2022-2023高三上期中 海淀高三数学期中练习参考答案

海淀区2022—2023学年第一学期期中练习
高三数学参考答案
一、选择题
二、填空题
（11
（12）(0,1)(1,)+∞ （13）答案不唯一，小于1的实数均可
（14）2；1-或1 （15）2；(0,2)
三、解答题
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为253,25a S ==, 所以113,
54
525.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩
解得11,2.a d =⎧⎨=⎩
所以21n a n =-. （Ⅱ）选择条件③.
因为11,3b q ==， 所以13n n b -=. 因为m k a b =, 即1213k m --= .
得1312
k m -+=.
因为*k ∈N ,13k -为奇数，131k -+为偶数，
所以*m ∈N .
可得131
2k m -+=.
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）2()2sin()cos()2cos ()14444f ππππ-=--+--
22(1=+- 1=-.
（Ⅱ）()sin 2cos2)4
f x x x x π
=++.
所以()f x 的最小正周期为22
T π
=
=π. （Ⅲ）因为0,2x π≤≤
所以52,444
x πππ
≤+≤ 当242x ππ+
=，即8
x π
=时，()f x 取得最大值，
所以()f x 在区间[0,]2π上的最大值为()8f π
=；
当5244x ππ+
=，即2
x π
=时，()f x 取得最小值， 所以()f x 在区间[0,]2π上的最小值为()12
f π
=-.
（18）（本小题14分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R .
2'()2f x x x =-，令'()0f x =，120,2x x ==.
由表可得，()f x 的单调递增区间为(,0),(2,)-∞+∞；单调递减区间为(0,2).
（Ⅱ）由函数解析式及（Ⅰ）可知44
(1),(0)0,(2),(3)033
f f f f -=-==-=.
①当(1,2)m ∈-时，4
(1,],()3
x m f x ∀∈-≠-，不符合题意；
②当[2,3]m ∈时，()f x 在区间[1,]m -上的取值范围是4
[,0]3
-，符合题意；
③当3m >时，由()f x 在区间(2,)+∞上单调递增可知()(3)0f m f >=，不符合题意. 综合上述，[2,3]m ∈
（19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）在ABD △中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒,所以60ADB ∠=︒.
由正弦定理：
sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，得sin 45sin60AD AB
=
︒︒
，
所以，
sin45
12
sin60
AD AB
︒
=⋅==
︒
(km).
1
sin sin75sin(4530))
2
BAD
∠=︒=︒+︒=+,
所以ABD
△的面积为
11
sin1236
22
ABD
S AB AD BAD
=⋅⋅∠=⨯⨯=+
△
(2
km).
（Ⅱ）由30
BAC
∠=︒，60
ABC
∠=︒, 得45
CAD
∠=︒
,AC=
在ACD
△中由余弦定理，得
2222cos363166260
2 CD AC AD AC AD CAD
=+-⋅⋅∠=⨯+⨯-⨯=.
所以，CD=(km).
即点C, D
之间的距离为.
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）当2
a=时，()e2sin
x
f x x
=-，
则(0)1
f=.
'()e2cos
x
f x x
=-，则'(0)1
f=-.
曲线()
f x在(0,(0))
f处的切线方程为1
y x
=-+.
（Ⅱ）当1
a=时，记()()2e sin2
x
g x f x x
=-=--，
则'()e cos
x
g x x
=-.
当(0,
x∈π)时，0
e e1,cos1
x x
>=<,
所以'()'(0)0
g x g
>=.
所以()
g x在(0,)π上单调递增.
因为(0)10,()e20
g gπ
=-<π=->,
所以函数()2
y f x
=-在区间(0,π)上有且仅有一个零点.
（Ⅲ）设()()cos2
h x f x x
=+-e sin cos2
x a x x
=-+-.
则'()e cos sin
x
h x a x x
=--.
设()e cos sin
x
s x a x x
=--.
则'()e cos sin
x
s x x a x
=-+.
因为当[0,]x ∈π时，0e e 1,cos 1,sin 0x x x ≥=, 所以当0a ≥时，[0,]x ∈π时，'()0s x ≥， 所以'()h x 在区间[0,]π上单调递增()*.
（1）当1a >时，'(0)10h a =-<，'()e 0h a ππ=+>, 且'()h x 在区间[0,]π上单调递增， 所以存在唯一0(0,)x ∈π，使得0'()0h x =. 当0(0,)x x ∈时，'()0h x <， 所以()h x 在区间0(0,)x 上单调递减. 可得0()(0)0h x h <=，所以与题意不符.
（2）当1a =时,
()e sin cos 2x h x x x =-+-. '()e cos sin x h x x x =--
由()*可知：'()h x 在区间[0,]π上单调递增, 所以当[0,]x ∈π时，'()'(0)0h x h ≥=. 所以()h x 在区间[0,]π上单调递增. 所以()(0)0h x h =区间[0,]π上恒成立. 符合题意. （3）当1a <时,
()e sin cos 2e sin cos 2x x h x a x x x x =-+->-+-.
由（2）可知，此时()0h x >在区间[0,]π上恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是(,1]-∞. （21）（本小题15分） 解：（Ⅰ）（ⅰ）数表1不具有性质(2)p .
理由：2,13,12,23,22,33,3||||||12a a a a a a -+-+-=≠.
（ⅱ）存在. 3t =时，数表2具有性质()p t .
（Ⅱ）不存在数表2023m A ⨯具有性质(6)p .
假设存在m 使得数表2023m A ⨯具有性质(6)p ，则
,11,1,21,2,1,||||||6(1,2,
,1)i i i i i n i n a a a a a a i m +++-+-+
+-==-.
即在这两行中，有6列的数不同，设其中有k 列是第i 行的数为1，第1i +行的数为0，
则有6k -列是第i 行的数为0，第1i +行的数为1.
所以，从第i 行到第1i +行，一共增加了62k -个1，1的个数的奇偶性不变. ……7分 所以，任意两行中，1的个数的奇偶性相同.
与数表2023m A ⨯第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾. 所以，不存在具有性质(6)p 的数表2023m A ⨯.
（Ⅲ）()f t 的最大值的为1n +.
定义1m -行n 列的数表(1)m n B -⨯： 其第i 行第j 列为,,1,||1,2,
,1(1,2,
,)i j i j i j b a a i m j n +=-=-=，.
则,{0,1}i j b ∈，且,0i j b =表示,1,,i j i j a a +两数相同，,1i j b =表示,1,,i j i j a a +两数不同. 因为数表m n A ⨯的第1行确定，所以给定数表(1)m n B -⨯后，数表m n A ⨯唯一确定. ①先证()1f t n ≤+.
我们按照如下方式，构造数表n n B ⨯：对于第21s -行和第2s 行，1,2,,
2
n s =， 令21,2121,21,0s s s s b b ---==，2,212,20,1s s s s b b -==，
且在这两行其余的2n -列中，任选相同的1t -列都为1，其他列都为0. 于是可得到具有性质()p t 的数表(1)n n A +⨯如下：
第1列
第2列
第3列
第4列
第n -1列
第n 列
第1行 第3行 第5行 … 第n +1行 即对于每个{2,3,,1}t n ∈-，当1m n =+时，都存在数表m n A ⨯具有性质()p t .
所以()1f t n ≤+.
②再证1t n =-时，()1f t n ≥+. 记,1,2,...(1,2,,)i i i i n S a a a i m =+++=.
因为1t n =-是奇数，
所以i S 与+1i S 的奇偶性不相同(1,2,,1i m =-).
因为10m S n S ==，， 所以m 是奇数.
我们考虑(1)m n B -⨯的第i 行和1i +行，
因为1t n =-，所以这两行中都有1n -列为1，1列为0. 若这两行相同，则数表m n A ⨯的第i 行和第2i +行相同，2i i S S +=.
若这两行不同，设其分别在第,p q 列为0()p q ≠，则数表m n A ⨯的第i 行和第2i +行只在第,p q 列上不同，其他列都相同，2||2i i S S +-≤. 因为1,0m S n S ==，其中n 是偶数. 所以1224311
||||22
m m m m m m n S S S S S S S S ----=-=-+-++-≤
⨯. 所以1m n ≥+，即(1)1f n n -≥+. 结合①，(1)1f n n -=+.
综上所述，()f t 的最大值的为1n +.。