瑞安市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

瑞安市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 若命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，2x 2﹣1＜0
B ．∀x ∈R ，2x 2﹣1≤0
C ．∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0
D ．∃x ∈R ，2x 2﹣1＞0
2． 已知点M 的球坐标为（1，，
），则它的直角坐标为（
）A ．（1，
，
）
B ．（，
，）
C ．（，，）
D ．（
，，
）
3． 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则
，类比这个结论可
知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则r=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 过直线3x ﹣2y+3=0与x+y ﹣4=0的交点，与直线2x+y ﹣1=0平行的直线方程为（ ）
A ．2x+y ﹣5=0
B ．2x ﹣y+1=0
C ．x+2y ﹣7=0
D ．x ﹣2y+5=0
5． 函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，
），使f （sin φ）=f （cos φ），则实
数m 的取值范围是（ ）
A ．（）
B ．（，
]
C ．（
）
D ．（
]
6． 已知f （x ）
=，则f （2016）等于（
）A ．﹣1B ．0
C ．1
D ．2
7． 给出定义：若
（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{x}=m
在此基础上给出下列关于函数f （x ）=|x ﹣{x}|的四个命题：①；②f （3.4）=﹣0.4；
③
；④y=f （x ）的定义域为R ，值域是
；
则其中真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
8． 已知，，(,2)k =-c ，若，则（ ）
(2,1)a =-r (,3)b k =-r (1,2)c =r (2)a b c -⊥r r r ||b =r
A ．
B ．
C ．
D
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．9． 设函数y=sin2x+cos2x 的最小正周期为T ，最大值为A ，则（
）
A ．T=π，
B ．T=π，A=2
C ．T=2π，
D ．T=2π，A=2
10．已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是
（ ）A ．6
B ．0
C ．2
D ．2
11．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ）
A ．a ＜0，△＜0
B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
二、填空题
13．已知函数，则的值是_______，的最小正周期是______.2
2tan ()1tan x f x x =
-(3
f π
()f x 【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．14．给出下列四个命题：
①函数f （x ）=1﹣2sin 2的最小正周期为2π；②“x 2﹣4x ﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；
③命题p ：∃x ∈R ，tanx=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，则命题“p ∧（￢q ）”是假命题；④函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在点（1，f （1））处的切线方程为3x+y ﹣2=0．其中正确命题的序号是 ．
15．如图，在矩形中，，
ABCD AB = ， 在上，若，
3BC =E AC BE AC ⊥ 则的长=____________ED 16．设函数
，若用表示不超过实数m 的最大整数，则函数的值域为 ．
17．已知双曲线
的一条渐近线方程为y=x ，则实数m 等于 ．
18．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是
．
三、解答题
19．已知函数f（x）=alnx﹣x（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a﹣x）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α
20．在等比数列{a n}中，a1a2a3=27，a2+a4=30试求：
（1）a1和公比q；
（2）前6项的和S6．
21．已知cos（+θ）=﹣，＜θ＜，求的值．
22．如图1，圆O 的半径为2，AB ，CE 均为该圆的直径，弦CD 垂直平分半径OA ，垂足为F ，沿直径AB 将半圆ACB 所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）（Ⅰ）求四棱锥C ﹣FDEO 的体积
（Ⅱ）如图2，在劣弧BC 上是否存在一点P （异于B ，C 两点），使得PE ∥平面CDO ？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
23．(本小题满分10分）选修4­4：坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，曲线C 1：（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
{x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α
)
标系，C 2的极坐标方程为ρ＝
.2
sin （θ＋π
4
）
（1）求C 1，C 2的普通方程；
（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面
3π4
积．
24．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P 是图象的最高点，Q 为
图象与x 轴的交点，O 为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=
．
（Ⅰ）求函数y=f （x ）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．
瑞安市第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，
则其否命题为：∃x∈R，2x2﹣1≤0，
故选C；
【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；
2．【答案】B
【解析】解：设点M的直角坐标为（x，y，z），
∵点M的球坐标为（1，，），
∴x=sin cos=，y=sin sin=，z=cos=
∴M的直角坐标为（，，）．
故选：B．
【点评】假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM 所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影．这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，φ，θ的变化范围为r∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，
3．【答案】C
【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R=
故选C．
【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
4．【答案】A
【解析】解：联立，得x=1，y=3，
∴交点为（1，3），
过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，
与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0，
把点（1，3）代入，得：2+3+c=0，
解得c=﹣5，
∴直线方程是：2x+y﹣5=0，
故选：A．
5．【答案】A
【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），
∴函数f（x）关于x=m对称，
若φ∈（，），
则sinφ＞cosφ，
则由f（sinφ）=f（cosφ），
则=m，
即m==（sinφ×+cosαφ）=sin（φ+）
当φ∈（，），则φ+∈（，），
则＜sin（φ+）＜，
则＜m＜，
故选：A
【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．
6．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=，
∴f（2016）=f（2011）=f（2006）=…=f（1）=f（﹣4）=log24=2，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．
7．【答案】B
【解析】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+
∴{﹣}=﹣1
∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=
∴①正确；
②∵3﹣＜3.4≤3+
∴{3.4}=3
∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4
∴②错误；
③∵0﹣＜﹣≤0+
∴{﹣}=0
∴f（﹣）=|﹣﹣0|=，
∵0﹣＜≤0+
∴{}=0
∴f（）=|﹣0|=，
∴f（﹣）=f（）
∴③正确；
④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，]
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．
8．【答案】A
【解析】
9．【答案】B
【解析】解：由三角函数的公式化简可得：
=2（）
=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+），
∴T==π，A=2
故选：B
10．【答案】A
解析：解：由作出可行域如图，
由图可得A（a，﹣a），B（a，a），
由，得a=2．
∴A（2，﹣2），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．
故选：A．
11．【答案】A
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．
12．【答案】A
【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
且△=b 2﹣4ac ＜0，
综上，不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为的条件是：a ＜0且△＜0．故选A ．　
二、填空题
13．【答案】
.
π【解析】∵，∴
，∴的定义域为22tan ()tan 21tan x f x x x ==-2()tan 33f ππ==22
1tan 0
x k x ππ⎧≠+⎪
⎨⎪-≠⎩
()f x ，，将的图象如下图画出，从而
(,)(,
)(,)244
442k
k k k k k π
π
π
πππ
ππππππ-
+-
+-
++++U U k Z ∈()f x 可知其最小正周期为，故填：，.ππ14．【答案】　①③④　．
【解析】解：①
∵，∴T=2π，故①正确；
②当x=5时，有x 2﹣4x ﹣5=0，但当x 2﹣4x ﹣5=0时，不能推出x 一定等于5，故“x=5”是“x 2﹣4x ﹣5=0”成立的充分
不必要条件，故②错误；③易知命题p 为真，因为＞0，故命题q 为真，所以p ∧（￢q ）为假命题，故③正确；
④∵f ′（x ）=3x 2﹣6x ，∴f ′（1）=﹣3，∴在点（1，f （1））的切线方程为y ﹣（﹣1）=﹣3（x ﹣1），即3x+y ﹣2=0，故④正确．
综上，正确的命题为①③④．
故答案为①③④．　
15．【答案】
21
2
【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝，所以∠BAC ＝60°.
3因为BE ⊥AC ，AB ＝，所以AE ＝，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－
33
22AE ·AD ·cos ∠EAD ＝＋9－2××3×＝，故ED ＝.
3
43232214212
16．【答案】　{0，1}　．
【解析】解：
=[﹣]+[
+]
=[﹣]+[+]，
∵0＜
＜1，
∴﹣＜﹣＜，＜+＜，
①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜
+＜1，
故y=0；②当=时，﹣=0，
+=1，
故y=1；③＜＜1时，
﹣＜﹣＜0，1＜
+＜，
故y=﹣1+1=0；故函数
的值域为{0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．　
17．【答案】　4　．
【解析】解：∵双曲线的渐近线方程为y=x，
又已知一条渐近线方程为y=x，∴=2，m=4，
故答案为4．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为y=x，是解题的关键．
18．【答案】
．
【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高
由于此三角形的高为，故圆锥的高为
此圆锥的体积为=
故答案为
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a．
易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．
故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减．
故f（x）max=f（a）=alna﹣a．
（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x．
所以，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．
所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）．
（Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．
由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）．
又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．
20．【答案】
【解析】解：（1）在等比数列{a n}中，由已知可得：…（3分）
解得：或…（6分）
（2）∵
∴当时，．…（10分）
当时，…（14分）
【点评】本题主要考查了利用等比数列的通项公式求解等比数列的基本量，及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是熟练应用公式．
21．【答案】
【解析】解：∵＜θ＜，∴+θ∈（，），
∵cos（+θ）=﹣，∴sin（+θ）=﹣=﹣，
∴sin（+θ）=sinθcos+cosθsin=（cosθ+sinθ）=﹣，
∴sinθ+cosθ=﹣，①
cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=（cosθ﹣cosβ）=﹣，
∴cosθ﹣sinθ=﹣，②
联立①②，得cosθ=﹣，sinθ=﹣，
∴==
==．
【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD垂直平分半径OA，半径为2，
∴CF=DF，OF=，
∴在Rt △COF 中有∠COF=60°，CF=DF=，
∵CE 为直径，∴DE ⊥CD ，∴OF ∥DE ，DE=2OF=2，∴
，
图2中，平面ACB ⊥平面ADE ，平面ACB ∩平面ADE=AB ，又CF ⊥AB ，CF ⊂平面ACB ，
∴CF ⊥平面ADE ，则CF 是四棱锥C ﹣FDEO 的高，∴
．
（Ⅱ）在劣弧BC 上是存在一点P （劣弧BC 的中点），使得PE ∥平面CDO ．证明：分别连接PE ，CP ，OP ，∵点P 为劣弧BC 弧的中点，∴
，
∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP 为等边三角形，∴CP ∥AB ，且，又∵DE ∥AB 且DE=
，
∴CP ∥DE 且CP=DE ，∴四边形CDEP 为平行四边形，∴PE ∥CD ，
又PE ⊄面CDO ，CD ⊂面CDO ，∴PE ∥平面CDO ．
【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．　
23．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：（α为参数）
{x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α)
得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9.即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9，
由C 2：ρ＝
得2
sin （θ＋π
4
）
ρ（sin θ＋cos θ）＝2，即x ＋y －2＝0，
即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.
（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0，将θ＝代入上式得
3π4ρ2－ρ－4＝0，
2ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－4，
2∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝＝3.
（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ22C 3：θ＝π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，
34
∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝＝.
22
2∴△PMN 的面积为S ＝|MN |×d ＝×3×＝3.
1212
22即△PMN 的面积为3.24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由余弦定理得cos ∠POQ==
，…
∴sin ∠POQ=，得P 点坐标为（，1），∴A=1， =4（2﹣），∴ω=
． …由f （）=sin （
+φ）=1 可得 φ=
，∴y=f （x ） 的解析式为 f （x ）=sin （
x+
）．…
（Ⅱ）根据函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律求得 g （x ）=sin x ，…
h （x ）=f （x ）g （x ）=sin （x+
） sin
x=+
sin
xcos
x
=
+
sin
=sin （﹣）+．…
当x ∈[0，2]时，∈[﹣，
]，∴当
，
即 x=1时，h max （x ）=．…
【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．　。