2019届高考数学一轮复习 第2单元 函数、导数及其应用测评 理

第二单元函数、导数及其应用
小题必刷卷(二)
1.A[解析] g(1)=a-1,由f[g(1)]=1,得5|a-1|=1,所以|a-1|=0,故a=1.
2.C[解析] 当0<a<1时,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1)=2a,解得a=,此时
f=f(4)=2×(4-1)=6; 当a≥1时,a+1≥2,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),此时方程无解.综上可知,f=6,故选C.
3.C[解析] 由f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(-∞,0)上单调递增,可知f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,∴由f(2|a-1|)>f(-),f(-)=f(),可得2|a-1|<,即
|a-1|<,∴<a<.
4.D[解析] y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D满足题意.
5.D[解析] 因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].
6.B[解析] 不妨令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)-f(2x)=-x,故sgn[g(x)]=sgn(-x),排除A;sgn[f(x)]=sgn(x+1)≠sgn[g(x)],又sgn[g(x)]≠-sgn[f(x)],所以排除C,D.故选B.
7.[-3,1][解析] 令3-2x-x2≥0可得x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,故所求函数的定义域为[-3,1].
8.6[解析] 由f(x+4)=f(x-2)可知周期T=6,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1),又因为f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.
9.-2[解析] 因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)=f(x+2).
因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),
所以f(1)=f(-1),f(1)=-f(-1),即f(1)=0.
又f=f=-f,f==2,
所以f=-2,从而f+f(1)=-2.
10.1[解析] 由f(-x)=f(x)得-x ln(-x+)=x ln(x+),即
x[ln(x+)+ln(-x+)]=x ln a=0对定义域内的任意x恒成立,因为x不恒为0,所以ln a=0,所以a=1.
11.A[解析] 由题意可知∴即-1<x<0或0<x≤1,选A.
12.A[解析] 选项A,y=ln(x2+1)是偶函数,由复合函数的单调性知在(1,+∞)上单调递增,则A满足条件;选项B,y=cos x是偶函数,在(1,+∞)上不是单调函数,则B不满足条件;选项
C,y=x-ln x在定义域(0,+∞)上为非奇非偶函数,则C不满足条件;选项D,y=是偶函数,由指数函数的单调性知在(1,+∞)上单调递减,则D不满足条件.故选A.
13.A[解析] 根据题意得,当m<1时,m+3=3,得m=0;当m≥1时,m2-2m=3,得m=3或m=-1(舍去).则m的值为0或3,故选A.
14.C[解析] ∵y=f(x+2)为偶函
数,∴f(-x+2)=f(x+2),∴f(3)=f(1),f(π)=f(4-π).∵4-π<1<,当x∈[-2,2]时,f(x)单调递减,∴f(4-π)>f(1)>f(),∴f()<f(3)<f(π),故选C.
15.D[解析] ∵函数f(x)=log2(4x+t)是定义域上的增函数,∴由题意得,若函数为“优美函数”,则f(x)=x有两个不相等的实根,即log2(4x+t)=x,整理得4x+t=2x,∴(2x)2-2x+t=0有两个不相等的实根.∵2x>0,令λ=2x(λ>0),∴λ2-λ+t=0有两个不相等的正实
根,∴解得0<t<,即t∈,故选D.
16.B[解析] 因为f(x2-2x+2)=f((x-1)2+1)≥f(1),所以f(log2a)≤f(x2-2x+2)恒成立,即f(log2a)≤f(1),则f(|log2a|)≤f(1),又因为函数在区间[0,+∞)上单调递增,所以|log2a|
≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2.
17.D[解析] ∵f(x)=3++sin 2x,∴f(-x)=3++sin(-2x)=3--sin
2x,∴f(x)+f(-x)=6①.
又f(x)在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],即无论k取什么样的正实数都应有最大值与最
小值的和是一个确定的值,故可令k=1,由于函数f(x)=3++sin 2x在区间[-1,1]上是增函数,故m+n=f(1)+f(-1),由①知,m+n=f(1)+f(-1)=6.故选D.
18.-8[解析] 由f(x)为奇函数可知f(0)=1-a=0,得a=1.所以f(-2)=-f(2)=-(32-1)=-8.
19.∪[1,+∞)[解析] ∵f(x)=∴f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函
数.∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,则不等式f(3a-1)≥8f(a)等价为f(|3a-1|)≥
f(2|a|),∴|3a-1|≥2|a|,解得a∈∪[1,+∞).
20.9[解析] 由奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2+x)+f(2-x)=0,可得
f(x+2)=f(x-2),∴函数的周期T=4,且对任意x∈R都有f(-x)=-f(x),则f(0)=0.由
f(x+2)=f(x-2),令x=0,可得
f(2)=0,∴f(2016)+f(2017)+f(2018)=f(0)+f(1)+f(2)=f(1)=9.
小题必刷卷(三)
1.D[解析]
a-b=log36-log510=(1+log32)-(1+log52)=log32-log52>0,b-c=log510-log714=(1+log52)-(1+l og72)=2>0,所以a>b>c,选D.
2.A[解析] 因为f(-x)=3-x-=-3x=-3x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.又因为
y=3x为增函数,y=为减函数,所以f(x)=3x-为增函数.故选A.
3.B[解析] 由题意得解之得
∴p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,即当t=3.75时,p有最大值.
4.D[解析] 易知该函数为偶函数,只要考虑当x≥0时的情况即可,此时y=f(x)=2x2-e x,则f'(x)=4x-e x,f'(0)<0,f'(1)>0,f'(x)在(0,1)上存在零点,即f(x)在(0,1)上存在极值,据此可知,只可能为选项B,D中的图像.当x=2时,y=8-e2<1,故选D.
5.B[解析] 应用排除法.当m=时,画出y=(x-1)2与y=+的图像,由图可知,两函数
的图像在[0,1]上无交点,排除C,D;当m=3时,画出y=(3x-1)2与y=+3的图像,由图可知,两函数的图像在[0,1]上恰有一个交点.故选B.
6.C[解析] 由y=log a(x+1)+1在[0,+∞)上单调递减,得0<a<1.又由f(x)在R上单调递减,
得⇒≤a≤.由y=|f(x)|与y=2-x的图像(图略)可知,在区间[0,+∞)上,方程|f(x)|=2-x有且仅有一个解,故在区间(-∞,0)上,方程|f(x)|=2-x同样
有且仅有一个解.当3a>2,即a>时,由|x2+(4a-3)x+3a|=2-x,得x2+(4a-2)x+3a-2=0,则
Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得a=或a=1(舍);当1≤3a≤2时,由图像可知,符合条件.综上,a
∈,∪.
7.B[解析] 由题意,得f(x)=x2+ax+b=x+2+b-.因此函数f(x)的图像的对称轴为直线x=-.当-≤0,即a≥0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,所以函数f(x)的最大值
M=f(1)=1+a+b,最小值m=f(0)=b,所以M-m=1+a;当-≥1,即a≤-2时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以函数f(x)的最大值M=f(0)=b,最小值m=f(1)=1+a+b,所以M-m=-1-a;当
0<-≤,即-1≤a<0时,函数f(x)在[0,1]上的最小值m=f=b-,最大值M=f(1)=1+a+b,所以M-m=1+a+;当<-<1,即-2<a<-1时,函数f(x)在[0,1]上的最小值m=f=b-,最大值M=f(0)=b,所以M-m=.结合各选项,可得B正确,A,C,D错误.因此选B.
8.[解析] 2a===,则2a+2-a=+=.
9.(-∞,0)∪(1,+∞)[解析] 令φ(x)=x3(x≤a),h(x)=x2(x>a),函数g(x)=f(x)-b有两个零点,即函数y=f(x)的图像与直线y=b有两个交点.结合图像,当a<0时,存在实数b使
h(x)=x2(x>a)的图像与直线y=b有两个交点;当a≥0时,必须满足φ(a)>h(a),即a3>a2,解得a>1.
综上得a∈(-∞,0)∪(1,+∞).
10.[解析] f(x)=
f(x)+f>1,即f>1-f(x),
由图像变换可画出y=f与y=1-f(x)的大致图像如图所示:
易得两图像的交点为,则由图可知,满足f>1-f的x的取值范围为.
11.B[解析] ∵f(x)=x2+(2a-1)x+b是偶函
数,∴f(-x)=x2-(2a-1)x+b=x2+(2a-1)x+b,∴2a-1=0,解得a=.要使函数g(x)=有意
义,则log a x-1≥0,即lo x-1≥0,∴lo x≥1,解得0<x≤,即所求函数的定义域为0,,故选B.
12.C[解析] 易知函数f(x)=ln x-在其定义域上单调递增且连续,又f(2)=ln
2-1<0,f(3)=ln 3->0,故f(2)·f(3)<0,则x0所在的区间是(2,3).
13.B[解析] 当x<0时,函数f(x)=+ln(-x),易知函数f(x)单调递减,排除C,D;当x>0时,函数f(x)=+ln x,此时f(1)=+ln 1=1,故可排除A.故选B.
14.A[解析] 根据题意知f(-x)=e-|-x|=e-|x|=f(x),则f(x)为偶函数,又f(x)=e-|x|=
则函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,而|log0.53|=log23,又log25>log23>0,即log25>|log0.53|>0,则有b<a<c.
15.C[解析] 当t=50时,有a=a·e-50k,即=(e-k)50,得e-k=,所以当V=a时,a=a·e-kt,
即=(e-k)t=,得=,所以t=75,故选C.
16.D[解析] 函数f(x)的图像如图所示,由题知该图像与直线y=k只有一个公共点,故k的取值范围为(-∞,0)∪.
17.A[解析] 作出函数f(x)的图像,如图所示.设m=f(x),则m≥1时,m=f(x)有两个根,当m<1时,m=f(x)有一个根.关于x的方程[f(x)]2+f(x)+t=0有三个不同的实根等价于m2+m+t=0有两个不同的实数根,且m≥1或m<1.当m=1时,t=-2,此时由m2+m-2=0解得m=1或m=-2,满足f(x)=1有两个根,f(x)=-2有一个根,符合题意;当m≠1时,设h(m)=m2+m+t,则h(1)<0即可,即1+1+t<0,解得t<-2.综上可知,t的取值范围为t≤-2,故选A.
18.B[解析] 由题设知3a=⇒a=-1,故g(x)=(2x-1)x-1=2-,又g(x)在,2上单调递增,
所以当x=时,g(x)取得最小值g=2-2=0,故选B.
19.2[解析] 在同一直角坐标系中画出函数f(x)=2ln x与函数g(x)=x2-4x+5的图像,如图所示.因为f(2)=2ln 2>g(2)=1,所以f(x)与g(x)的图像的交点个数为2.
20.3[解析] 由f(-x)=f(x),得f(x)为偶函数.由f(2-x)=f(x),得f(x+2)=f(-x),得
f(x)=f(x+2),故f(x)是以2为周期的周期函数.由f(2-x)=f(x)得,函数f(x)的图像关于直线x=1对称.函数y=是最小正周期为1的偶函数,在同一坐标系中画出函数
y=f(x),y=的图像,可知在区间上,两函数图像共有五个交点,即函数g(x)有五个零点,按从小到大的顺序依次设为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2=0,x3+x5=2,x4=1,所以函数g(x)
在区间上的所有零点的和为3.
小题必刷卷(四)
1.D[解析] y'=a-,根据已知得,当x=0时,y'=2,代入解得a=3.
2.A[解析] 由函数图像上两点处的切线互相垂直,可知函数在这两点处的导数之积为-1,经检验,选项A符合题意.
3.C[解析] 当a=0时,f(x)=-3x2+1,存在两个零点,不符合题意,故a≠0.
由f'(x)=3ax2-6x=0,得x=0或x=.
若a<0,则函数f(x)的极大值点为x=0,且f(x)极大值=f(0)=1,极小值点为x=,且f(x)极小值
=f=,此时只需>0,即可解得a<-2;
若a>0,则f(x)极大值=f(0)=1>0,此时函数f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意.
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-2).
4.B[解析] 因为y=e x和y=ln(2x)互为反函数,图像关于直线y=x对称,所以当曲线y=e x 和y=ln(2x)的切线的斜率都为1时,两条切线间的距离即为|PQ|的最小值.令y'=e x=1,得x=ln 2.所以y=e x的斜率为1的切线的切点是(ln 2,1),所以切点(ln 2,1)到直线y=x的距
离d==.所以|PQ|min=2d=2×=(1-ln 2).故选B.
5.A[解析] 不妨设P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中0<x1<1<x2.由l1,l2分别是点P1,P2处的切线,且f'(x)=得l1的斜率k1=-,l2的斜率k2=.又l1与l2垂直,且0<x1<x2,所以k1·k2=-·=-1⇒x1·x2=1,
l1:y=-(x-x1)-ln x1①,
l2:y=(x-x2)+ln x2②,
则点A的坐标为(0,1-ln x1),点B的坐标为(0,-1+ln x2),由此可得|AB|=2-ln x1-ln
x2=2-ln(x1·x2)=2.联立①②两式可解得交点P的横坐标x P==,所以S△
PAB=|AB|·|x P|=×2×=≤1,当且仅当x1=,即x1=1时,等号成立.而0<x1<1,所以0<S△PAB<1,故选A.
6.D[解析] 由导函数y=f'(x)的图像可知,y=f'(x)在x轴的负半轴上有一个零点(不妨设为x1),并且当x<x1时,f'(x)<0,y=f'(x)在x轴的正半轴上有两个零点(从左到右依次设为x2,x3),且当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,当x∈(x2,x3)时,f'(x)<0,当x>x3时,f'(x)>0.因此函数f(x)在x=x1处取得极小值,在x=x2处取得极大值,在x=x3处取得极小值.由此对照四个选项中的图像,选项A中,在x=x1处取得极大值,不符合题意;选项B中,极大值点小于0,也不符合题意;选项C中在x=x1处取得极大值,不符合题意;选项D符合题意.因此选D.
7.A[解析] f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f'(-2)=0,所以4-2(a+2)+a-1=0,解得a=-1,此时f'(x)=(x2+x-2)e x-1.由f'(x)=0,解得x=-2或x=1,且当-2<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,故x=1为f(x)的极小值点,所以f(x)的极小值为f(1)=-1.
8.y=x+1[解析] 对y=x2+求导得y'=2x-,当x=1时,y'=2×1-1=1,所以曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即y=x+1.
9.1.2[解析] 以梯形的底边为x轴,底边的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设抛物线方程为y=ax2,根据已知点(5,2)在该抛物线上,代入抛物线方程得a=,即抛物线方程为
y=x2,故抛物线与直线y=2所围成的图形的面积为22-x2d x==,梯形的面积为×2=16.最大流量之比等于其截面面积之比,故比值为==1.2.
10.1-ln 2[解析] 曲线y=ln x+2的切线为y=·x+ln x1+1(其中x1为切点横坐标),
曲线y=ln(x+1)的切线为y=·x+ln(x2+1)-(其中x2为切点横坐标).
由题可知
解得∴b=ln x1+1=1-ln 2.
11.D[解析] 因为f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,所以f'(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立.由于0<<1,所以k≥1.即k的取值范围为[1,+∞).
12.C[解析] 函数y=ln x-x的定义域为(0,+∞).又y'=-1=,令y'=0得x=1.当x∈(0,1)
时,y'>0,函数单调递增;当x∈(1,e]时,y'<0,函数单调递减.所以当x=1时,函数取得最大值-1.
13.B[解析] f'=,∵f'=1,即=1,∴a=.故选B.
14.B[解析] 由f(x)=0,得x2-2x=0,即x=0或x=2,∴函数f(x)有两个零点,∴A,C不正确.f'(x)=(x2-2)e x,由f'(x)>0,解得x>或x<-,由f'(x)<0,解得-<x<,即x=-是函数的一个极大值点,∴排除D.故选B.
15.A[解析] 设底面正方形的边长为a(a>0),四棱锥的高为h(h>0),外接球的半径为
R(R>0),∵a2h=9,∴a2=,又∵R2=+(h-R)2,∴R=+.令
f(h)=+,∴f'(h)=-+,可知f(h)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递
增,∴f(h)min=f(3),即当h=3时,R最小,从而其外接球的体积最小.
16.A[解析] f'(x)=e3x+2m e2x+(2m+1)e x,令t=e x>0,则由题意得t2+2mt+2m+1=0有两个不同
的正根,即⇒-<m<1-,选A.
17.D[解析] 函数f(x)=a e x-x-2a的导函数f'(x)=a e x-1,当a≤0时,f'(x)≤0恒成立,函数f(x)在R上单调,不可能有两个零点,不合题意.当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln,函数在
-∞,ln上单调递减,在ln,+∞上单调递增,所以f(x)的最小值为
f=1-ln-2a=1+ln a-2a.令g(a)=1+ln a-2a(a>0),则g'(a)=-2,当a∈0,时,g(a)
单调递增,当a∈,+∞时,g(a)单调递减,∴g(a)max=g=-ln 2<0,∴f(x)的最小值
f<0,又x→-∞时,f(x)>0,x→+∞,f(x)>0,∴函数f(x)=a e x-x-2a有两个零点.综上,实数a的取值范围是(0,+∞).
18.2[解析] y=x2-3ln x的导数为y'=2x-(x>0),由直线y=-x+m是曲线y=x2-3ln x的一
条切线,可知2x-=-1有解,所以x=1,所以切点坐标为(1,1),因为切点在直线上,所以
m=1+1=2.
19.2x+y-1=0[解析] ∵y'=-3,∴切线的斜率k=-3=-2,∴切线方程为
y-3=-2(x+1),即2x+y-1=0.
20.[解析] 由定积分的几何意义可知d x表示的是半径为1的半圆的面积,即
d x=,又函数f(x)=sin x是奇函数,所以sin x d x=0,由定积分的性质可得
(+sin x)d x=.
解答必刷卷(一)
1.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
①若a≤0,因为f=-+a ln 2<0,所以不满足题意.
②若a>0,由f'(x)=1-=知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以
f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)上的唯一极小值点.
由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0,
故a=1.
(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.
令x=1+,得ln<,从而
ln+ln+…+ln<++…+=1-<1.
故…<e.
而>2,所以m的最小值为3.
2.解:(1)f'(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).
(i)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,f(x)只有一个零点.
(ii)设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.
又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a b2-b>0,
故f(x)存在两个零点.
(iii)设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)单调递增.又当x ≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.
若a<-,则ln(-2a)>1.故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞) 时,f'(x)>0.
因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
(2)证明:不妨设x1<x2.由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.
由于f(2-x2)=-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0,
所以f(2-x2)=-x2-(x2-2).
设g(x)=-x e2-x-(x-2)e x,
则g'(x)=(x-1)(e2-x-e x).
所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0,
从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.
3.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞).
f'(x)=≥0,
当且仅当x=0时,f'(x)=0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)上单调递增.
因此当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=-1.
所以(x-2)e x>-(x+2),即(x-2)e x+x+2>0.
(2)证明:g'(x)==[f(x)+a].
由(1)知,f(x)+a单调递增,对任意a∈[0,1),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥0,
因此,存在唯一x a∈(0,2],使得f(x a)+a=0,即g'(x a)=0.
当0<x<x a时,f(x)+a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x>x a时,f(x)+a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.
因此g(x)在x=x a处取得最小值,最小值为
g(x a)===,
于是h(a)=.由'=>0(x>0),可知y=(x>0)单调递增,
所以,由x a∈(0,2],得=<h(a)=≤=.
因为y=单调递增,对任意λ∈,,存在唯一的x a∈(0,2],a=-f(x a)∈[0,1),使得
h(a)=λ,所以h(a)的值域是,.
综上,当a∈[0,1)时,g(x)有最小值h(a),h(a)的值域是,.
4.解:(1)∵f(x)=ln x,
∴f'(x)=,则f'(e)=,
∴曲线y=f(x)在点(e,1)处的切线方程为y-1=(x-e),即x-e y=0.
(2)g(x)=(x-1)f'(x)=(x-1)·=1-,
f(x)≥ag(x)在[3,+∞)上恒成立,
即ln x≥a1-在[3,+∞)上恒成立,
即a≤在[3,+∞)上恒成立.
令h(x)=(x≥3),
则h'(x)==.
令t(x)=x-ln x-1,则t'(x)=1-=>0,
∴t(x)在[3,+∞)上单调递增,又t(3)=2-ln 3>0, ∴h'(x)>0在[3,+∞)上恒成立,
∴h(x)min=h(3)=,
∴a≤,
∴实数a的取值范围是-∞,.
5.解:(1)∵g(x)=(3-a)x-(2-a)-2ln x,
∴g'(x)=3-a-,∴g'(1)=1-a,
又g(1)=1,∴1-a==-1,解得a=2.
由g'(x)=3-2-=<0,解得0<x<2,
∴函数g(x)在区间(0,2)上单调递减.
(2)∵f(x)<0在0,上不可能恒成立,
∴要使f(x)在0,上无零点,只需对任意x∈0,,f(x)>0恒成立,
即对任意x∈0,,a>2-恒成立.
令l(x)=2-,x∈0,,
则l'(x)=,
再令m(x)=2ln x+-2,x∈0,,
则m'(x)=<0,
故m(x)在0,上单调递减,于是m(x)>m=2-2ln 2>0,
从而l'(x)>0,于是l(x)在0,上单调递增,
∴l(x)<l=2-4ln 2,
故要使a>2-恒成立,只需a∈[2-4ln 2,+∞).
综上可知,若函数f(x)在0,上无零点,则a的最小值是2-4ln 2.
6.解:(1)f'(x)=-a=a-1=.
当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为[1,+∞);
当a<0时,f(x)的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(0,1].
(2)令F(x)=f(x)+(a+1)x+1-e=a ln x+x+1-e,
则F'(x)=.若-a≤e,即a≥-e,则F(x) 在[e,e2]上是增函数,
则F(x)max=F(e2)=2a+e2-e+1≤0,即a≤,此时无解.
若e<-a≤e2,即-e2≤a<-e,则F(x)在[e,-a]上是减函数,在[-a,e2]上是增函数,
则F(e)=a+1≤0,即a≤-1,且F(e2)=2a+e2-e+1≤0,即a≤,∴-e2≤a≤.若-a>e2,即a<-e2,则F(x)在[e,e2]上是减函数,
则F(x)max=F(e)=a+1≤0,即a≤-1,∴a<-e2.
综上所述,a≤.
(3)证明:令a=1,则f(x)=ln x-x,
由(1)知f(x)在[1,+∞)上单调递减,又f(1)<0,∴ln x<x,
即ln 2<2,ln 3<3,…,ln n<n,
∴ln n!<(n≥2,n∈N*).
小题必刷卷(二)函数概念与函数的性质
题组一真题集训
1.[2014·江西卷]已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=()
A.1
B.2
C.3
D.-1
2.[2017·山东卷]设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=()
A.2
B.4
C.6
D.8
3.[2016·天津卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是()
A.-∞,
B.-∞,∪,+∞
C.,
D.,+∞
4.[2016·全国卷Ⅱ]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()
A.y=x
B.y=lg x
C.y=2x
D.y=
5.[2017·全国卷Ⅰ]函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()
A.[-2,2]
B.[-1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
6.[2015·湖北卷]已知符号函数sgn x=f(x)是R上的增函
数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则()
A.sgn[g(x)]=sgn x
B.sgn[g(x)]=-sgn x
C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]
D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]
7.[2016·江苏卷]函数y=的定义域是.
8.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0] 时,f(x)=6-x,则f(919)= .
9.[2016·四川卷]已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,
则f-+f(1)= .
10.[2015·全国卷Ⅰ]若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a= .
题组二模拟强化
11.[2017·豫北名校联盟联考]函数y=的定义域为()
A.(-1,0)∪(0,1]
B.(-1,1]
C.(-4,-1]
D.(-4,0)∪(0,1]
12.[2017·肇庆三模]下列函数中,既是偶函数,又在(1,+∞)上单调递增的为 ()
A.y=ln(x2+1)
B.y=cos x
C.y=x-ln x
D.y=
13.[2018·运城模拟]已知函数f(x)=若f(m)=3,则m的值为()
A.0或3
B.-1或3
C.0或-1
D.0或-1或3
14.[2017·成都二诊]已知函数f(x)的定义域为R,当x∈[-2,2]时,f(x)单调递减,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论正确的是 ()
A.f(π)<f(3)<f()
B.f(π)<f()<f(3)
C.f()<f(3)<f(π)
D.f()<f(π)<f(3)
15.[2017·四川师大附中二模]设函数f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D(a<b),使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称为“优美函数”.若函数f(x)=log2(4x+t)为“优美函数”,则t的取值范围是 ()
A.B.(0,1)
C.D.
16.[2017·南充一中月考]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,若对于任意x∈R,f(log2a)≤f(x2-2x+2)恒成立,则a的取值范围是()
A.(0,1]
B.
C.(0,2]
D.[2,+∞)
17.[2017·银川二模]若函数f(x)=3++sin 2x在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n等于()
A.0
B.2
C.4
D.6
18.已知奇函数f(x)=则f(-2)的值为.
19.[2017·广州二模]已知函数f(x)=若f(3a-1)≥8f(a),则实数a的取值范围为.
20.[2018·河北武邑中学调研]奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2+x)+f(2-x)=0,且
f(1)=9,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为.
小题必刷卷(三)函数
题组一真题集训
1.[2013·全国卷Ⅱ]设a=log36,b=log510,c=log714,则()
A.c>b>a
B.b>c>a
C.a>c>b
D.a>b>c
2.[2017·北京卷]已知函数f(x)=3x-,则f(x) ()
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
3.[2014·北京卷]加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),图X3-1记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()
图X3-1
A.3.50分钟
B.3.75分钟
C.4.00分钟
D.4.25分钟
4.[2016·全国卷Ⅰ]函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图像大致为()
图X3-2
5.[2017·山东卷]已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y=+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()
A.(0,1]∪[2,+∞)
B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0,]∪[2,+∞)
D.(0,]∪[3,+∞)
6.[2016·天津卷]已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()
A.0,
B.,
C.,∪
D.,∪
7.[2017·浙江卷]若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m
()
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,但与b有关
8.[2015·浙江卷]若a=log43,则2a+2-a= .
9.[2015·湖南卷]已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.
10.[2017·全国卷Ⅲ]设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是.
题组二模拟强化
11.[2018·河北武邑中学调研]已知函数f(x)=x2+(2a-1)x+b是偶函数,那么函数
g(x)=的定义域为()
A.B.C.(0,2] D.[2,+∞)
12.[2017·汕头潮南区模拟]已知函数f(x)=ln x-的零点为x0,则x0所在的区间是
()
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
13.[2017·衡阳二模]函数f(x)=+ln|x|的图像大致为()
图X3-3
14.[2017·江西八校联考]已知定义在R上的函数f(x)=e-|x|,记
a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(0),则a,b,c的大小关系为()
A.b<a<c
B.c<a<b
C.a<c<b
D.c<b<a
15.衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发,从而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体
积V与天数t的关系式为V=a·e-kt,若新丸经过50天后体积变为a,则一个新丸体积变为a 需经过的天数为()
A.125
B.100
C.75
D.50
16.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点,则k的取值范围是
()
A.B.(-∞,0)∪
C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪
17.已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+f(x)+t=0有三个不同的实根,则t 的取值范围为()
A.(-∞,2]
B.[1,+∞)
C.[-2,1]
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
18.[2018·茂名联考]已知幂函数f(x)=x a的图像过点3,,则函数g(x)=(2x-1)f(x)在区
间,2上的最小值是()
A.-1
B.0
C.-2
D.
19.函数f(x)=2ln x的图像与函数g(x)=x2-4x+5的图像的交点个数为.
20.设函数f的定义域为R, 且f=f,f=f,当x∈时,f=x3,则函数
g=-f在区间上的所有零点的和为.
小题必刷卷(四)导数及其应用
题组一真题集训
1.[2014·全国卷Ⅱ]设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()
A.0
B.1
C.2
D.3
2.[2016·山东卷]若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()
A.y=sin x
B.y=ln x
C.y=e x
D.y=x3
3.[2014·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-∞,-1)
4.[2012·全国卷]设点P在曲线y=e x上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为
()
A.1-ln 2
B.(1-ln 2)
C.1+ln 2
D.(1+ln 2)
5.[2016·四川卷]设直线l1,l2分别是函数f(x)=图像上点P1,P2处的切线,l1
与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是()
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
6.[2017·浙江卷]函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图X4-1所示,则函数y=f(x)的图像可能是()
图X4-1
图X4-2
7.[2017·全国卷Ⅱ]若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e x-1的极值点,则f(x)的极小值为
()
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
8.[2017·全国卷Ⅰ]曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.
9.[2015·陕西卷]如图X4-3,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.
图X4-3
10.[2016·全国卷Ⅱ]若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
题组二模拟强化
11.[2017·兰州诊断]若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是
()
A.(-∞,-2]
B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
12.函数y=ln x-x在(0,e]上的最大值为 ()
A.e
B.1
C.-1
D.-e
13.[2017·安徽百校论坛联考]已知函数f=的图像在点(1,f(1))处切线的斜率为1,则实数a的值为()
A.-
B.
C. D.-
14.[2017·韶关二模]函数f(x)=(x2-2x)e x的图像大致是()
图X4-4
15.若一个四棱锥的底面为正方形,顶点在底面上的正投影为正方形的中心,且该四棱锥的体积为9,当其外接球的体积最小时,它的高为()
A. 3
B.2
C. 2
D. 3
16.[2017·成都七中月考]若函数f(x)=e3x+m e2x+(2m+1)e x+1有两个极值点,则实数m的取值范围是()
A.B.
C.(-∞,1-)
D.(-∞,1-)∪(1+,+∞)
17.[2017·武汉调研]若函数f(x)=a e x-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是()
A.B.
C.(-∞,0)
D.(0,+∞)
18.[2017·肇庆三模]已知直线y=-x+m是曲线y=x2-3ln x的一条切线,则m的值
为.
19.[2017·佛山二模]曲线y=ln(x+2)-3x在点(-1,3)处的切线方程为.
20.[2017·太原三模](+sin x)d x= .
解答必刷卷 (一)函数与导数
题组一真题集训
1.[2017·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)=x-1-a ln x.
(1)若f(x)≥0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,…<m,求m的最小值.
2.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
3.[2016·全国卷Ⅱ] (1)讨论函数f(x)=e x的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e x+x+2>0.
(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.
题组二模拟强化
4.[2017·衡阳八中、长郡中学等十三校二模]已知函数f(x)=ln x,g(x)=(x-1)f'(x),其中f'(x)是f(x)的导函数.
(1)求曲线y=f(x)在点(e,1)处的切线方程;
(2)若f(x)≥ag(x)在[3,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
5.[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考]已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x(a∈R).
(1)设函数g(x)=f(x)+x,若曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线过点(0,2),求函数g(x)的单调递减区间;
(2)若函数f(x)在0,上无零点,求a的最小值.
6.[2017·海口一中月考]已知函数f(x)=a ln x-ax(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+(a+1)x+1-e≤0对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围;
(3)求证:ln n!<(n≥2,n∈N*).。