第二节不确定度
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N N N (单位)
注意：1、一定不要忘记写单位，否则就不 是物理量了。 2、不确定度的数字只取一位或两位。 3、对齐，既测量平均值（单次测量 是测量值）的最后一位应与不确定度 最后一位对齐。
七、传递公式的应用
(1)常用的不确定度合成公式为
uA2 u2仪 u2估
(2)对任何一个直接测量原则上都必须先算出它的统
计 按不“确方定 和度 根”u的A和方两式个合非成统为计合不成确不定确度定分度量 uB后，
(3)如果统计不确定度 u A 小于u仪或 u估 的1/3，测
量就可以简化为单次测量，合成不确定度的计算公
二、不确定度的分类: A、B类
1、A类不确定度 uA：
可以通过统计方法来计算(如偶然误差)
uA
u
2 A1
u A2 2
u A32
...
u
2 Am
通常最主要的A类不确定度分量是平均值的标 准偏差，本教材只考虑这一个分量，即
uA SN
2、B类不确定度 u B ：
不能用统计方法只能用其他方法估算 (如仪器误差、估读误差)
3.不确定度计算的简化-微小误差舍去原则
其中任一项小于另一项的1/3时→平方小于1/10→舍去。 复杂运算时很有用
五、总不确定度
合成不确定度乘上一个系数C后，其结果就 称为总不确定度，它用U表示，即
U C
式中，C为置信因子。对于误差服从正态分布的测量， 一般C取1，2或3，它们对应的置信概率分别为0.683， 0.954，0.997。在不确定度分析时一般都取C为1，便于分 析和计算（因为所有不确定度分量都是在置信概率为0.683 的前提下计算出来的）
非连续可读仪器
数字秒表:最小分度=0.01s
仪 0.01s
20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm
仪 0.05mm
分光计:最小分度=1‘
数字电表是非连续读数仪器
仪器误差估计为最小分度：
Δ仪I=0.001A Δ仪V=0.1V Δ仪f=1Hz
D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时
非连续可读仪器
解： （ 1 ） 计 算 圆 环 直 径 的 平 均 值 ：
D
1 n
9 i 1
Di
15.272 15.276 15.272 9
15.27（ 2 mm）
（2）由于是多次测量，存在A类不确定度：
uA
D
9
(Di D)2
i 1
n(n 1)
(15.272 15.272)2 (15.276 15.272)2 (15.272 15.272)2 0.00094(mm) 9(9 1)
均匀分布: C 3
j
3
三角分布： C 6
j
6
正态分布：C=3，
j
1 3
2）.仪器误差和平均分布
由于仪器误差大多是均匀分布，为了
简便，计算中统一规定仪器误差都是均匀 分布，所以置信系数C都取为 3 ，得到：
u仪
仪 3
推导过程参考教材14页。
3）.估读误差
由于估读误差有些遵从平均分布，也
四、间接测量的不确定度计算
1.多元函数的全微分
设N为待测物理量，X、Y、Z为直接测量量
N f ( x, y, z...)
全微分后，则有: dN f dx f dy f dz ... x y z
若先取对数再微分，则有: ln N ln f ( x, y,z...)
任何直接测量都存在B类不确定度：
（3）计算仪器误差产生的B类不确定度
u B仪
仪 3
0.01 0.005（8 mm） 3
（4）计算估读误差产生的B类不确定度
因最小刻度为0.01mm，所以 估 0.01*0.2 0.002m 0.001（2 mm）
例如国标二级钢卷尺的最大误差
卷尺 （0.2 L 0.3）mm
教材P.16第三行错， 应为0.7mm
钢卷尺全部按国家标 准制造，仪器误差与 测量长度有关
测量值
约0.5m 约1.5m
约5m
Δ卷尺
0.4mm 0.6mm 1.3mm
又如某3½位数字万用表直流电压档的最大误差：0.5% *V+ 2个字
A类不确定度分量 uA1,uA2 ,.....,uAi ,......,uAm
B类不确定度分量 uB1,uB2 ,.......,uBj ,......,uBn
对于任何一次直接测量量，都要必须算出 u A
和 uB，按“方和根”的方式合成不确定度。
m
n
u
A
2 i
u
2 Bj
i 1
j 1
式也就简化为
u2 仪
u2估
(4)如果单次测量时没有估读误差的影响，则有
u仪
用仪器误差为0.01mm的螺旋测微计测一圆
环的直径D，其数据如下（单位mm）： 15.272；15.276；15.268；15.274；15.270；15.274； 15.268；15.274；15.272 . 求测量值D的合成不确定度。
2 x
f y
2
2 y
f z
2
2 z
......
此公式适合于间接测量量与直接测量量是和差形式。
N
ln f x
2
x2
ln y
f
2
y
2
ln z
f
2
z2
......
此公式适合于间接测量量与直接测量量是积商形 式的函数关系。此式既是相对不确定度的传播公式。
第二节 实验不确定度
一、不确定度的概念：
由于误差的存在而被测量值不能确 定的程度，是被测量真值在某个量值范 围内的评定。
不确定度用σ 表示
误差以一定的概率被包含在量值范围 ( ~ )中 真值以一定的概率被包含在量值范围 (N ) (N )中
的大小反映测量结果与真值之间的靠近程度。
六、测量结果表达式：
N N N (单位) P 0.683
物理意义是：真值在 (N N ) ~ (N N )范围内 的概率是0.683。
N N 2 N (单位) P 0.954
N N 3 N (单位) P 0.997
约定：C取1时，p不书写，物理实验报告写成：
1V
（50/60Hz）
直流 2000uA 电流 …… ADC 10A
1uA …… 10mA
±(1.0%读数+10个字） ……
±(2.0%读数+10个字）
…… ……
……
……
电压 （0.8% 408 2个字）V
（3.264 2）V 5.3V
查移轴显微镜的说明 书得到仪器误差也是
查螺旋测微仪的说明 书得到仪器误差就是
电流表（0.5级）
仪 30 0.5% 0.2(mA)
电压表（0.1级）
仪 7.5 0.1% 0.008(V )
电阻箱（读数为2700 ）
B.由仪器的准确度等级计算
电流表（0.5级）
仪 30 0.5% 0.15(mA)
电压表（0.1级）
仪 7.5 0.1% 0.0075(V )
dN ln f dx ln f dy ln f dz ...
N x
y
z
2.间接测量的不确定度由传播公式计算
dN, dxx, dyy, dzz,…...
f x
2
2 x
f y
2
2 y
f z
（5）圆环直径的合成不确定度:
D
u2 AD
u
2 B仪
u
2 B
估
0.000942 0.00582 0.00122 0.005（8 mm）
单次测量的问题
• （1）适用于数据波动小（A类不确定度小） 的测量；仪器误差必须按经验放大。
• （2）有些单次测量其实是多次测量。 • （3）实际生产实践中单次测量广泛应用。
朔料直尺：最小分度为1mm
仪 0.5mm
数
仪
显
器
秒 非连续可读仪器 表
误 差
是
数字秒表:最小分度=0.01s
估
非
计
连
为
续
最
可
小
读
分
数 仪器误差：0.01秒 度
装
0.01
置
秒
非连续可读仪器
数字秒表:最小分度=0.01s
仪 0.01s
20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm
分光仪用游标装置测角度
有些遵从正态分布和其它分布，本课程
统一约定为遵从平均分布，也用近似标
准差估算估读误差的B类不确定度
u估
估 3
估读误差：0.002mm
4）仪器误差 仪的确定：
仪器误差： 在规定使用条件下，正确使用仪器时，仪器的示值 与被测量值的真值之间可能产生的最大误差。
A.由仪器的准确度表示-由仪器直接标出
DT920万用表说明书规格表如下：
功能 量程 分辨率
精度（Δ仪）
直流 电压 VDC
200mV 2000mV
20V
200V 600V
0.1mV 1mV 0.01V
0.1V 1V
±(0.5%读数+2个字） ±(0.8%读数+2个字）
交流 电压 VAC
200V 600V
0.1V ±(1.2%读数+10个字）
电阻箱（读数为2700 ）
仪 2700 0.1% 2.7()
C.仪器上未注明，但隐含或在使用说明书中说明 仪器精确度或仪器误差及计算方法。
（1）钢直尺没有注明仪器误差 直尺 0.15mm
（2）仪器说明书中最大误差一般表示成：
N m% n
式中N是测量值（不是量程），m%为相对误差系数， n是绝对误差项，m和n在仪器说明书中都会给出。对于 多量程仪表，m一般是定值，而n与量程有关。
1)A类不确定度的计算：
贝塞尔法 最大残差法 最大误差法 极差法
三、直接测量不确定度的计算
1、A类不确定度的计算：
N–的不确定度
uA
n
(Ni N )2
i1
n(n 1)
2、B类不确定度的估计:
1）.估计方法
一般采用等价标准差( j )的方法计算。 C j 为误差极限值，C为置信系数。
4）仪器误差 仪的确定：
A.由仪器的准确度表示-由仪器直接标出 B.由仪器的准确度级别来计算
最大误差仪 满量程 级别%
B.由仪器的准确度等级计算 电流表（0.5级）
B.由仪器的准确度等级计算 电流表（0.5级）
仪 30 0.5% 0.2(mA)
电压表（0.1级）
B.由仪器的准确度等级计算
2
2 z
......
(1)
N
ln f x
2
x
2
ln y
f
2
y 2
ln f z
2
z
2
......
(2)
其中f为间接测量量N与直接测量量x、y、 z……之间的函数关系。
f x
2
D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时
(1)连续可读仪器 最小分度的一半 如朔料直尺等
(2)非连续可读仪器 最小分度 如游标类、数字式仪表等
塑料直尺是连续可读数装置， C.未给出仪仪器器误误差差估时计为最小分度的一半
连续可读仪器 朔料直尺：最小分度为1mm
仪器误差：0.5mm
D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时 连续可读仪器
5）估读误差Δ 估的确定
估读误差与人眼的分辨能力、刻度间隔、测量者的 经验、实验条件等多种因素有关。
A.测量条件达到仪器规 定要求时： a.可连续读数仪器： Δ估=最小刻度×0.2 b.不可连续读数仪器：
没有估读误差
B.测量条件达不到仪器规定要求时：
根据经验确定估读误差， Δ估可能比Δ仪大的多！
3 合成不确定度
数字秒表:最小分度=0.01s
仪 0.01s
20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm 仪 0.05mm
分光计:最小分度=1‘
仪 1'
D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时
(1)连续可读仪器 最小分度的一半 如朔料米尺等
(2)非连续可读仪器 最小分度 如游标类、数字式仪表等
C .单次测量具有测量效率高，数据处理简单的优 点，在实验测量中也经常用到，但单次测量可靠性 较低，一般应根据经验将仪器误差加以放大。
uB
u
2 B1
uB22
u
2 B3
...
u Bn 2
通常仪器误差 仪和估读误差 估是引起B类
不确定度的主要因素，因此本教材只考虑仪器误
差不确定度 uB1 u仪 和估读误差不确定度 uB2 u估
两个B类不确定度分量，即
uB
u2 仪
u2估
A类
B类
B类
三、直接测量不确定度的计算
注意：1、一定不要忘记写单位，否则就不 是物理量了。 2、不确定度的数字只取一位或两位。 3、对齐，既测量平均值（单次测量 是测量值）的最后一位应与不确定度 最后一位对齐。
七、传递公式的应用
(1)常用的不确定度合成公式为
uA2 u2仪 u2估
(2)对任何一个直接测量原则上都必须先算出它的统
计 按不“确方定 和度 根”u的A和方两式个合非成统为计合不成确不定确度定分度量 uB后，
(3)如果统计不确定度 u A 小于u仪或 u估 的1/3，测
量就可以简化为单次测量，合成不确定度的计算公
二、不确定度的分类: A、B类
1、A类不确定度 uA：
可以通过统计方法来计算(如偶然误差)
uA
u
2 A1
u A2 2
u A32
...
u
2 Am
通常最主要的A类不确定度分量是平均值的标 准偏差，本教材只考虑这一个分量，即
uA SN
2、B类不确定度 u B ：
不能用统计方法只能用其他方法估算 (如仪器误差、估读误差)
3.不确定度计算的简化-微小误差舍去原则
其中任一项小于另一项的1/3时→平方小于1/10→舍去。 复杂运算时很有用
五、总不确定度
合成不确定度乘上一个系数C后，其结果就 称为总不确定度，它用U表示，即
U C
式中，C为置信因子。对于误差服从正态分布的测量， 一般C取1，2或3，它们对应的置信概率分别为0.683， 0.954，0.997。在不确定度分析时一般都取C为1，便于分 析和计算（因为所有不确定度分量都是在置信概率为0.683 的前提下计算出来的）
非连续可读仪器
数字秒表:最小分度=0.01s
仪 0.01s
20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm
仪 0.05mm
分光计:最小分度=1‘
数字电表是非连续读数仪器
仪器误差估计为最小分度：
Δ仪I=0.001A Δ仪V=0.1V Δ仪f=1Hz
D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时
非连续可读仪器
解： （ 1 ） 计 算 圆 环 直 径 的 平 均 值 ：
D
1 n
9 i 1
Di
15.272 15.276 15.272 9
15.27（ 2 mm）
（2）由于是多次测量，存在A类不确定度：
uA
D
9
(Di D)2
i 1
n(n 1)
(15.272 15.272)2 (15.276 15.272)2 (15.272 15.272)2 0.00094(mm) 9(9 1)
均匀分布: C 3
j
3
三角分布： C 6
j
6
正态分布：C=3，
j
1 3
2）.仪器误差和平均分布
由于仪器误差大多是均匀分布，为了
简便，计算中统一规定仪器误差都是均匀 分布，所以置信系数C都取为 3 ，得到：
u仪
仪 3
推导过程参考教材14页。
3）.估读误差
由于估读误差有些遵从平均分布，也
四、间接测量的不确定度计算
1.多元函数的全微分
设N为待测物理量，X、Y、Z为直接测量量
N f ( x, y, z...)
全微分后，则有: dN f dx f dy f dz ... x y z
若先取对数再微分，则有: ln N ln f ( x, y,z...)
任何直接测量都存在B类不确定度：
（3）计算仪器误差产生的B类不确定度
u B仪
仪 3
0.01 0.005（8 mm） 3
（4）计算估读误差产生的B类不确定度
因最小刻度为0.01mm，所以 估 0.01*0.2 0.002m 0.001（2 mm）
例如国标二级钢卷尺的最大误差
卷尺 （0.2 L 0.3）mm
教材P.16第三行错， 应为0.7mm
钢卷尺全部按国家标 准制造，仪器误差与 测量长度有关
测量值
约0.5m 约1.5m
约5m
Δ卷尺
0.4mm 0.6mm 1.3mm
又如某3½位数字万用表直流电压档的最大误差：0.5% *V+ 2个字
A类不确定度分量 uA1,uA2 ,.....,uAi ,......,uAm
B类不确定度分量 uB1,uB2 ,.......,uBj ,......,uBn
对于任何一次直接测量量，都要必须算出 u A
和 uB，按“方和根”的方式合成不确定度。
m
n
u
A
2 i
u
2 Bj
i 1
j 1
式也就简化为
u2 仪
u2估
(4)如果单次测量时没有估读误差的影响，则有
u仪
用仪器误差为0.01mm的螺旋测微计测一圆
环的直径D，其数据如下（单位mm）： 15.272；15.276；15.268；15.274；15.270；15.274； 15.268；15.274；15.272 . 求测量值D的合成不确定度。
2 x
f y
2
2 y
f z
2
2 z
......
此公式适合于间接测量量与直接测量量是和差形式。
N
ln f x
2
x2
ln y
f
2
y
2
ln z
f
2
z2
......
此公式适合于间接测量量与直接测量量是积商形 式的函数关系。此式既是相对不确定度的传播公式。
第二节 实验不确定度
一、不确定度的概念：
由于误差的存在而被测量值不能确 定的程度，是被测量真值在某个量值范 围内的评定。
不确定度用σ 表示
误差以一定的概率被包含在量值范围 ( ~ )中 真值以一定的概率被包含在量值范围 (N ) (N )中
的大小反映测量结果与真值之间的靠近程度。
六、测量结果表达式：
N N N (单位) P 0.683
物理意义是：真值在 (N N ) ~ (N N )范围内 的概率是0.683。
N N 2 N (单位) P 0.954
N N 3 N (单位) P 0.997
约定：C取1时，p不书写，物理实验报告写成：
1V
（50/60Hz）
直流 2000uA 电流 …… ADC 10A
1uA …… 10mA
±(1.0%读数+10个字） ……
±(2.0%读数+10个字）
…… ……
……
……
电压 （0.8% 408 2个字）V
（3.264 2）V 5.3V
查移轴显微镜的说明 书得到仪器误差也是
查螺旋测微仪的说明 书得到仪器误差就是
电流表（0.5级）
仪 30 0.5% 0.2(mA)
电压表（0.1级）
仪 7.5 0.1% 0.008(V )
电阻箱（读数为2700 ）
B.由仪器的准确度等级计算
电流表（0.5级）
仪 30 0.5% 0.15(mA)
电压表（0.1级）
仪 7.5 0.1% 0.0075(V )
dN ln f dx ln f dy ln f dz ...
N x
y
z
2.间接测量的不确定度由传播公式计算
dN, dxx, dyy, dzz,…...
f x
2
2 x
f y
2
2 y
f z
（5）圆环直径的合成不确定度:
D
u2 AD
u
2 B仪
u
2 B
估
0.000942 0.00582 0.00122 0.005（8 mm）
单次测量的问题
• （1）适用于数据波动小（A类不确定度小） 的测量；仪器误差必须按经验放大。
• （2）有些单次测量其实是多次测量。 • （3）实际生产实践中单次测量广泛应用。
朔料直尺：最小分度为1mm
仪 0.5mm
数
仪
显
器
秒 非连续可读仪器 表
误 差
是
数字秒表:最小分度=0.01s
估
非
计
连
为
续
最
可
小
读
分
数 仪器误差：0.01秒 度
装
0.01
置
秒
非连续可读仪器
数字秒表:最小分度=0.01s
仪 0.01s
20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm
分光仪用游标装置测角度
有些遵从正态分布和其它分布，本课程
统一约定为遵从平均分布，也用近似标
准差估算估读误差的B类不确定度
u估
估 3
估读误差：0.002mm
4）仪器误差 仪的确定：
仪器误差： 在规定使用条件下，正确使用仪器时，仪器的示值 与被测量值的真值之间可能产生的最大误差。
A.由仪器的准确度表示-由仪器直接标出
DT920万用表说明书规格表如下：
功能 量程 分辨率
精度（Δ仪）
直流 电压 VDC
200mV 2000mV
20V
200V 600V
0.1mV 1mV 0.01V
0.1V 1V
±(0.5%读数+2个字） ±(0.8%读数+2个字）
交流 电压 VAC
200V 600V
0.1V ±(1.2%读数+10个字）
电阻箱（读数为2700 ）
仪 2700 0.1% 2.7()
C.仪器上未注明，但隐含或在使用说明书中说明 仪器精确度或仪器误差及计算方法。
（1）钢直尺没有注明仪器误差 直尺 0.15mm
（2）仪器说明书中最大误差一般表示成：
N m% n
式中N是测量值（不是量程），m%为相对误差系数， n是绝对误差项，m和n在仪器说明书中都会给出。对于 多量程仪表，m一般是定值，而n与量程有关。
1)A类不确定度的计算：
贝塞尔法 最大残差法 最大误差法 极差法
三、直接测量不确定度的计算
1、A类不确定度的计算：
N–的不确定度
uA
n
(Ni N )2
i1
n(n 1)
2、B类不确定度的估计:
1）.估计方法
一般采用等价标准差( j )的方法计算。 C j 为误差极限值，C为置信系数。
4）仪器误差 仪的确定：
A.由仪器的准确度表示-由仪器直接标出 B.由仪器的准确度级别来计算
最大误差仪 满量程 级别%
B.由仪器的准确度等级计算 电流表（0.5级）
B.由仪器的准确度等级计算 电流表（0.5级）
仪 30 0.5% 0.2(mA)
电压表（0.1级）
B.由仪器的准确度等级计算
2
2 z
......
(1)
N
ln f x
2
x
2
ln y
f
2
y 2
ln f z
2
z
2
......
(2)
其中f为间接测量量N与直接测量量x、y、 z……之间的函数关系。
f x
2
D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时
(1)连续可读仪器 最小分度的一半 如朔料直尺等
(2)非连续可读仪器 最小分度 如游标类、数字式仪表等
塑料直尺是连续可读数装置， C.未给出仪仪器器误误差差估时计为最小分度的一半
连续可读仪器 朔料直尺：最小分度为1mm
仪器误差：0.5mm
D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时 连续可读仪器
5）估读误差Δ 估的确定
估读误差与人眼的分辨能力、刻度间隔、测量者的 经验、实验条件等多种因素有关。
A.测量条件达到仪器规 定要求时： a.可连续读数仪器： Δ估=最小刻度×0.2 b.不可连续读数仪器：
没有估读误差
B.测量条件达不到仪器规定要求时：
根据经验确定估读误差， Δ估可能比Δ仪大的多！
3 合成不确定度
数字秒表:最小分度=0.01s
仪 0.01s
20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm 仪 0.05mm
分光计:最小分度=1‘
仪 1'
D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时
(1)连续可读仪器 最小分度的一半 如朔料米尺等
(2)非连续可读仪器 最小分度 如游标类、数字式仪表等
C .单次测量具有测量效率高，数据处理简单的优 点，在实验测量中也经常用到，但单次测量可靠性 较低，一般应根据经验将仪器误差加以放大。
uB
u
2 B1
uB22
u
2 B3
...
u Bn 2
通常仪器误差 仪和估读误差 估是引起B类
不确定度的主要因素，因此本教材只考虑仪器误
差不确定度 uB1 u仪 和估读误差不确定度 uB2 u估
两个B类不确定度分量，即
uB
u2 仪
u2估
A类
B类
B类
三、直接测量不确定度的计算