【人教版】高中数学必修一期末模拟试题(附答案)(1)

一、选择题
1．已知函数()()()
222,0423,46x x x f x x -⎧--≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在12,x x ,当12046x x ≤<≤≤时,()()12f x f x =,则()12x f x ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,1
B ．[]1,4
C ．[]
1,6
D ．[][]0,1
3,8
2．统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有0.73（约2.16）倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的（lg 20.3010≈，lg30.4771=，lg70.8451≈）（ ） A ．l 8倍
B ．21倍
C ．24倍
D ．27倍
3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +--=，且当[]0,1x ∈时，
()()2log 1f x x =+，则下列结论正确的是（ ）
①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 是周期函数，且2是其一个周期；③16132f f ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；④关于x 的方程()0f x t -=（01t <<）在区间()2,7-上的所有实根之和是12. A ．①④
B ．①②④
C ．③④
D ．①②③
4．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ） A ．
111c a b
=+ B ．
221c a b
=+ C ．
122c a b
=+ D ．
212c a b
=+ 5．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例
如函数2
y x =，x ∈[1，2]与函数.2
y x =，[]2,1x ∈--即为同族函数，下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A ．y =x B ．1
y x x
=+ C ． 22x x y -=- D ．y ＝log 0.5
x 6．函数()22x x
x
f x -=
+的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．我们把定义域为[)0,+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：①对任意的[)0,x ∈+∞，总有()0f x ≥；②若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，给出下列四个结论：（1）若()f x 为“Ω函数”，则()00f =；（2）若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[)0,+∞上为增函数；（3）函数()0,1,x Q
g x x Q
∈⎧=⎨
∉⎩在[)0,+∞上是
“Ω函数”（Q 为有理数集）；（4）函数()2
g x x x =+在[)0,+∞上是“Ω函数”；其中正确结论的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11
x -≤≤时，()131
31
x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（ ）
A ．()2018f
B ．()2019f
C ．()2020f
D ．()2021f
9．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式
()0f x >的解集为( )
A ．()()2,02,∞-⋃+
B ．()(),22,∞∞--⋃+
C ．()()
,20,2∞--⋃
D ．()()2,00,2-⋃
10．设全集U =R ，{
}
2
560A x x x =-->，{}
5B x x a =-<（a 为常数），且
11B ∈，则下列成立的是（ ）
A ．U A
B R =
B ．U
A B R =
C ．
U
U
A
B R = D ．A
B R =
11．已知0a b >>，全集为R ，集合}2
|{b
a x
b x E +<
<=，}|{a x ab x F <<=，}|{ab x b x M ≤<=，则有（ ）
A ． E M =（R C F ）
B ．M =（R
C E ）F C ．F E M =
D ．F
E M =
12．已知集合A ＝{
}{}3
(,),(,)x y y x
B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．若函数244y ax a x =+--存在零点，则实数a 的取值范围是______．
14．已知函数241,0
()3,
0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是
________.
15．已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log 3a =____________.
16．已知函数1(2)1,2
(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩
，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是
_______．
17．若函数()1
242
3x
x f x m m +=-⋅+-，在其定义域R 内存在实数x ，满足
()()f x f x -=-，则整数m 的取值集合是________.
18．已知函数()2
f x x =，()1
g x a x =-，a 为常数，若对于任意1x ，[]20,2x ∈，且
12x x <，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-则实数a 的取值范围为________.
19．设集合A ，B 是R 中两个子集，对于x ∈R ，定义: 0,,0,1,,1,x A x B
m n x A x B ⎧∉∉⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩
.①若
A B ⊆；则对任意(),10x R m n ∈-=；②若对任意,0x R mn ∈=，则A B φ⋂=；③若
对任意,1x R m n ∈+=，则A ，B 的关系为R A C B =.上述命题正确的序号是______. (请填写所有正确命题的序号)
20．设全集U =R ，1|
11A x x ⎧⎫⎪⎪
=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭
，{}2|540B x x x =-+>，则()U A
C B =______.
三、解答题
21．有A 、B 两城相距120km ，某天然气公司计划修建一条管道为两城供气，并在两城之间设立供气站点D （如图），为保证城市安全，规定站点D 距两城市的距离均不得少于
15km ．又已知A 城一边有段10km 长的旧管道AC ，准备改造利用，改造费用为5万元
//km ，其余地段都要新建，新建的费用（含站点D ）与站点D 到A 、B 两城方向上新修建的长度的平方和成正比．．．．．．．．．
，并且当站点D 距A 城距离为40km 时，新建的费用为1825万元．设站点D 距A 城的距离为km x ，A ，B 两城之间天然气管道的建设总费用为y 万元．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出其定义域；
（2）天然气站点D 距A 城多远时，建设总费用最小？最小总费用多少？
22．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为1万元，但每生产1百台又需可变成本（即需另增加投入）0.5万元，市场对此产品的年需求量为6百台（即一年最多卖出6百台），销售的收入（单位：万元）函数为2
1
()43
R x x x =-，其中x （单位：百台）是产品的年产量.
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）求年产量为多少时，企业所得利润最大； （3）求年产量为多少时，企业至少盈利3.5万元. 23．已知函数()1,0
2,0x
x x f x x +≤⎧=⎨>⎩
（Ⅰ）求()()()1f
f f -的值；
（Ⅱ）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若()112f x f x ⎛⎫
+-
> ⎪⎝⎭
，求x 的取值范围． 24．计算下列各式的值：
（1）0
11434
10.027162567-
⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
（2）3ln 214
5log 2lg 4lg
8
2e +++ 25．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.
（1）若()f x 在区间[2,4]上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ；
26．已知集合{}13A x x =-<<，集合{}
21B x m x m =<<-.
（1）当1m =-时，求A B ；
（2）若A
B B =，求实数m 的取值范围.
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一、选择题 1．B 解析：B 【详解】
根据图像，当()()12f x f x =时，有()212f x ≤≤，
将()1f x =代入函数()22f x x =--中，可解得11x =或13x =， 所以当()()12f x f x =时，113x ≤≤， 当[1,2]x ∈时，()f x x =，因为()()12f x f x =， 所以()()2
1211111x f x x f x x x x ==⋅=⋅⋅，
因为1[1,2]x ∈，所以()12[1,4]x f x ⋅∈；
当[2,3]x ∈时，()4f x x =-，因为()()12f x f x =， 所以()()2
1211111(4)(2)4x f x x f x x x x ==⋅-=--⋅+⋅，
因为1[2,3]x ∈，所以()12[3,4]x f x ⋅∈； 综上所述，()12x f x ⋅的取值范围是[1,4]. 故选：B.
【点睛】
本题考查了分段函数与函数与方程的综合性问题，属于中档题型，当正确画出函数的图像后，重点抓住本题的一个关键的条件()12()f x f x =，这样就可以将求()12x f x ⋅的范围转化为求()11x f x ⋅的范围.
2．D
解析：D 【分析】
根据已知条件可构造出函数关系式，进而得到0.710x =，根据对数运算法则可解方程求得近似值. 【详解】
由题意可知，看到图形面积大小y 与图形实际面积x 之间满足0.7
y x
=
∴若看到全国面积约为某县面积的10倍，则0.710x =，解得：10
lg 1.437
x =
≈ lg 273lg3 1.43=≈ 27x ∴≈
故选：D 【点睛】
本题考查利用函数模型求解实际问题，关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合对数运算性质求得结果.
3．A
解析：A 【分析】
由对称性判断①，由周期性判断②，周期性与奇偶性、单调性判断③，作出函数
()y f x =的大致图象与直线y t =，由它们交点的性质判断④．
【详解】
由()()20f x f x +--=可知()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确； 因为()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以
()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2
是()f x 的周期，故②错误； 由()f x 的周期性和对称性可得1644243333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.又当[]0,1x ∈时，
()()2log 1f x x =+，所以()f x 在[]0,1x ∈时单调递增，所以1223f f ⎛⎫
⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即
16132f f ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，③错误； 又[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则可画出()f x 在区间[]
2,8-上对应的函数图象变化趋势，如图
易得()0f x t -=（01t <<）即()f x t =（01t <<）在区间()2,7-上的根分别关于1，5对称，故零点之和为()21512⨯+=，④正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、单调性，考查函数的零点，掌握函数的基本性质是解题基础．函数零点问题常用转化为函数图象与直线的交点问题，利用数形结合思想求解．
4．B
解析：B 【分析】
首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c
，最后根据对数运算法则化简. 【详解】
设3a =4b =6c =k ， 则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==， 同理1log 4k b =，1log 6k c
=， 而
11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+． 故选：B 【点睛】
本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1
log log a b b a
=
是关键. 5．B
解析：B 【分析】
由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】
对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确；
对B ：1
y x x
=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确； 对C ：22x
x
y -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确； 对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】
本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题.
6．B
解析：B 【分析】
根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】
当()22x x
x f x -=
+，
()()22x x x
f x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221
(2)22242f -=<=+，排除A ；
3324(3)22536f -==+，4464
(4)224257
f -==+，故()()34f f >，排除D.
故选：B. 【点睛】
本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.
7．B
解析：B 【分析】
利用“Ω函数”的定义依次判断即可，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”. 【详解】
解：对（1），由①得()00f ≥， 在②中令0x y ==， 即()()020f f =， 解得：()00f ≤，
()00f ∴=，故（1）正确；
对（2），当()0f x =时，满足①②，但在[)0,+∞不是增函数，故（2）错误； 对（3），当x ，y 都为正无理数时，不满足②，故（3）错误；
对（4），
()2g x x x =+，
当[)0,x ∈+∞时，min ()(0)00g x g ==≥， 即满足条件①，
222()()()()20g x y g x g y x y x y x x y y xy +--=+++----=≥，
即满足条件②，
∴函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”，故（4）正确.
故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是理解“Ω函数”的定义，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.
8．D
解析：D 【分析】
利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、
()2020f 、()2021f 中最小值.
【详解】
(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，
()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．
又
)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，
()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．
(2)(2)0f x f x --+-=，
(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，
(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故
(2021)f 最小．
故选：D 【点睛】
本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.
9．A
解析：A 【分析】
根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在
区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，
又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，
则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，
则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】
本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．
10．D
解析：D 【分析】
求出集合A ，根据11B ∈可求得实数a 的取值范围，利用集合的基本运算可判断各选项的正误. 【详解】
{}{25601A x x x x x =-->=<-或}6x >，{}
5B x x a =-<，且11B ∈,
则6a >，{}{
}
555B x x a x a x a ∴=-<=-<<+，
对于A 选项，取7a =，则{}212B x x =-<<，
{}16U
A x x =-≤≤，
所以，{}16U
A B x x R ⋂=-≤≤≠，A 选项错误；
对于B 选项，取7a =，则{2U B x x =≤-或}12x ≥，此时U
A
B A R =≠，B 选项错误；
对于C 选项，取7a =，则{}16U
A x x =-≤≤，
{2U
B x x =≤-或}12x ≥，
此时，
{2U
U A B x x ⋃=≤-或16x -≤≤或}12x R ≥≠，C 选项错误；
对于D 选项，6a >，则51a -<-，511a +>，此时A B R =，D 选项正确.
故选：D. 【点睛】
本题考查与集合运算正误的判断，同时也考查了一元二次不等式以及绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
11．A
解析：A 【分析】
首先分析得出2
a b
a b +>>>，根据集合的运算，即可求解. 【详解】
由题意，因为0a b >>，结合实数的性质以及基本不等式，可得2
a b
a b +>>>，
可得{|R C F x x =≤}x a ≥，所以(){|R E C F x b x =<≤，
即()R M E C F =
故选A. 【点睛】
本题主要考查了集合的运算，以及基本不等式的应用，其中解答中结合实数的性质和基本
不等式求得2
a b
a b +>
>>是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先求解方程组3
y x y x ⎧=⎨=⎩
，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．
【详解】
联立3
y x y x
⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-
即3
y x =和y x =的图象有3个交点()1
1--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.
【点睛】
本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．
二、填空题
13．【分析】将函数存在零点转化为与图像有交点作出图像观察图像得出实数的取值范围【详解】解：设则函数存在零点等价于与图像有交点如图：函数的图像恒过点当其和函数的图像相切时有解得由图像可知所以所以与的图像有
解析：0,3⎡⎢⎣⎦
【分析】
将函数4y ax a =+()()4f x a x =+与()g x =点，作出图像，观察图像得出实数a 的取值范围. 【详解】
解：设()()4f x a x =+，2()4g x x =
-，
则函数244y ax a x =+--存在零点等价于()()4f x a x =+与2()4g x x =-图像有交
点， 如图：
函数()()4f x a x =+的图像恒过点(4,0)-，当其和函数2()4g x x =-
2421a
a =+，解得3a =±，由图像可知，0a >，所以3a = 所以()()4f x a x =+与2()4g x x =
-3
0a ≤≤
. 故答案为：30,3⎡⎢⎣⎦
.
【点睛】
本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想，是中档题.
14．4【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查了分段函数
解析：4 【分析】
根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得
22x =-±0x >时，()31x
f x =>，1x =，做出函数()f x ，
1,22,22y y y ==-=--.
【详解】
241,0
()
3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩
，
∴当0x ≤时，()()2
241255f x x x x =--+=-++≤，
令()3f x =，则2413x x --+=， 解得22x =-±
1220,4223,-<-+<-<--<-
0x >时，()31x
f x =>，
令()3f x =得1x =，
作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--
由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】
本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.
15．【分析】利用已知式两边同时取以e 为底的对数化简计算再利用换底公式代入计算即可【详解】正实数a 满足两边取对数得即故解得故故答案为：【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数化简计算 解析：716
-
【分析】
利用已知式两边同时取以e 为底的对数，化简计算ln a ，再利用换底公式ln 3
log 3ln a a
=代入计算即可. 【详解】
正实数a 满足8(9)a
a
a a =，两边取对数得8ln ln(9)a
a
a a =，即ln 8ln(9)a a a a =，
故()ln 8ln9ln a a =+，解得16ln ln 37
a =-，故ln 3ln 37
log 316ln 16ln 37
a a ===-
-.
故答案为：716
-. 【点睛】
本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数，化简计算得到ln a 的值，再结合换底公式即突破难点.
16．【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足（1）当时函数单调递增；则（2）当时函数单调递增；则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析：23a <≤
【分析】
根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】 函数1
(2)1,2
(),2
x a x x f x a x --+<⎧=⎨
≥⎩，在R 上单调递增 则需满足（1）当2x <时，函数()f x 单调递增；则2a > （2）当2x ≥时，函数()f x 单调递增；则1a >
(3)函数()f x 在两段分界处2x =，满足()21
221a a --⨯+≤，即3a ≤
所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为：23a <≤ 【点睛】
关键点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，解答本题的关键是分段函数在上单调递
增，从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势，即函数()f x 在[)2+∞，
上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21
221a a --⨯+≤，这是容易忽略的地方，属于
中档题.
17．【分析】将已知等式转化为方程有解问题利用换元法和二次函数的性质列出不等式组解出整数m 的取值集合【详解】根据题意函数其定义域为R 则有若在其定义域R 内存在实数x 满足即方程在R 上有解该方程变形可得令原问题
解析：{|1m m -≤≤
【分析】
将已知等式转化为方程有解问题，利用换元法和二次函数的性质列出不等式组，解出整数m 的取值集合． 【详解】
根据题意，函数()1
2242
34223x
x x x f x m m m m +=-⋅+-=-⋅+-，其定义域为R ，
则有()24
223x
x f x m m ---=-⋅+-，
若在其定义域R 内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，即方程
()2242234223x x x x m m m m ---⋅+-=--⋅+-在R 上有解，
该方程变形可得()244
222260x
x
x x m m --+-++-=，
令222x x t -+=≥，
原问题转化为()2
2
2280F t t mt m =-+-=在[)2,+∞有解，则必有()20F ≤或
()
22(2)02
44280F m m m ⎧>⎪⎪
>⎨⎪∆=--≥⎪⎩
，
解得：1m ≤m
的取值集合为{|1m m -≤≤，
故答案为：{|1m m -≤≤. 【点睛】
关键点点睛：本题考查方程有解问题，考查二次函数的性质，考查换元法的应用，解决本题的关键点是将定义域R 内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，转化为方程有解问题，化简并利用换元法，结合二次函数图象和性质，列出不等式组求出参数范围，考查学生计算能力，属于中档题．
18．02【分析】构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）利用F （x ）的单调性求出a 【详解】解：对于任意x1x2∈02且x1＜x2都有f （x1）﹣f （x2）＜g （x1）﹣g （x2）即f （x1）﹣g （x1）＜f
解析：[0，2] 【分析】
构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），利用F （x ）的单调性求出a 【详解】
解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），
令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可，
当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，
则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x ＝12
a
≤，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x ＝02
a
-≤，即a ≥0， 故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2] 【点睛】
考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法，属于中档题．
19．①②③【分析】对于①按照和两种情况讨论可得①正确;对于②根据不
可能都为1可得不可能既属于又属于可得②正确;对于③根据中的一个为0另一个为1可得时必有或时必有由此可知③正确【详解】对于①因为所以当时根
解析：①②③ 【分析】
对于①,按照x A ∈和x A ∉两种情况讨论,可得①正确;对于②,根据,m n 不可能都为1,可得x 不可能既属于A ,又属于B 可得②正确;对于③,根据,m n 中的一个为0,另一个为1,可得x A ∈时,必有x B ∉,或x B ∈时,必有x A ∉,由此可知③正确. 【详解】
对于①,因为A B ⊆,所以当x A ∉时,根据定义可得0m =,所以(1)0m n -=, 当x A ∈,则必有x B ∈,根据定义有1n =,所以(1)0m n -=, 故对于任意x ∈R ,都有(1)0m n -=,故①正确;
对于②,因为对任意,0x R mn ∈=,所以,m n 中不可能都为1,即x A ∈和x B ∈不可能同时成立,所以A B φ⋂=,故②正确;
对于③,因为对任意,1x R m n ∈+=,所以,m n 中的一个为0,另一个为1,即x A ∈时,必有
x B ∉,或x B ∈时,必有x A ∉,所以R A C B =,故③正确.
综上所述: 所有正确命题的序号为:①②③. 故答案为①②③ 【点睛】
本题考查了元素与集合,集合与集合之间的关系,对新定义的理解能力,属于中档题.
20．【分析】解不等式求出集合根据补集与交集的定义写出【详解】全集；∴∴故答案为：【点睛】本题考查集合的运算解题是先解不等式确定集合然后再根据集合运算的定义计算 解析：{}|24x x <≤
【分析】
解不等式求出集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出()U A C B ⋂. 【详解】
全集U =R ，{}1|1|111A x x x x ⎧⎫⎪⎪=<=->⎨⎬-⎪⎪⎩⎭
{}|02x x x =<>或；
{}{}2|540|14B x x x x x x =-+>=<>或，
∴{}|14U C B x x =≤≤，
∴(){}|24U A C B x x =<≤.
故答案为：{}|24x x <≤.
【点睛】
本题考查集合的运算，解题是先解不等式确定集合,A B ，然后再根据集合运算的定义计算．
三、解答题
21．（1）y 2
1(1307350)2
x x =
-+，定义域为[15,105]（2）天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元.
【分析】
（1）根据站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．可求得15105x ≤≤，设
22[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，根据当40x =时，1825501875y =+=，求出
k ，从而可得y 与x 之间的函数关系式； （2）根据二次函数知识可求得最值. 【详解】
（1）因为站点D 距两城市的距离均不得少于15km ． 所以15
12015
x x ≥⎧⎨
-≥⎩，解得15105x ≤≤，
设2
2
[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，15105x ≤≤，
当40x =时，1825501875y =+=，所以2
2
(3080)501875k ++=，解得14
k =， 所以221[(10)(120)]5104y x x =
-+-+⨯21
(1307350)2
x x =-+，15105x ≤≤. （2）y 21(1307350)2x x =
-+21
(65)1562.52
x =-+， 所以当65x =时，min 1562.5y =万元.
所以当天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元. 【点睛】
关键点点睛：理解题意，建立正确的数学模型是解决函数应用题的关键.
22．（1）2
1 3.51(06)
3110.5(6)x x x y x
x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；（2）生产525台；（3）年产量在150台
到1500台时，企业至少盈利3.5万元. 【分析】
（1）用收入减去可变成本0.5x 万元和固定成本1万元即得利润函数，注意6x >时，只能卖了同6百台；
（2）分段求出最大值，比较后可得； （3）解不等式 3.5y ≥可得． 【详解】
解：（1）设利润为y 万元.
生产这种机器的固定成本为1万元，每生产1百台，需另增加投入0.5万元，
∴当产量为x 百台时，成本为10.5x +，
市场对此产品的年需求量为6百台，
∴当6x ≤时，产品能售出x 百台，6x >时，只能售出6百台，
故利润函数为()10.5(06)
(6)10.5(6)R x x x y R x x --≤≤⎧=⎨-->⎩，
整理可得2
1 3.51(06)
3
110.5(6)x x x y x
x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩. （2）当06x ≤≤时，2
1 3.513
y x x =-
+-， 即
3.5
5.25
123x =-
=⎛⎫
⨯- ⎪⎝⎭
时，max 8.1875y =万元； 当6x >时，110.5y x =-，利润在110.568-⨯=万元以下， 故生产525台时，企业所得利润最大，最大利润为8.1875万元. （3）要使企业至少盈利3.5万元，则 3.5y ≥， 当06x ≤≤时，2
1 3.51 3.53
y x x =-
+-≥， 即210.513.50x x -+≥，解得1.59x ≤≤，故1.56x ≤≤； 当6x >时，110.5 3.5y x =-≥，解得15x ≤，即615x <≤，
综上可知1.515x ≤≤，即年产量在150台到1500台时，企业至少盈利3.5万元. 【点睛】
本题考查函数的应用，根据已知条件，由利润＝收入－成本得利润函数，在此基础上可求解其他问题．本题属于基础题．
23．（Ⅰ）2；（Ⅱ）图象见解析，单调递增区间为(),-∞+∞；（Ⅲ）14
x >-． 【分析】
（Ⅰ）依次求出()1f -，()()1f
f -，()()()1f f f -即可
（Ⅱ）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间； （Ⅲ）分段讨论可解出不等式. 【详解】
解：（Ⅰ）()1110f -=-+=，
所以()()1011f
f -=+=， 所以()()()1
122f f f -==；
（Ⅱ）函数图象如下：
由图可知，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间； （Ⅲ）①当0x ≤时，1
02
x -
≤， 所以()1f x x =+，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭ 所以()132122f x f x x ⎛
⎫+-=+> ⎪⎝⎭，解得14
x >-， 所以01
4
x -
<≤； ②当1
02x <≤
时，102
x -<， 所以()2x
f x =，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭， 所以()112122
x
f x f x x ⎛
⎫+-=++> ⎪⎝⎭显然成立， 所以1
02
x <≤符合题意； ③当12x >
时，1
02
x ->， 所以()2x
f x =，12122x f x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
所以()1212212x x
f x f x ⎛
⎫
- ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+> ⎪⎝
⎭显然成立，
所以1
2
x >
符合题意， 综上所述：x 的取值范围为1,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是分段讨论x 的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解. 24．（1）53
-；（2）17
2. 【分析】
（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误. 【详解】
（1）原式()(
)
1
13
43
4
0.321-
⎡⎤
=-+⎣⎦
15
0.32143
-=-+-=-.
（2）原式32ln 23
22
log 2515lg 4lg lg 1621828log 4
e ⎛
⎫=
+++=-+⨯+ ⎪⎝⎭ 172
=
. 【点晴】
本题主要考查函数的定义域、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）
25．（1）[4,)-+∞；（2）226,
27
(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪
+-⎪=-
-<<⎨⎪
-≥⎪⎩
. 【分析】
（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得1
22
m -≤，计算即可. （2）分类讨论112m -≤-，1112m -<-<，1
12
m -≥，分别计算即可. 【详解】
（1）由题可知，函数2()7f x x mx m =++-()m R ∈开口向上， 对称轴的方程为2m x =-
，若使得函数()f x 在[2,4]上单调递增， 则满足122
m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞. （2）①当112
m -
≤-即2m ≥时， 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为()(1)6g m f =-=-；
②当1112
m -<-<，即22m -<<时， 函数()y f x =在区间11,2m ⎡
⎤--
⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭
； ③当112
m -
≥即2m ≤-时， 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递减， 所以函数()y f x =的最小值为()(1)26g m g m ==-， 综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩
. 【点睛】
结论点睛：二次函数在区间上的最值问题：（1）动轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴动区间；对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系.
26．（1）()2,3-；（2）1[2
-，)+∞. 【分析】
（1）当1m =-时，求出集合B ，再由并集的定义可得答案．
（2）推导出B A ⊆，当B =∅时，21m m -，当B ≠∅时，212113m m m m <-⎧⎪-⎨⎪-⎩
，由此能求出
实数m 的取值范围．
【详解】
（1）当1m =-时，集合{|13}A x x =-<<，集合{|22}B x x ．
(){|2233},A B x x ∴⋃=-<-<=．
（2）
集合{|13}A x x =-<<，集合{|21}B x m x m =<<-． 因为A B B =，B A ∴⊆，
∴当B =∅时，21m m -，解得13
m ， 当B ≠∅时，212113m m m m <-⎧⎪-⎨⎪-⎩，
解得1123
m -<． ∴实数m 的取值范围是1
[2-，)+∞．
【点睛】
本题考查交集、并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想的应用，是基础题．。