此时
在单调递增，而，
当时,，即恒成立.
③若则，此时.
当时，不能恒成立.
综上所述，的取值范围是
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．
请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆的方程为被圆截得的弦长为.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，且，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先将圆C的方程化成直角坐标方程，直线l化成普通方程，再由圆心到直线的距离以及勾股定理列式可得；（Ⅱ）联立直线l与圆C的方程，根据韦达定理以及参数的几何意义可得．
【详解】（Ⅰ）由得即. 直线的普通方程为，被圆截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即解得.
（Ⅱ）法1：当时，将的参数方程代入圆的直角坐标方程得，
，即，由于，故可设是上述方程的两实根，所以又直线过点，故由上式及的几何意义得，
.
法2：当时点，易知点在直线上. 又，
所以点在圆外.联立消去得，.
不妨设，所以.
【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于基础题.
23.已知.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得f(x)的最小值，得到，然后利用基本不等式进行证明即可.
【详解】（Ⅰ）就是.
（1）当时，，得.
(2)当时，，得，不成立.
（3）当时，，得.
综上可知，不等式的解集是.
（Ⅱ）因为，
所以.
因为，时，，所以，得.
所以.
【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用绝对值三角不等式和基本不等式求最值的应用，属于
基础题.。